- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ(කෙටි ප්‍රශ්න) 10 වැනි ගැටළුවෙහි හා B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 17 ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
ප්‍රසාරණ සූත්‍ර
\begin{array}{rcl}\sin\left(A+B\right)\;&=&\;\frac{OC\;\text{ගේ}\;OY\;\mathrm{මත ප්‍රලම්බ ප්‍රක්ෂේපණය}}{OC}\\[4px]&=&\;\frac{ON}1\\[4px]&=&\;OP\;+\;PN\\&=&\;\sin\;A\;\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B\end{array}
\begin{array}{rcl}\cos\left(A+B\right)\;&=&\;\frac{OC\;\text{ගේ}\;OX\;\text{මත ප්‍රලම්බ ප්‍රක්ෂේපණය}}{OC}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]&=&\;\frac{OQ}1\\[4px]&=&\;OM\;-\;QM\\&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;-\;\sin\;A\;\sin\;B\end{array}
\begin{array}{rcl}\tan\;\left(A+B\right)\;&=&\;\frac{\sin\;\left(A+B\right)}{\cos\;\left(A+B\right)}\\[4px]&=&\;\frac{\sin\;A\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B}{\cos\;A\;\cos\;B\;-\;\sin\;A\;\sin\;B}\;\;;\;\;\text{සෑම පදයක්ම}\;\cos A\;\cos B\;\text{ගෙන් බෙදීමෙන්,}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]&=&\frac{\tan\;A\;+\;\tan\;B}{1\;-\;\tan\;A\;\tan\;B}\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\;\left(A+B\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B\\[4px]\cos\;\left(A+B\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;-\;\sin\;A\;\sin\;B\\[4px]\tan\;\left(A+B\right)\;&=&\;\frac{\tan\;A\;+\;\tan\;B}{1\;-\;\tan\;A\;\tan\;B}\end{array}
ඉහත සමිකරණයන්හි B වෙනුවට (-B) යොදමු.
\begin{array}{rcl}\sin\;\left(A-B\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;-\;\cos\;A\;\sin\;B\\[4px]\cos\;\left(A-B\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;+\;\sin\;A\;\sin\;B\\[4px]\tan\;\left(A-B\right)\;&=&\;\frac{\tan\;A\;-\;\tan\;B}{1\;+\;\tan\;A\;\tan\;B}\end{array}
ප්‍රසාරණ සූත්‍ර ආශ්‍රිත ගැටළු විසදීම
උදාහරණ ගැටලුව 1
\begin{array}{rcl}\sec\;\left(\frac{5\mathrm\pi}{12}\right)&=&\sec\;\left(\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}6\right)\\[4px]&=&{\displaystyle\frac1{\cos\;\left(\frac{\mathrm\pi}4+\frac{\mathrm\pi}6\right)}}\\[6px]&=&{\displaystyle\frac1{\cos\;\frac{\mathrm\pi}4\;\cos\;\frac{\mathrm\pi}6\;-\;\sin\;\frac{\mathrm\pi}4\;\sin\;\frac{\mathrm\pi}6}}\\[8px]&=&{\displaystyle\frac1{\left({\frac1{\sqrt2}}\times{\frac{\sqrt3}2}\;-\;{\frac1{\sqrt2}}\times{\frac12}\right)}}\\[16px]&=&\;\frac{2\sqrt2}{\sqrt3\;-\;1}\\[4px]&=&\frac{2\sqrt2\;\times\;\left(\sqrt3\;+\;1\right)}{\left(\sqrt3\;-1\right)\times\;\left(\sqrt3\;+\;1\right)}\\[4px]&=&\;{\footnotesize\left(\sqrt6\;+\;\sqrt2\;\right)}\end{array}
උදාහරණ ගැටලුව 2:
\sin\;\alpha=\frac45\;\text{ද}\;\cot\;\beta=-\frac5{12}\;\text{ද නම්}\;\alpha+\beta\;\text{හි හා}\;\alpha-\beta\;\text{හි සියලුම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත සොයන්න}.- මෙහි 0<\alpha<\frac\pi2<\beta<\pi\; වේ.
- α පළමු වෘත්ත පාදයේද β දෙවන වෘත්ත පාදයේද පිහිටන බව දී ඇති නිසා cosα > 0 ද tanα > 0 ද sinβ > 0 ද cosβ < 0 ද tanβ < 0 ද වේ.
- එමනිසා , \cos\;\alpha=\frac35\;,\;\tan\;\alpha=\frac43\;,\;\tan\;\beta=\;-\frac{12}5\;,\;\sin\;\beta=\frac{12}{13}\;,\;\cos\;\beta=-\frac5{13} වේ.
\begin{array}{rcl}\sin\;\left(\alpha+\beta\right)&=&\;\sin\;\alpha\;\cos\;\beta+\;\cos\;\alpha\;\sin\;\beta\\[4px]&=&\frac45\;\times\;\left(-\frac5{13}\right)\;+\;\frac35\;\times\;\frac{12}{13}\\[4px]&=&\frac{\left(-20\;+\;36\;\right)}{65}\\[4px]&=&\frac{16}{65}\end{array}
\begin{array}{rcl}\cos\;\left(\alpha+\beta\right)&=&\;\cos\;\alpha\;\cos\;\beta-\;\sin\;\alpha\;\sin\;\beta\\[4px]&=&\frac35\;\times\;\left(-\frac5{13}\right)\;-\;\frac45\;\times\;\frac{12}{13}\\[4px]&=&\frac{\left(-15\;-48\;\right)}{65}\\[4px]&=&-\frac{63}{65}\end{array}
\begin{array}{rcl}\tan\;\left(\alpha+\beta\right)&=&\;\frac{\sin\;\left(\alpha+\beta\right)}{\cos\;\left(\alpha+\beta\right)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]&=&\frac{16/65}{-63/65}\\[4px]&=&-\frac{16}{63}\end{array}
\begin{array}{rcl}\cosec\;\left(\alpha+\beta\right)&=&\frac{65}{16}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]\sec\;\left(\alpha+\beta\right)&=&-\frac{65}{63}\\[4px]\cot\;\left(\alpha+\beta\right)&=&-\frac{63}{16}\end{array}
- α සුළු කෝණයක් ද β මහා කෝණයක් ද නිසා α+β මහා කෝණයක් හෝ පරාවර්තක කෝණයක් විය හැක. එනම් දෙවන හෝ තුන්වන වෘත්ත පාදවල පිහිටිය හැක.නමුත් මෙහි cos(α+β) < 0 හා tan(α+β) < 0 නිසා α+β දෙවන වෘත්ත පාදයේ පිහිටිය යුතුය.
\begin{array}{rcl}\sin\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\;\sin\;\alpha\;\cos\;\beta-\cos\;\alpha\;\sin\;\beta\\[4px]&=&\frac45\;\times\;\left(-\frac5{13}\right)\;-\;\frac35\;\times\;\frac{12}{13}\\[4px]&=&\frac{\left(-20\;-36\;\right)}{65}\\[4px]&=&-\frac{56}{65}\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\cos\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\;\cos\;\alpha\;\cos\;\beta+\;\sin\;\alpha\;\sin\;\beta\;\\&=&\frac35\;\times\;\left(-\frac5{13}\right)\;+\;\frac45\;\times\;\frac{12}{13}\\[4px]&=&\frac{\left(-15\;+48\;\right)}{65}\\[4px]&=&\frac{33}{65}\end{array}
\begin{array}{rcl}\tan\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\;\frac{\sin\;\left(\alpha-\beta\right)}{\cos\;\left(\alpha-\beta\right)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]&=&\frac{56/65}{-33/65}\\[4px]&=&-\frac{56}{33}\end{array}
\begin{array}{rcl}\cosec\;\left(\alpha-\beta\right)&=&-\frac{65}{56}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\[4px]\sec\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\frac{65}{33}\\[4px]\cot\;\left(\alpha-\beta\right)&=&-\frac{33}{56}\end{array}
- α සුළු කෝණයක් ද β මහා කෝණයක් ද නිසා α-β < 0 විය යුතුය. එනම් α-β හතරවන වෘත්ත පාදයේ පිහිටිය යුතුය. cos(α-β)>0 මගින් ඒ බව තහවුරු වේ.
උදාහරණ ගැටලුව 3
\begin{array}{rcl}\tan\left(A-B+C\right)&=&\tan\left[\left(A-B\right)+C\right]\\[4px]&=&\frac{\tan\left(A-B\right)\;+\;\tan\;C}{1-\tan\left(A-B\right)\;\tan\;C}\\[4px]&=&\frac{\footnotesize{\frac{\tan A\;-\;\tan\;B}{1+\tan A\;\tan\;B}}\;+\;\tan\;C}{1-{\footnotesize\frac{\tan A\;-\;\tan\;B}{1+\tan A\;\tan\;B}}\;\tan\;C}\\[6px]&=&\frac{\tan\;A\;-\;\tan\;B\;+\;\tan\;C\left(1\;+\;\tan\;A\;\tan\;B\right)}{1\;+\;\tan\;A\;\tan\;B\;-\;\left(\tan\;A-\tan\;B\right)\;\tan\;C}\\[4px]&=&\frac{\tan\;A\;-\;\tan\;B\;+\;\tan\;C\;+\;\tan\;C\;\tan\;A\;\tan\;B}{1\;+\;\tan\;A\;\tan\;B\;-\;\tan\;A\;\tan\;C\;-\;\tan\;B\;\tan\;C}\\[4px]&=&\frac{\cot\;B\;\cot\;C\;-\;\cot\;A\;\cot\;C\;+\;\cot\;B\;\cot\;A\;-\;1}{\cot\;A\;\cot\;B\;\cot\;C\;+\;\;\cot\;C\;-\;\cot\;B\;+\;\cot\;A}\;\;\;;\;\;\;\tan A\;\tan B\;\tan C\;\text{ගෙන් බෙදීමෙන්}\end{array}
අඳුරු කළ කොටසේ වර්ගඵලය හොයන්න පොඩ්ඩක් උත්සහ කරලා බලමුද?
ආකලන – ගුණන සූත්‍ර ( CD සූත්‍ර )
\begin{array}{rcl}\sin\;\left(A+B\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B\\\sin\;\left(A-B\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;-\;\cos\;A\;\sin\;B\\\sin\;\left(A+B\right)\;+\;\sin\;\left(A-B\right)\;&=&\;2\;\sin\;A\;\cos\;B\;(\;\text{ආකලනයෙන්}\;)\end{array}
\begin{array}{l}A+B=C\;\text{ද}\;A-B=D\;\text{ද යැයි ගනිමු. එවිට,}\;\;\\A=\frac{C+D}2\;\text{ද}\;B=\frac{C-D}2\;\text{ද වේ.}\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\;C+\;\sin\;D&=&2\;\sin\;\left(\frac{C+D}2\right)\;\cos\;\left(\frac{C-D}2\right)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\sin\;\left(A+B\right)\;-\;\sin\;\left(A-B\right)\;&=&\;2\;\cos\;A\;\sin\;B\;(\;\text{ව්‍යාකලනයෙන්}\;)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\;C-\;\sin\;D&=&2\;\sin\;\left(\frac{C-D}2\right)\;\cos\;\left(\frac{C+D}2\right)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\cos\;\left(A+B\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;-\;\sin\;A\;\sin\;B\\\cos\;\left(A-B\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;-\;\sin\;A\;\sin\;B\\\cos\;\left(A+B\right)\;+\;\cos\;\left(A-B\right)\;&=&\;2\;\cos\;A\;\cos\;B\;(\;\text{ආකලනයෙන්}\;)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\cos\;C\;+\;\cos\;D&=&2\;\cos\;\left(\frac{C+D}2\right)\;\cos\;\left(\frac{C-D}2\right)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\cos\;\left(A+B\right)\;-\;\cos\;\left(A-B\right)&=&-2\;\sin\;A\;\sin\;B\;(\;\text{ව්‍යාකලනයෙන්)}\;)\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cos\;C\;-\;\cos\;D&=&\;-2\;\sin\;\left(\frac{C+D}2\right)\;\sin\;\left(\frac{C-D}2\right)\end{array}
ගුණන-ආකලන සූත්‍ර (CD සූත්‍ර විලෝමය)
\begin{array}{rcl}2\;\sin\;A\;\cos\;B\;&=&\;\sin\;\left(A+B\right)\;+\;\sin\;\left(A-B\right)\\2\;\cos\;A\;\cos\;B\;&=&\;\cos\;\left(A+B\right)\;+\;\cos\;\left(A-B\right)\\-2\;\sin\;A\;\sin\;B\;&=&\;\cos\;\left(A+B\right)\;-\;\cos\;\left(A-B\right)\end{array}
ආකලන සූත්‍ර හා ගුණන සූත්‍ර ගැටළු විසදීම
උදාහරණ ගැටලුව 4
\frac{\sin\;(\theta+\varnothing)\;-\;2\;\sin\;\theta+\;\sin\;(\theta-\varnothing)}{\cos\;(\theta+\varnothing)\;-\;2\;\cos\;\theta\;+\;\cos\;(\theta-\varnothing)}\;=\;\tan\;\theta බව පෙන්වන්න .
ගුණන හා ආකලන සූත්‍ර යෙදීමෙන් ,
\begin{array}{rcl}LHS&=&\frac{2\;\sin\;\left(\frac{(\theta+\varnothing)+(\theta-\varnothing)}2\right)\;\cos\;\left({\frac{(\theta+\varnothing)-(\theta-\varnothing)}2}\right)\;-\;2\;\sin\;\theta}{2\;\cos\;\left({\frac{(\theta+\varnothing)+(\theta-\varnothing)}2}\right)\;\cos\;\left({\frac{(\theta+\varnothing)-(\theta-\varnothing)}2}\right)\;-\;2\;\cos\;\theta}\\[6px]&=&\frac{2\;\sin\;\theta\;\cos\;\varnothing\;-\;2\;\sin\;\theta}{2\;\cos\;\theta\;\cos\;\varnothing\;-\;2\;\cos\;\theta}\\[4px]&=&\frac{2\;\sin\;\theta\left(\;\cos\;\varnothing\;-1\right)}{2\;\cos\;\theta\left(\;\cos\;\varnothing\;-1\right)}\;\;\;;\;\;\;\cos\;\varnothing-1\neq0\\[4px]&=&\tan\;\theta\\&=&RHS\end{array}
උදාහරණ ගැටලුව 5
\sin\;\frac x2\;\sin\;\frac{7x}2\;+\;\sin\;\frac{3x}2\;\sin\;\frac{11x}2\;=\;\sin\;5x\;\sin\;2x බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}LHS&=&\sin\;\frac x2\;\sin\;\frac{7x}2\;+\;\sin\;\frac{3x}2\;\sin\;\frac{11x}2\;\\[4px]&=&-\frac1{\;2\;}\left[\cos\;\left(\frac x2+\frac{7x}2\right)\;-\;\cos\;\left(\frac x2-\frac{7x}2\right)\right]\;-\;\frac1{\;2\;}\left[\cos\;\left(\frac{3x}2+\frac{11x}2\right)\;-\;\cos\;\left(\frac{3x}2\;-\;\frac{11x}2\right)\right]\\[4px]&=&\frac12\;\left(\cos\;3x\;-\;\cos\;7x\right)\\[4px]&=&\frac12\left(-2\;\sin\;5x\;\sin\;\left(-2x\right)\right)\\&=&\sin\;5x\;\sin\;2x\\&=&RHS\end{array}
උදාහරණ ගැටලුව 6
A+B+C\;=\pi\;\text{නම්}\;\sin\;A+\sin\;B+\sin\;C=4\;\cos\;\frac A2\;\cos\;\frac B2\;\cos\;\frac C2\;\text{බව පෙන්වන්න}.\begin{array}{rcl}LHS&=&\sin\;A\;+\;\sin\;B\;+\;\sin\;C\\&=&2\;\sin\;\left(\frac{A+B}2\right)\;\cos\;\left(\frac{A-B}2\right)\;+\;2\;\sin\;\frac C2\;\cos\;\frac C2\;\;\;\;;\;\;\;\left(\frac{A+B}2\right)=\frac\pi2-\frac C2\;\text{නිසා}\;\\[4px]&=&2\;\cos\;\frac C2\;\cos\;\left(\frac{A-B}2\right)\;+\;2\;\sin\;\frac C2\;\cos\;\frac C2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\frac C2=\frac\pi2-\left(\frac{A+B}2\right)\;\text{නිසා}\\[4px]&=&2\;\cos\;\frac C2\left[\;\cos\;\left(\frac{A-B}2\right)\;+\;\cos\;\left(\frac{A+B}2\right)\right]\\[4px]&=&2\;\cos\;\frac C2\left[\;2\;\cos\;\frac A2\;\cos\;\frac B2\right]\\[4px]&=&4\;\cos\;\frac A2\;\cos\;\frac B2\;\cos\;\frac C2\\[4px]&=&RHS\end{array}
“In the middle of difficulty lies opportunity.”
-Albert Einstein-
Video Links:
