{"id":14954,"date":"2021-05-23T14:34:33","date_gmt":"2021-05-23T09:04:33","guid":{"rendered":"https:\/\/learnsteer.sasnaka.org\/science\/?p=14954"},"modified":"2022-01-27T20:00:37","modified_gmt":"2022-01-27T14:30:37","slug":"01-05-00","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/learnsteer.sasnaka.org\/science\/advanced-level-science\/01-05-00\/","title":{"rendered":"01.05.00 – \u0db8\u0dd2\u0dc1\u0dca\u200d\u0dbb \u0d9c\u0dd0\u0da7\u0dbd\u0dd4"},"content":{"rendered":"\r\n
\r\n
\u0db4\u0dcf\u0da9\u0db8\u0dda \u0dc3\u0da7\u0dc4\u0db1 Download \u0d9a\u0dbb\u0d9c\u0db1\u0dca\u0db1.<\/a><\/div>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n
    \r\n
  1. (2020)\r\n
      \r\n
    1. \\underline a<\/span> \u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span> \u0dba\u0db1\u0dd4 \u0d92\u0d9a\u0d9a \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0daf\u0dd9\u0d9a\u0d9a\u0dca \u0dba\u0dd0\u0dba\u0dd2 \u0d9c\u0db1\u0dd2\u0db8\u0dd4.
      O \u0db8\u0dd6\u0dbd\u0dba\u0d9a\u0dca \u0d85\u0db1\u0dd4\u0db6\u0daf\u0dca\u0db0\u0dba\u0dd9\u0db1\u0dca A, B \u0dc4\u0dcf C \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba \u0dad\u0dd4\u0db1\u0d9a \u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dd4\u0db8\u0dca \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0db4\u0dd2\u0dc5\u0dd2\u0dc0\u0dd9\u0dbd\u0dd2\u0db1\u0dca 12\\underline a\\;,\\;18\\underline b<\/span> \u0dc4\u0dcf 10\\underline a+3\\underline b<\/span> \u0dc0\u0dda.
      \\underline a<\/span> \u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span> \u0d87\u0dc3\u0dd4\u0dbb\u0dd9\u0db1\u0dca \\footnotesize{\\overrightarrow{AC}}<\/span> \u0dc4\u0dcf \\scriptsize{\\overrightarrow{CB}}<\/span> \u0db4\u0dca\u200d\u0dbb\u0d9a\u0dcf\u0dc1 \u0d9a\u0dbb\u0db1\u0dca\u0db1.
      A, B \u0dc4\u0dcf C \u0d92\u0d9a \u0dbb\u0dda\u0d9b\u0dd3\u0dba \u0db6\u0dc0 \u0d85\u0db4\u0ddd\u0dc4\u0db1\u0dba \u0d9a\u0dbb, AC : CB \u0dc3\u0ddc\u0dba\u0db1\u0dca\u0db1.
      {\\small OC\\;=\\;\\sqrt{139}}<\/span>\u00a0\u0db6\u0dc0 \u0daf\u0dd3 \u0d87\u0dad. {\\small A\\widehat OB=\\frac\\pi3}<\/span> \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.

      \\begin{array}{rcl}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\small{\\overrightarrow{AC}}\\;&=&\\;\\small{\\overrightarrow{AO}}\\;+\\;\\small{\\overrightarrow{OC}}\\\\&=&\\;\\small{\\overrightarrow{OC}}\\;-\\;\\small{\\overrightarrow{OA}}\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\&=&\\;10\\underline a\\;+\\;3\\underline b\\;-\\;12\\underline a\\\\&=&\\;-2\\underline a\\;+\\;3\\underline b\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\&&\\\\\\small{\\overrightarrow{CB}}\\;&=&\\;\\small{\\overrightarrow{OB}}\\;-\\;\\small{\\overrightarrow{OC}}\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\&=&\\;18\\underline b\\;-\\;\\left(10\\underline a\\;+\\;3\\underline b\\right)\\\\&=&\\;-10\\underline a\\;+\\;15\\underline b\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\&&\\\\\\small{\\overrightarrow{CB}}\\;&=&\\;5\\;\\small{\\overrightarrow{AC}}\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\end{array}<\/span>
      \\therefore\\;A,\\;B\\;\\mathrm{\u0dc4\u0dcf}\\;C\\;\\mathrm{\u0d92\u0d9a}\\;\\mathrm{\u0dbb\u0dda\u0d9b\u0dd3\u0dba}\\;\\mathrm{\u0dc0\u0db1}\\;\\mathrm{\u0d85\u0dad\u0dbb},\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}<\/span>
      \\begin{array}{rcl}{AC}\\;:\\;{CB}\\;&=&\\;1\\;:\\;5\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\&&\\\\{OC}\\;&=&\\;\\sqrt{139}\\;\\;\\text{---}\\text{\\large \u2784}\\\\\\small{\\overrightarrow{{OC}}}\\cdot\\small{\\overrightarrow{{OC}}}\\;&=&\\;139\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\\\left(10\\underline{ a}\\;+\\;3\\underline{ b}\\right)\\cdot\\left(10\\underline{ a}+3\\underline{ b}\\right)\\;&=&\\;139\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\100\\left|\\underline{\\underline{ a}}\\right|^2\\;+\\;60\\underline{ a}\\cdot\\underline{ b}\\;+\\;9\\left|\\underline{ b}\\right|^2\\;&=&\\;139\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\60\\underline{ a}\\cdot\\underline{ b}\\;&=&\\;30\\;\\;\\\\\\underline{ a}\\cdot\\underline{ b}\\;&=&\\;\\frac12\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\\\left|\\underline{ a}\\right|\\left|\\underline{ b}\\right|\\;{Cos}\\; A\\widehat{ O} B\\;&=&\\;\\frac12\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\\\therefore\\; A\\widehat{ O} B\\;&=&\\;\\frac{\\pi}3\\;\\;\\text{---}{\\large \u2784}\\\\\\end{array}<\/span>
      \\\\<\/span><\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/li>\r\n
    2. \\underline a<\/span> \u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span> \u0dba\u0db1\u0dd4 \u0db1\u0dd2\u0dc1\u0dca\u0dc1\u0dd6\u0db1\u0dca\u200d\u0dba \u0d85\u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0daf\u0dd9\u0d9a\u0d9a\u0dca \u0dc0\u0db1 \u0d85\u0dad\u0dbb \\;\u03b1\\underline a+\\beta\\underline b=0\\;<\/span> \u0dc0\u0dd9\u0dba\u0dd2. \u0db8\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \u03b1 \u0dc4\u0dcf \u03b2 \u0d85\u0daf\u0dd2\u0dc1 \u0dc0\u0dd9\u0dba\u0dd2. \u03b1 = \u03b2 = 0 \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.
      A, B \u0dc4\u0dcf C \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba \u0dc0\u0dbd O \u0db8\u0dd6\u0dbd\u0dba \u0d85\u0db1\u0dd4\u0db6\u0daf\u0dca\u0db0\u0dba\u0dd9\u0db1\u0dca \u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dd4\u0db8\u0dca \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0db4\u0dd2\u0dc5\u0dd2\u0dc0\u0dd9\u0dbd\u0dd2\u0db1\u0dca \\;5\\underline i+6\\underline j\\;,\\;3\\underline i-\\underline j\\;,\\;-4\\underline i+2\\underline j<\/span> \u0dc0\u0dd9\u0dba\u0dd2. P , Q , R \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba\u0db1\u0dca \u0db4\u0dd2\u0dc5\u0dd2\u0dc0\u0dd9\u0dbd\u0dd2\u0db1\u0dca AB , BC , CA \u0db4\u0dcf\u0daf \u0db8\u0dad \u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dcf \u0d87\u0dad\u0dca\u0dad\u0dda AP : PB = 3 : 1 , BQ : QC = 2 : 1 \u0daf, CR : RA = 2 : 3 \u0dc0\u0db1 \u0db4\u0dbb\u0dd2\u0daf\u0dd2\u0dba.
      AQ \u0dc3\u0dc4 BR \u0dc4\u0dd2 \u0da1\u0dda\u0daf\u0db1 \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dd4\u0db8\u0dca \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a\u0dba \\frac{55}{143}\\;\\underline i\\;+\\;\\frac{363}{143}\\;\\underline j<\/span> \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{l}\\alpha \\underline a+\\beta \\underline b\\;=\\;0\\\\\\underline a\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline b\\;\\text{\u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a}\\;\\text{\u0d85\u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb}\\;\\text{\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca},\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{l}\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}\\underline b\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}(-\\underline b)\\text{\u0dc0\u0dda}.\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{l}\\text{\u0dad\u0dc0\u0daf},\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{l}\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}0\\end{array}<\/span> \\begin{array}{l}\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline b\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}0\\end{array}<\/span> \\begin{array}{l}\\;\\text{\u0db6\u0dc0}\\;\\text{\u0daf\u0dd3}\\;\\text{\u0d87\u0dad.}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{l}\\therefore\\;\\alpha\\underline a\\;+\\;\\beta \\underline b\\;=\\;0\\;\\text{\u0dc0\u0dd3\u0db8\u0da7}.\\\\\\alpha=0\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\beta=0\\;\\text{\u0dc0\u0dd2\u0dba}\\;\\text{\u0dba\u0dd4\u0dad\u0dd4\u0dba}.\\;\\\\\\therefore\\;\\alpha\\;=\\;\\beta\\;=\\;0\\;\\text{\u0dc0\u0dda}\\end{array}<\/span>
      \\begin{array}{rcl}&&\\\\\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\overrightarrow{AB}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AO}\\;+\\;\\overrightarrow{OB}\\\\&=&\\;-5\\;\\underline i\\;-6\\;\\underline j\\;+\\;3\\;\\underline i\\;-\\;\\underline j\\\\&=&\\;-2\\;\\underline i\\;-\\;7\\;\\underline j\\\\\\\\\\overrightarrow{BC}\\;&=&\\;\\overrightarrow{BO}\\;+\\;\\overrightarrow{OC}\\\\&=&\\;-3\\;\\underline i\\;+\\;\\underline j\\;-\\;4\\;\\underline i\\;+\\;2\\;\\underline j\\\\&=&\\;-7\\;\\underline i\\;+\\;3\\;\\underline j\\;\\\\\\\\\\overrightarrow{AC}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AO}\\;+\\;\\overrightarrow{OC}\\\\&=&\\;-5\\;\\underline i\\;-\\;6\\;\\underline j\\;-\\;4\\;\\underline i\\;+\\;2\\;\\underline j\\\\&=&\\;-9\\;\\underline i\\;-\\;4\\;\\underline j\\end{array}<\/span>

      AQ \u0dc3\u0dc4 BR \u0dc4\u0dd2 \u0da1\u0dda\u0daf\u0db1 \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba S \u0daf,
      BS : SR = 1 : \u03bb \u0dbd\u0dd9\u0dc3\u0daf, QS : SA = 1 : \u03bc \u0dbd\u0dd9\u0dc3\u0daf \u0d9c\u0db1\u0dd2\u0db8\u0dd4.
      \\begin{array}{rcl}\\\\\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\overrightarrow{AQ}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AB}\\;+\\;\\overrightarrow{BQ}\\;\\;\\\\&=&\\;\\overrightarrow{AB}\\;+\\frac23\\;\\overrightarrow{BC}\\\\[4px]&=&\\;-2\\;\\underline i\\;-\\;7\\;\\underline j\\;+\\;\\frac23\\;(-7\\;\\underline i\\;+\\;3\\;\\underline j)\\\\[4px]&=&\\;\\left(\\frac{-20}3\\right)\\;\\underline i\\;-\\;\\frac{15}3\\;\\underline j\\\\[4px]&=&\\;\\left(\\frac{-20}3\\right)\\;\\underline i\\;-\\;5\\;\\underline i\\\\[4px]\\overrightarrow{BR}\\;&=&\\;\\overrightarrow{BC}\\;+\\;\\overrightarrow{CR}\\;\\;\\\\[4px]&=&\\;\\overrightarrow{BC}\\;+\\frac25\\;\\overrightarrow{CA}\\\\[4px]&=&\\;-7\\;\\underline i\\;+\\;3\\;\\underline j\\;-\\;\\frac25\\;(-9\\;\\underline i\\;-\\;4\\;\\underline j)\\\\[4px]&=&\\;\\left(\\frac{-17}5\\right)\\;\\underline i\\;-\\;\\frac{23}5\\;\\underline j\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\nSRA\\;\\triangle\\text{\u0dba\u0dd9\u0db1\u0dca},<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{rcl}\\overrightarrow{AS}\\;+\\;\\overrightarrow{SR}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AR}\\;\\\\\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;\\overrightarrow{AQ}\\;+\\;\\left(\\frac\\lambda{1+\\lambda}\\right)\\;\\overrightarrow{BR}\\;&=&\\;\\frac35\\;\\overrightarrow{AC}\\;\\\\\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;\\left(\\frac{-20}3\\right)\\;\\underline i\\;-\\frac{15}3\\;\\underline j\\;+\\;\\left(\\frac\\lambda{1+\\lambda}\\right)\\;\\left[\\frac{-17}5\\;\\underline i\\;+\\frac{23}5\\;\\underline j\\right]\\;&=&\\;\\frac35\\;(-9\\;\\underline i\\;-\\;4\\;\\underline j)\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\underline i<\/span> \u0dc4\u0dcf \\underline j<\/span> \u0d85\u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca \u0d92\u0dc0\u0dcf\u0dba\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \u0dc3\u0d82\u0d9c\u0dd4\u0dab\u0d9a \u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1 \u0d9a\u0dd2\u0dbb\u0dd3\u0db8\u0dd9\u0db1\u0dca,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\underline i<\/span> \u0dc3\u0dbd\u0d9a\u0dcf,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\left(\\frac{-20}3\\right)\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;-\\;\\frac{17}5\\left(\\frac\\lambda{1+\\lambda}\\right)\\;=\\;-\\frac{27}5\\;\\text{---}\\left(1\\right)<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\underline j<\/span> \u0dc3\u0dbd\u0d9a\u0dcf,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\left(\\frac{-15}3\\right)\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;-\\;\\frac{23}5\\left(\\frac\\lambda{1+\\lambda}\\right)\\;=\\;-\\frac{12}5\\;\\text{---}\\left(2\\right)<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;(1)\\;\\times\\;23\\;+\\;(2)\\;\\times\\;17\\;\\text{\u0db1\u0dca,}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

      \\begin{array}{rcl}\\left(\\frac{-460}3\\right)\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;-\\;\\left(\\frac{255}3\\right)\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;&=&\\;165\\\\[4px]\\left(\\frac{-715}3\\right)\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;&=&\\;165\\\\[4px]\\left(\\frac\\mu{1+\\mu}\\right)\\;&=&\\;\\frac{99}{143}\\\\[4px]143\\mu\\;&=&\\;99\\;+\\;99\\mu\\\\\\mu\\;&=&\\;\\frac{99}{44}\\\\[12px]\\overrightarrow{OS}\\;&=&\\;\\overrightarrow{OA}\\;+\\;\\overrightarrow{AS}\\\\&=&\\;5\\underline i\\;+\\;6\\underline j\\;+\\frac{\\frac{99}{143}}{1+{\\frac{99}{44}}}\\left[\\left(\\frac{-20}3\\right)\\;\\underline i\\;-\\;5\\underline i\\right]\\\\&=&\\;\\frac{\\left(715\\underline i\\;-\\;660\\underline i\\right)}{143}\\;+\\;\\frac{\\left(858\\underline j\\;-\\;495\\underline j\\right)}{143}\\\\\\overrightarrow{OS}\\;&=&\\;\\frac{55}{143}\\underline i\\;+\\;\\frac{363}{143}\\underline j\\end{array}<\/span>
      \\\\<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

        \r\n
      1. ABCD \u0da0\u0dad\u0dd4\u0dbb\u0dc3\u0dca\u200d\u0dbb\u0dba\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \\overrightarrow{DC}=\\underline a\\;,\\;\\overrightarrow{AD}=\\underline b\\;\\text{\u0dc3\u0dc4}\\;\\overrightarrow{AB}=2\\underline a<\/span> \u0dc0\u0dda. AE : EB = 3 : 1 \u0dc0\u0db1 E \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba AB \u0db8\u0dad \u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dcf \u0d87\u0dad\u0dca\u0dad\u0dda AB \u22a5 CE \u0dc0\u0db1 \u0db4\u0dbb\u0dd2\u0daf\u0dd2\u0dba. F \u0dba\u0db1\u0dd4 AD \u0dc4\u0dd2 \u0db8\u0db0\u0dca\u200d\u0dba \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba \u0dc0\u0dda.
        EF \u0dc4\u0dcf AC \u0dc4\u0dd2 \u0da1\u0dda\u0daf\u0db1 \u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba G \u0dc0\u0dda.
        \\overrightarrow{FG}=\\lambda\\overrightarrow{FE}\\;\\text{\u0dc0\u0dd2\u0da7,}\\;\\overrightarrow{AG}=\\frac{3}{2}\\lambda\\underline a\\;+\\;\\frac{1}{2}\\left(1-\\lambda\\right)\\underline b<\/span> \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.
        \u0dad\u0dc0\u0daf, AG : GC \u0dc4\u0dcf FG : GE \u0d85\u0db1\u0dd4\u0db4\u0dcf\u0dad \u0dc3\u0ddc\u0dba\u0db1\u0dca\u0db1.
        B\\widehat AD=\\cos^{-1}\\left(\\frac{\\left|\\underline a\\right|}{2\\left|\\underline b\\right|}\\right)<\/span> \u0db6\u0dc0\u0daf \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n\r\n\r\n\r\n

        \\begin{array}{rcl}\\overrightarrow{FE}\\;&=&\\;\\overrightarrow{FA}\\;+\\;\\overrightarrow{AE}\\\\&=&\\;\\overrightarrow{FA}\\;+\\;\\frac34\\overrightarrow{AB}\u200d\\\\[4px]&=&\\;-\\frac12\\underline b\\;+\\;\\frac34\\left(2\\underline a\\right)\\\\[4px]&=&-\\frac12\\underline b\\;+\\;\\frac32\\underline a\\\\[4px]\\overrightarrow{FG}\\;&=&\\;\\lambda\\overrightarrow{FE}\\;\\text{\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca,}\\\\\\overrightarrow{GE}\\;&=&\\;\\left(1-\\lambda\\right)\\overrightarrow{FE}\\\\[4px]&=&\\;\\frac12\\left(1-\\lambda\\right)\\left(3\\underline a-\\underline b\\right)\\\\[4px]\\overrightarrow{AG}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AE}\\;+\\;\\overrightarrow{EG}\u200d\\\\[4px]\\;&=&\\frac32\\underline a\\;+\\;\\frac12\\left(1-\\lambda\\right)\\left(\\underline b-3\\underline a\\right)\\\\[4px]\\overrightarrow{AG}\\;&=&\\;\\frac32\\lambda\\underline a\\;+\\;\\frac12\\left(1-\\lambda\\right)\\underline b\\;\\rightarrow\\;\\left(1\\right)\\\\[4px]\\overrightarrow{AG}\\;&=&\\;\\mu\\;\\overrightarrow{AC}\\;\\text{\u0db1\u0db8\u0dca},\\\\&=&\\;\\mu\\;\\left(\\overrightarrow{AD}+\\overrightarrow{DC}\\right)\\\\&=&\\;\\mu\\;\\left(\\underline b+\\underline a\\right)\\;\\rightarrow\\;\\left(2\\right)\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

          \r\n
        • \\underline a\\;<\/span>\u2260\\;0\\;,\\;\\underline b\\;<\/span>\u2260\\;0\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline a\\;,\\;\\underline b\\;\\text{\u0d85\u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb\u00a0\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca,}<\/span><\/li>\r\n<\/ul>\r\n\r\n\r\n\r\n

          \\begin{array}{rcl}\\left\\langle\\left\\langle\\underline a\\right\\rangle\\right\\rangle\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\frac{3\\lambda}2-\\mu\\;&=&\\;0\\\\\\mu\\;&=&\\;\\frac{3\\lambda}2\\;\\;\\longrightarrow\\;(3)\\\\\\left\\langle\\left\\langle\\underline b\\right\\rangle\\right\\rangle\\;\\;\\;\\;\\frac12-\\frac\\lambda2-\\mu\\;&=&\\;0\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

          (3)\u0db1\u0dca \u0d86\u0daf\u0dda\u0dc1\u0dba:-<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

          \\begin{array}{rcl}\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\frac12-\\frac\\lambda2-\\frac{3\\lambda}2\\;&=&\\;0\\\\\\lambda\\;&=&\\;\\frac14\\\\FG\\::\\;GE\\;&=&\\;1\\;:\\;3\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

          (3)\u0db1\u0dca,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

          \\mu\\;=\\;\\frac38<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

            \r\n
          1. \r\n
              \r\n
            1. \\underline a<\/span> \u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span>\u00a0\u0dba\u0db1\u0dd4 \u0db1\u0dd2\u0dc1\u0dca\u0dc1\u0dd6\u0db1\u0dca\u200d\u0dba \u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb \u0db1\u0ddc\u0dc0\u0dd6 \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0daf\u0dd9\u0d9a\u0d9a\u0dca \u0db1\u0db8\u0dca \\;\\alpha\\underline a+\\beta\\underline b=0\\;<\/span>\u00a0\u0dc0\u0dd3\u0db8\u0da7 \u03b1 = 0 \u0dc4\u0dcf \u03b2 = 0 \u0dc0\u0dd2\u0dba \u0dba\u0dd4\u0dad\u0dd4 \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.<\/li>\r\n
            2. \u0dc3\u0dbb\u0dbd \u0dbb\u0dda\u0d9b\u0dcf\u0dc0\u0d9a\u0dca \u0db8\u0d9c\u0dd2\u0db1\u0dca ABC \u0dad\u0dca\u200d\u0dbb\u0dd2\u0d9a\u0ddd\u0dab\u0dba\u0dda \u0daf\u0dd2\u0d9a\u0dca\u0d9a\u0dbd BC \u0db4\u0dcf\u0daf\u0dba D \u0dc4\u0dd2\u0daf\u0dd3 \u0daf, AC \u0dc4\u0dcf AB \u0db4\u0dcf\u0daf \u0db4\u0dd2\u0dc5\u0dd2\u0dc0\u0dd9\u0dbd\u0dd2\u0db1\u0dca E \u0dc4\u0dcf F \u0dc4\u0dd2 \u0daf\u0dd3 \u0d85\u0db7\u0dca\u200d\u0dba\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb\u0dc0 \u0daf \u0da1\u0dda\u0daf\u0db1\u0dba \u0d9a\u0dbb\u0dba\u0dd2. \u0db8\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \\frac{BD}{CD}=p(>1)\\;,\\;\\frac{CE}{EA}\\;=\\;q\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\;\\frac{AF}{FB}=r<\/span>\u00a0\u0dc0\u0dda.
              \r\n
                \r\n
              1. \\overrightarrow{EF}\\;=\\;\\frac1{1+q}\\overrightarrow{CA}\\;+\\;\\frac r{1+r}\\overrightarrow{AB}\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}<\/span><\/li>\r\n
              2. \\overrightarrow{DF}\\;=\\;\\frac p{p-1}\\overrightarrow{CA}\\;+\\;\\frac{pr+1}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\overrightarrow{AB}\\;\\text{\u0db6\u0dc0\u00a0\u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.}<\/span>
                \u0d92 \u0db1\u0dba\u0dd2\u0db1\u0dca, pqr=1\u00a0\u0db6\u0dc0 \u0d85\u0db4\u0ddd\u0dc4\u0db1\u0dba \u0d9a\u0dbb\u0db1\u0dca\u0db1.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/li>\r\n<\/ol>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{l}\\alpha \\underline a+\\beta \\underline b\\;=\\;0\\\\\\underline a\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline b\\;\\text{\u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a}\\;\\text{\u0d85\u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb}\\;\\text{\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca},\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{l}\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}\\underline b\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}(-\\underline b)\\text{\u0dc0\u0dda}.\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{l}\\text{\u0dad\u0dc0\u0daf},\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{l}\\underline a\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}0\\end{array}<\/span> \\begin{array}{l}\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline b\\end{array}<\/span>\u2260\\begin{array}{l}0\\end{array}<\/span> \\begin{array}{l}\\;\\text{\u0db6\u0dc0}\\;\\text{\u0daf\u0dd3}\\;\\text{\u0d87\u0dad.}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\begin{array}{l}\\therefore\\;\\alpha\\underline a\\;+\\;\\beta \\underline b\\;=\\;0\\;\\text{\u0dc0\u0dd3\u0db8\u0da7}.\\\\\\alpha=0\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\beta=0\\;\\text{\u0dc0\u0dd2\u0dba}\\;\\text{\u0dba\u0dd4\u0dad\u0dd4\u0dba}.\\;\\\\\\therefore\\;\\alpha\\;=\\;\\beta\\;=\\;0\\;\\text{\u0dc0\u0dda}\\end{array}<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{l}\\text{ii. }\\;\\;\\;A,\\;B,\\;C,\\;D,\\;E\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;F\\;\\text{\u0dc4\u0dd2\u00a0\u0db4\u0dd2\u0dc4\u0dd2\u0da7\u0dd4\u0db8\u0dca\u00a0\u0db4\u0dd2\u0dc5\u0dd2\u0dc0\u0dd9\u0dbd\u0dd2\u0db1\u0dca}\\;\\underline a,\\underline b,\\underline c,\\underline d,\\underline e\\;\\text{\u0dc4\u0dcf}\\;\\underline f\\;\\text{\u0dbd\u0dd9\u0dc3\u00a0\u0d9c\u0db1\u0dd2\u0db8\u0dd4.}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}\\overrightarrow{CA}\\;&=&\\;\\overrightarrow{CO}\\;+\\;\\overrightarrow{OA}\\\\&=&\\;\\overrightarrow{OA}\\;-\\;\\overrightarrow{OC}\\\\&=&\\;\\underline a\\;-\\;\\underline c\\\\\\overrightarrow{AB}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AO}\\;+\\;\\overrightarrow{OB}\\\\&=&\\;\\overrightarrow{OB}\\;-\\;\\overrightarrow{OA}\\\\&=&\\;\\underline b\\;-\\;\\underline a\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}1.\\;\\overrightarrow{OE}\\;&=&\\;\\frac{q\\underline a+\\underline c}{1+q}\\\\\\overrightarrow{OF}\\;&=&\\;\\frac{r\\underline b+\\underline a}{1+r}\\\\\\overrightarrow{EF}\\;&=&\\;\\overrightarrow{EO}\\;+\\;\\overrightarrow{OF}\\\\&=&\\;\\overrightarrow{OF}\\;-\\;\\overrightarrow{OE}\\\\&=&\\;\\frac{r\\underline b+\\underline a}{1+r}\\;-\\;\\frac{q\\underline a+\\underline c}{1+q}\\\\&=&\\;\\frac{r\\underline b+\\underline a+rq\\underline b+q\\underline a-q\\underline a-\\underline c-rq\\underline a-\\underline{rc}}{\\left(1+r\\right)\\left(1+q\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{r\\left(\\underline b-\\underline c\\right)+\\left(\\underline a-\\underline c\\right)+rq\\left(\\underline b-\\underline a\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(1+q\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{r\\left(\\underline b-\\underline a+\\underline a-\\underline c\\right)+\\left(\\underline a-\\underline c\\right)+rq\\left(\\underline b-\\underline a\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(1+q\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{\\left(1+r\\right)\\left(\\underline a-\\underline c\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(1+q\\right)}\\;+\\;\\frac{r\\left(1+q\\right)\\left(\\underline b-\\underline a\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(1+q\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{\\underline a-\\underline c}{1+q}\\;+\\;\\frac{r\\left(\\underline b-\\underline a\\right)}{1+r}\\\\\\overrightarrow{EF}\\;&=&\\;\\left(\\frac1{1+q}\\right)\\overrightarrow{CA}\\;+\\;\\left(\\frac r{1+r}\\right)\\overrightarrow{AB}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}2.\\;\\overrightarrow{OD}\\;&=&\\;\\frac{p\\underline c-\\underline b}{p-1}\\\\\\overrightarrow{DF}\\;&=&\\;\\overrightarrow{DO}\\;+\\;\\overrightarrow{OF}\\\\&=&\\;\\frac{\\underline b-p\\underline c}{p-1}\\;+\\;\\frac{r\\underline b+\\underline a}{1+r}\\\\&=&\\;\\frac{\\underline b-p\\underline c+r\\underline b-pr\\underline c+pr\\underline b+p\\underline a-r\\underline b-\\underline a}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{\\left(\\underline b-\\underline a\\right)+p\\left(\\underline a-\\underline c\\right)+pr\\left(\\underline b-\\underline c\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{\\left(\\underline b-\\underline a\\right)+p\\left(\\underline a-\\underline c\\right)+pr\\left(\\underline b-\\underline a+a-\\underline c\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\\\&=&\\;\\frac{p\\left(1+r\\right)\\left(\\underline a-\\underline c\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\;+\\;\\frac{\\left(1+pr\\right)\\left(\\underline b-\\underline a\\right)}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\\\\\overrightarrow{DF}\\;&=&\\;\\;\\left(\\frac p{p-1}\\right)\\overrightarrow{CA}\\;+\\;\\left(\\frac{pr+1}{\\left(1+r\\right)\\left(p-1\\right)}\\right)\\overrightarrow{AB}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}\\overrightarrow{OE}\\;&=&\\;\\frac{q\\underline a+\\underline c}{1+q}\\\\\\left(1+q\\right)\\underline e\\;&=&\\;q\\underline a+\\underline c\\;\\;\\longrightarrow\\;(1)\\\\\\overrightarrow{OF}\\;&=&\\;\\frac{r\\underline b+\\underline a}{1+r}\\\\\\left(1+r\\right)\\underline f\\;&=&{\\;r\\underline b+\\underline a\\;\\;\\longrightarrow\\;(2)}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n(2)\\times\\;q\\;-\\;(1)\\Rightarrow<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}(1+r)\\;q\\underline f\\;-\\;(1+q)\\underline e\\;&=&\\;rq\\underline b\\;+\\;q\\underline a\\;-\\;q\\underline a\\;-\\;\\underline c\\\\(1+r)\\;q\\underline f\\;-\\;(1+q)\\underline e\\;&=&\\;rq\\underline b\\;-\\;\\underline c\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}\\left(1+r\\right)q\\underline f\\;-\\;\\left(1+q\\right)\\underline e\\;&=&\\;rq\\underline b\\;+\\;q\\underline a\\;-\\;q\\underline a\\;-\\;\\underline c\\\\\\left(1+r\\right)q\\underline f\\;-\\;\\left(1+q\\right)\\underline e\\;&=&\\;rq\\underline b\\;-\\;\\underline c\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \u0daf\u0dd9\u0db4\u0dc3\u0db8 (rq-1)<\/span>\u0db1\u0dca \u0db6\u0dd9\u0daf\u0dd3\u0db8\u0dd9\u0db1\u0dca,<\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcc}\\frac{\\left(1+r\\right)q\\underline f\\;-\\;\\left(1+q\\right)\\underline e}{\\left(rq-1\\right)}&=&\\frac{rq\\underline b\\;-\\;\\underline c}{rq-1}\\\\\\overrightarrow{OD}&=&\\;\\frac{rq\\underline b\\;-\\;\\underline c}{rq-1}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n\\therefore D\\text{\u00a0\u0dbd\u0d9a\u0dca\u0dc2\u0dba\u0dba\u0dd9\u0db1\u0dca}\\;BC\\;\\text{\u0dbb\u0dda\u0d9b\u0dcf\u0dc0},\\;\\frac{BD}{CD}\\;=\\;\\frac1{rq}\\;\\text{\u0d85\u0db1\u0dd4\u0db4\u0dcf\u0dad\u0dba\u0da7\u00a0\u0db6\u0dd9\u0daf\u0dba\u0dd2.}\\;<\/span>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \u00a0<\/div>\r\n\r\n\r\n\r\n

                \\begin{array}{rcl}\\frac{BD}{CD}\\;&=&\\;p\\left(>1\\right)\\;\\text{\u0db1\u0dd2\u0dc3\u0dcf,}\\\\p\\;&=&\\;\\frac1{rq}\\\\\\text{\u0d91\u0dc0\u0dd2\u0da7},\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\pqr\\;&=&\\;\\frac1{rq}qr\\\\pqr\\;&=&\\;1\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                  \r\n
                1. \\underline a<\/span>\u00a0\u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span>\u00a0\u0dba\u0db1\u0dd4 \u0dc3\u0db8\u0dcf\u0db1\u0dca\u0dad\u0dbb \u0db1\u0ddc\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1\u0dcf\u0dc0\u0dd4\u0dad\u0dca \u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a 2 \u0d9a\u0dca \u0d85\u0daf\u0dd2\u0dc1 \u0d9c\u0dd4\u0dab\u0dd2\u0dad\u0dba \u0d85\u0dbb\u0dca\u0dae \u0daf\u0d9a\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1.
                  ABC \u0dad\u0dca\u200d\u0dbb\u0dd2\u0d9a\u0ddd\u0dab\u0dba\u0dda \\overrightarrow {CA}=\\underline a<\/span> \u0daf, \\overrightarrow {CB}=\\underline b<\/span> \u0dc0\u0dda.\u00a0\\left(\\underline a-\\underline b\\right)\\cdot\\left(\\underline a-\\underline b\\right)<\/span> \u0d85\u0daf\u0dd2\u0dc1 \u0d9c\u0dd4\u0dab\u0dd2\u0dad\u0dba \u0dc3\u0dd0\u0dbd\u0d9a\u0dd3\u0db8\u0dd9\u0db1\u0dca 2ab\\;\\cos\\;C\\;=\\;a\\cdot a\\;+\\;b\\cdot b\\;-\\;c\\cdot c<\/span> \u0db6\u0dc0 \u0db4\u0dd9\u0db1\u0dca\u0dc0\u0db1\u0dca\u0db1. \u0db8\u0dd9\u0dc4\u0dd2 \\left|\\underline a\\right|=a\\;,\\;\\left|\\underline b\\right|=b\\;,\\;\\left|\\underline c\\right|=a-b<\/span> \u0dc0\u0dd9\u0dba\u0dd2.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n\r\n\r\n\r\n

                  \\;\\;\\;\\underline a<\/span>\u00a0\u0dc4\u0dcf \\underline b<\/span>\u00a0\u0daf\u0ddb\u0dc1\u0dd2\u0d9a \u0d85\u0dad\u0dbb \u0d9a\u0ddd\u0dab\u0dba \u03b1 \u0db1\u0db8\u0dca \u0d85\u0dad\u0dbb \u0d85\u0daf\u0dd2\u0dc1 \u0d9c\u0dd4\u0dab\u0dd2\u0dad\u0dba \u0db4\u0dc4\u0dad \u0db4\u0dbb\u0dd2\u0daf\u0dd2 \u0dc0\u0dd9\u0dba\u0dd2.
                  \\;\\;\\;\\underline a\\cdot\\underline b\\;=\\;\\left|\\underline a\\right|\\left|\\underline b\\right|\\;\\cos\\;\\alpha<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                  \\begin{array}{rcl}\\overrightarrow{CA}\\;&=&\\;\\underline a\\\\\\overrightarrow{CB}\\;&=&\\;\\underline b\\;\\\\\\overrightarrow{AB}\\;&=&\\;\\overrightarrow{AC}\\;+\\;\\overrightarrow{CB}\\\\&=&\\;\\underline b\\;-\\;\\;\\underline a\\\\[6px]\\left(\\underline a-\\underline b\\right)\\cdot\\left(\\underline a-\\underline b\\right)\\;&=&\\;\\left|\\underline a-\\underline b\\right|\\cdot\\left|\\underline a-\\underline b\\right|\\;\\cos\\;0\\\\&=&\\;c\\cdot c\\cdot1\\\\&=&\\;c^2\\;\\;\\rightarrow\\left(1\\right)\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                  \\begin{array}{rcl}\\text{\u0dad\u0dc0\u0daf,}\\\\\u200d\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\left(\\underline a-\\underline b\\right)\\cdot\\left(\\underline a-\\underline b\\right)\\;&=&\\;\\underline a\\cdot\\underline a\\;-\\;2\\;\\underline a\\cdot\\underline b\\;+\\;\\underline b\\cdot\\underline b\\\\&=&\\;a^2\\;\\cos\\;0\\;-\\;2\\;\\underline a\\cdot\\underline b\\;+\\;b^2\\;\\cos\\;0\\\\&=&\\;a^2\\;-\\;2\\;\\underline a\\cdot\\underline b\\;+\\;b^2\\;\\;\\;;\\;\\;\\;\\text{\u0dc3\u0daf\u0dc4\u0dcf\u00a0\u0db4\u0dca\u200d\u0dbb\u0d9a\u0dcf\u0dc1\u00a0\u0d89\u0dc4\u0dad\u00a0\u0daf\u0dd3\u00a0\u0d87\u0dad\u0dd2\u00a0\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca}\\\\&=&\\;a^2\\;-\\;2\\;a\\cdot b\\;\\cos\\;C\\;+\\;b^2\\;\\;\\rightarrow\\;\\left(2\\right)\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n\r\n

                  \\begin{array}{rcl}\\;\\;\\;\\;\\;\\left(1\\right)\\;=\\;\\left(2\\right)\\;\\text{\u0db6\u0dd0\u0dc0\u0dd2\u0db1\u0dca,}\\\\\\;\\;\\;\\;\\;c^2\\;&=&\\;a^2\\;-\\;2\\;a\\cdot b\\;\\cos\\;C\\;+\\;b^2\\;\\\\2\\;a\\cdot b\\;\\cos\\;C\\;&=&\\;a^2\\;+\\;b^2\\;-\\;c^2\\\\\\cos\\;C\\;&=&\\;\\frac{a^2\\;+\\;b^2\\;-\\;c^2}{2\\;a\\cdot b}\\end{array}<\/span><\/p>\r\n\r\n\r\n