04.02. – අවකලනය

0
450

වෘද්ධි‍ය

  • විචල්‍ය රාශියක ඇති වන ඉතා කුඩා වෙනසක් වෘද්ධි‍යක් ලෙස හදුන්වයි. කලනය කොටසේදී මෙය අංකනය කරයි.

         උදාහරණ: x හි ඇතිවන කුඩා වෙනසක් ∆x වේ.

වෘද්ධි අනුපාතය

  • y යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි ඇතිවන වෘද්ධිය ∆y වේනම් \frac{\triangle y}{\triangle x}   ට වෘද්ධි අනුපාතය යැයි කියනු ලැබේ.                                                                                                                           

අවකලන සංගුණකය අර්ථ දැක්වීම

  • y යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x  ට  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි ඇතිවන වෘද්ධිය ∆y  නම්

lim ∆x→0   \frac{\triangle y}{\triangle x} ,  x  විශයෙන් y හි ප්‍රථම ව්‍යුත්පන්නය  හෙවත් අවකලන සංගුණකයයි.

මෙය   \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}  ලෙස කලනයේදී අංකනය කරයි.                                                                          

එනම්, lim ∆x→0    \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}               

                                      

අවකලන සංගුණකය අර්ථ දැක්වීම තවත් ආකරයකින්

  • f යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට f(x) හි ඇතිවන වෘද්ධිය \;f(x+\bigtriangleup x)–f(x) නම්,

           \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)}{\triangle x}\;\; x විශයෙන්   f(x) හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය හෙවත් පළමු අවකලන සංගුණකය නම් වේ.

           එනම්, \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)}{\triangle x}\;\;=f'\left(x\right)                                                    

           y යනු  x හි ශ්‍රිතයක් විට,

                y = f(x)   

→1

                                                                                           

x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

                y +∆y  = f(x+∆x)                →2

                2     –   1      න්,

  ∆y  = f(x+∆x) ‒ f(x)

 \;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{\;f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)\;}{\triangle x}\;

 \lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)\;}{\triangle x}\;

 \frac{\;\;\;dy}{\;\;\;dx} =  f /(x)

ශ්‍රිතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම

  • ශ්‍රිතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම අකර දෙකකි.

                      1.මූලික මූලධර්ම ඇසුරින්      

                      2.සූත්‍ර මඟින්

මූලික මූලධර්ම මඟින්

//  voice recording 01 //

  • y=x2  ප්‍රථම මූලධර්ම ඇසුරින් අවකලනය කරන්න.                                                              

y = x 1

x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  නම්

              y +∆y  = (x+∆x)2                                          2

       2   –    1    න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\displaystyle(x+\triangle x)^2\;‒x^2}{\triangle x}

                                                      

\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y\;}{\triangle x}\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;(\frac{\;x^2\;+\;2x\triangle x\;+\;\triangle x^2\;–\;x^2\;)}{\triangle x} 

                                                                           

                                     \frac{dy}{dx}     =  2x

                                       

  • y =√x    ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

               y = √x                                                   1

        x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

            y +∆y  =√ (x+∆x)                                        2

            2    –    1       න්,

   \frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\frac{\surd\;(x+\triangle x)\;‒\;\surd x}{\triangle x}  

                                                    

\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{(\;\surd\;(x+\triangle x)\;‒\;\surd x)(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;}{\;\triangle x(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;)})\;

                             

\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\;\;\frac{(x\;+\;\triangle x\;–\;x\;)}{\triangle x(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;)}\;    \frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt2}  

        

  • y = [ f(x)]2 ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

              y = [ f(x)]2                                                  1

x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

      y +∆y  =[f (x+∆x)]2                                                 2

 2    –    1    න්,

     \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\frac{\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\rbrack^2\;‒\;\lbrack\;f(x)\rbrack^2}{\triangle x} 

                                                      

   \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\rbrack^2\;‒\;\lbrack\;f(x)\rbrack^2}{\triangle x} 

                                                                             

     \frac{dy}{dx}\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;\;f(x)\rbrack\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;+\;f(x)\rbrack\;\;}{\triangle x} 

                                                                                      

                                    \frac{dy}{dx}\;     =  \frac{lim\;\triangle x\rightarrow0\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack\;.\;lim\;\triangle x\rightarrow0\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\;+\;f(x)\rbrack\;}{\triangle x}   

                                                                                               

                                      \frac{dy}{dx}\;   = f /(x) 2f(x)

                                    

සූත්‍ර මඟින් අවකලනය

                    1. නියතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම.

                                  c යනු නියතයක් විට,

                                      y = c ,      \frac{dy}{dx} =   0   වේ.     c ; නියතයකි.

                                                         

                   2. xn     අවකලනය සඳහා සූත්‍රය.

                                        y= xn                                                 1

                                x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය   ∆y නම්,

                                       y +∆y  =(x+∆x)n                                                 2

                                2     –     1    න්,

                                                  ∆y  =  (x+∆x)n ‒  (x)n

   \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{(x+\triangle x)^n\;‒\;\;(x)^n}{\triangle x}  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{(x+\triangle x)^n\;‒\;\;(x)^n}{(x+\triangle x)-x}

                                                 \frac{dy}{dx}    = nxn-1

                                                 

                                                  y= xn ;           \frac{dy}{dx}  = nxn-1           (n= පරිමේය සංඛ්‍යාවකි)

                                                                       

                  3. y = x5

                                      \frac{dy}{dx}  =  5x4

                                             

                 4. y = √x

                                       \frac{dy}{dx}  =   \frac1{2\sqrt x}

                          

ශ්‍රිතයක් නියතයකින් ගුණ වී ඇති විට අවකලන සංගුණකය

  • f යනු x හි ශ්‍රිතයක්ද c නියතයක්ද විට, y = cf(x)

                                   y =  c f(x)                                                    1

                      x ට  x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය  ∆y   නම්,

                            y +∆y  = c f (x+∆x)                                                    2

        2    –    1     න්,

                                              ∆y  = c [ f (x+∆x) ‒ f(x)]

\frac{\;\triangle y}{\;\;\triangle x\;}\;\;=\frac{c\;\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack}{\;\;\triangle x}

                        

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\triangle y}{\;\;\triangle x\;}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{c\;\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack}{\;\;\triangle x}

                                                                                

                                           \frac{dy}{dx} <strong> =  c f /(x)

                                                  

  • y = 3x4

                    \frac{dy}{dx}   =  12x3

                                  

ශ්‍රිත දෙකක එකතුවෙහි අවකලනය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

             y = u + v                                                   1

             x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                            y + ∆y = ( u+∆u) + (v+ ∆v)                                                   2

                   2     –      1    න්,

                                                  ∆y  =  ( u+∆u) + (v+ ∆v) – u ‒ v

 \frac{\triangle y}{\;\triangle x\;\;}\;\;=\;\frac{\;(\;u+\triangle u)\;+\;(v+\;\triangle v)\;–\;u\;‒\;v}{\;\triangle x\;\;}        \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;\;+\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle v}{\triangle x}

                                                                                              

 \;\frac{dy}{dx}\;\;\;=\;\frac{\;du\;\;}{dx}+\;\;\frac{\;dv}{dx}

                                                

                                     y = v + u

\;\frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u\boldsymbol\;\boldsymbol\;}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}
  • y = 3x2 + 5x

                                 \;\frac{dy}{dx}\;\;\;  = 6x + 5

ශ්‍රිත දෙකක අන්තරය සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

                     y = u ‒ v                                               1

               x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                                 y + ∆y = ( u+∆u) ‒ (v+ ∆v)                                                2

                 2     –     1     න්,

      \;\;\;\;\frac{\triangle y}{\;\triangle x\;\;}\;\;=\;\;\frac{(\;u+\triangle u)\;‒\;(v+\;\triangle v)\;–\;u\;+\;v}{\;\triangle x\;\;}

                                                                               

       \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\triangle y\;}{\triangle x}\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;\;‒\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle v}{\triangle x}

                                                     

   \;\;\frac{\;\;\;\;dy\;}{dx}\;\;=\;\frac{\;du}{dx}\;\;‒\;\;\frac{\;dv}{dx}

                                                     

                            y = v ‒ u

   \;\;\frac{\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y\boldsymbol\;}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}

                                  

  • y = x3 ‒ 2√x + 1/√x  

              

   \frac{dy}{dx}\;\;\;\;=\frac{\;3x^{2\;}}{}–\frac{\;1}{\surd x}\;–\;\;\;\frac{\;1}{\;2x^{3/2}\;\;\;}

ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයෙහි අවකලනය සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

                     y = u v                                                1

              x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                    y + ∆y = ( u+∆u) (v+ ∆v)                                     2

                         2      –     1     න්,

                                                    

\ \;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{\;(\;u+\triangle u)\;(v+\;\triangle\v)\;–\;u\;v}{\triangle x} \lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle y}{\;\triangle x}\;\;=\;\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;u\triangle v\;\;+\;v\triangle u\;+\;\triangle u\triangle v}{\triangle x}

                                                                                  

     \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}\;\;=\;u\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle v}{\triangle x}\;\;\;+\;\;\;v\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle u}{\triangle x}+\;\frac{\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\triangle u\;\;\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\triangle v\;\;}{\triangle x} 

                                                   

    \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\;u\frac{\;du}{dx}\;\;+\;\;v\frac{\;dv}{dx}\;\;+\;0 

                                                                   

                                             y =  uv

    \boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol u\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;  [latex]  </p> <p>උදාහරණ : </p> <p>1. y = (x<sup>2</sup> + 2x – 1 )(x<sup>3</sup> + 3)</p> <p>             [latex]  \;\frac{\;dy}{dx}\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;= (x2 + 2x – 1 )(3x2) + (x3 + 3)(2x + 2 )

              

                    = 3x4 + 6x3 – 3x2 + 2x4 + 6x + 6

                    = 5x4 + 3x3 – 3x2 + 6x + 6

  • u හා v යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට y = uv   නම් y  හි අවකලන සංගුණක ලබා ගැනීමේ සූත්‍රය ලියා එනයින් w, x හි තවත් ශ්‍රිතයක් විට y = uvw  හි        \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\;\;\;uw\frac{dv}{dx}\;\;+\;\;wv\frac{du}{dx}\;\;+\;\;uv\frac{dw}{dx}\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;     බව අපෝහනය කරන්න                                         

           එනයින්  y= (x2 + 1)(x + 1)(2x + 3) හි   \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;   ලබා ගන්න.  

                                                                                               

                                  y =  uv

  \frac{\;\;dy}{dx}\;\;\;=\;u\;\frac{dv}{dx}\;\;+\;\;v\frac{du}{dx}\;\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\; 

                              

                                 y =  uvw

    \frac{dy}{dx}\;\;\;=\;u\;\frac{dv}{dx}w\;\;+\;\;vw\frac{du\;}{dx}\boldsymbol\;\boldsymbol\; 

                            

     \frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\mathbf d\mathbf w}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf v\boldsymbol\;}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf{dx}} 

                         

    \frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\mathbf d\mathbf w}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf v\boldsymbol\;}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf{dx}} 

                         

2. y= (x2 + 1)(x + 1)(2x + 3)

          \frac{dy}{dx}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;  = (x2 + 1)(x + 1) 2 + (x + 1)(2x + 3) 2x + (x2 + 1)(2x + 3)

                       

                               =2(x3 + x2 + x + 1) +2x(2x2 + 5x + 3) +(2x3 + 3x2 + 2x+3)

                               = 8x3 + 15x2 + 10x + 5

ලබ්ධියක අවකලන සංගුණකය ලබා ගැනීම සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

        y = u / v                                   1

               x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි  වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                   y + ∆y =     \frac{\;\;(\;u+\triangle u)}{\;(\mathrm v+\;\triangle\mathrm v)}                                       2

                       2   –   1      න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\displaystyle\frac{\;\;(\;u+\triangle u)}{\;(\mathrm v+\;\triangle\mathrm v)}-\frac uv}{\triangle x}   \;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{uv\;+\;\;\;v\triangle u\;–\;uv\;\;-\;u\triangle v}{\;v(v+\;\triangle v)\;\triangle x} 

                                     

  \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;\;v\triangle u\;\;-\;u\triangle v}{\;\;\;(v^2+\;v\triangle v)\;\triangle x\;} 

                                                                               

 \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;v\frac{\triangle u\;}{\;\triangle x\;\;\;\;\;}\;‒\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;u\frac{\triangle v}{\;\triangle x\;\;\;\;\;}\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\;1}{v^2\;+\;v\triangle v\;\;\;\;\;}

                                                     

  \frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\frac{\;v\;{\displaystyle\frac{du}{dx}}\;\;\;‒\;\;\;u\;{\displaystyle\frac{dv}{dx}}\;}{v^2}  

                                         

                                               

                                y =  u/v

  \frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\frac{\boldsymbol\;\mathbf v\boldsymbol\;{\displaystyle\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf u\boldsymbol\;{\displaystyle\frac{\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}}\boldsymbol\;}{\mathbf v^{\mathbf2}} 

                                               

                                                                        

උදාහරණ :

1.  y\;=\;\;\frac{x\;+\;1}{\;x^2\;-\;4}

             

              

                 = \;\;\frac{\;dy\;}{dx}\;=\;\;\frac{\;(\;x^2\;–\;4\;)\;–\;(\;x\;+\;1)\;2x}{\;\;(\;x^2\;–\;4\;)2\;\;}

                      = \frac{x^{2\;}–\;4\;–2x^2\;–\;2x}{(\;x^2\;–\;4\;)^2\;}

                                 

2.   \;y\;=\frac{\;(\;x^2\;+\;3x\;–\;1\;}{\;(x^3\;–\;2x\;+\;1)}) 

          

  \frac{\;dy}{\;\;dx\;\;}\;\;=\;\;(\frac{x^3\;–\;2x\;+\;1)(2x\;+\;3)\;‒\;(\;x^2\;+\;3x\;–\;1\;)(3x^2\;–\;2)}{(x^3\;–\;2x\;+\;1)^2}

               

                      = \;\frac{\;‒\;x^4\;‒\;6x^3\;+\;x^2\;\;+\;2x\;+\;1}{\;(x^3\;–\;2x\;+\;1)^2} 

                                       

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් අවකලනය

  • y = (x2 + 5x - 3 )8   සළකමු.

               මෙහි u = x2 + 5x - 3    ආදේශය යොදමු.

              එවිට u  යනු x හි ශ්‍රිතයකි. එවිට y = u8 වේ.  y, u හි ශ්‍රිතයකි.එමනිසා  y = (x2 + 5x - 3 )8   ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක්                

              වේ.

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් අවකලනය සඳහා සූත්‍රය

  • u යනු x හි ශ්‍රිතයක්ද y යනු u හි ශ්‍රිතයක්ද යැයි ගනිමු.

x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

 \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}\;\;\times\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;     \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}\;\;\times\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;       \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}.\;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;   

                                      

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle u\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}.\;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;  

 

  \frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf u}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\times\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\;    

                                

  • ඉහත ප්‍රතිඵලය ශ්‍රිත ඕනෑම ගණනක් පැවැති අවස්ථා සඳහා විස්තීරණය කළ හැක. එබැවින් මෙය දාම නීතිය නම් වේ.

උදාහරණ : 

  1. y = (x2 + 5x - 3)8 අවකලනය කිරීමට දාම නීතිය යොදමු.

                  x2 + 5x – 3 = u

                                    y = u8

                 \frac{\;dy}{dx}\boldsymbol\;  =  8u7           \frac{\;du}{dx}\boldsymbol\;  = 2x + 5

                                          

   \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\;dy}{du}\;\;\times\frac{\;\;du}{dx}\; 

               

                                = 8u7 × (2x + 5)

                       = 8(x2 + 5x – 3)(2x + 5)

2. y =√( x2 + 3x – 1)

   u = x2 + 3x – 1

   y = √u

                \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\frac1{2\sqrt u}           \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{du}{dx}\;\;= 2x + 3

                                

 \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\;dy}{du}\;\;\times\frac{\;\;du}{dx}\;

                   

                               =                \;\frac{\;1}{2\surd u}\;\;\times\;(2x\;+\;3)\boldsymbol\;\;\;  

                        

                               =                      \;\frac{\;1}{2\surd(x^2\;+\;3x\;–\;1)}\;\;\times\;(2x\;+\;3)\boldsymbol\;\;\;   

                              

                          

3.y = ( x3 – 5x + 1)10

 \frac{dy}{dx}  = 10(x3 – 5x + 1)9 (3x2 - 5)

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය

උදාහරණ :

  1. y = sinx  ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

                                 y = sinx                                                  1  

          x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y  හි වෘද්ධිය  ∆y නම්,

                                             y +∆y = sin( x + ∆x)                                             2

                       2    –     1     න්,

  \;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x\;}\;\;=\;\;\;\frac{\sin\;(x+\;\triangle x)\;–\;\sin x}{\triangle x\;}

                                                  

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\;\triangle y}{\;\triangle x\;}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\;\cos\;(2x\;+\;\triangle x/2)\frac{\;\sin\;(\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}

                                                

  \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\cos\;(2x\;+\;\triangle x/2).\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\sin\;(\triangle x/2)}{\triangle x/2\;\;} 

                                                               

                                              \frac{dy}{dx}   = cos x

                                                       

  • y = cosx  ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

                                     y = cosx                                                1

                      x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y  හි වෘද්ධිය  ∆y නම්,

                                  y +∆y = cos( x + ∆x)                                              2

                      2    –     1     න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\;\frac{\cos\;(x+\;\triangle x)\;–\;\cos\;x}{\triangle x} 

                                                              

   \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin{(2x+\triangle x)/2}\sin(-\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}  

                                      

  \frac{dy}{dx}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}sin{(2x+\triangle x)/2}\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin(-\triangle x/2)}{\;\;\triangle x/2\;\;\;\;}  

                                                  

                                   \frac{dy}{dx}   = ‒ sin x

                                          

                                     <strong>  </strong>\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf s\mathbf i\mathbf n\mathbf x}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol\;\boldsymbol x   

                                             

                                   <strong> </strong>\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf c\mathbf o\mathbf s\mathbf x}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol i\boldsymbol n\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                          

                                  <strong> </strong>\frac{\mathbf d}{\mathbf d\mathbf x}\mathbf{tan}\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c^{\mathbf2}\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                            

                                   \boldsymbol\;\frac{\mathbf d}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol t\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                          

                                   <strong> </strong>\frac{\mathbf d}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol t\boldsymbol a\boldsymbol n\boldsymbol x

                                           

                                     \frac{\mathbf d}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol t\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\mathbf{cos}\boldsymbol e\boldsymbol c^{\mathbf2}\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                            

  •  y\;=\;\sin^3x 

                     \frac{dy}{dx}     = cos3x × 3

                

  • y = sin3 2x

                         \frac{dy}{dx}   = 3sin2 2x cos2x ×2

                     

  • y = sec2√( x2 + 1)

             \frac{dy}{dx}      = \frac{2\;sec\surd(\;x^2\;+\;1)\lbrack sec\surd(\;x^{2\;}+\;1)\tan\surd(\;x^2+\;1)\rbrack\;\times\;1\;\times\;2x}{2\surd(x^2\;+\;1)}  

                                                                                   

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය

/ / voice recording 02//

  1. . y = sin-1x      (-1≤ x ≤1)

                     x  = sin y

                \frac{dx}{dy} = cos y

                        

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                    

\frac{dy}{dx}=\frac1{\cos{\displaystyle y}}

                   

\frac{dy}{dx}=\frac1{\;\surd(\;1\;–\;\sin^2\;y\;)}

                

\frac{dy}{dx}=\frac1{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;\;}

                  

  • y = cos-1x       (-1≤ x ≤1)

                    x  = cos y

                  \frac{dx}{dy}= ‒sin y

                        

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                 

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle y}}

                  

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;\cos^2\;y\;)}

            

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;}

                

  • y = tan-1x       (-∞<x<+∞)

                   x  = tan y

                   \frac{dx}{dy} = sec2 y

                       

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                   

\frac{dy}{dx}=\frac1{sec^2\;y\;}

                 

\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;\tan^2\;y\;\;\;}

                  

\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;x^2\;\;\;\;}

              

ඝාතීය ශ්‍රිත අවකලනය

                                                                    ex = 1+ x +  x2 + x3+ x4 +……….

                                                                                     1!    2!     3!   4!

ක්‍රමාරෝපිත අංකනය

                      ධන නිඛිල සඳහා පමණක් ක්‍රමාරෝපිත අංකනය අර්ථ දක්වයි. දී ඇති නිඛිලයක ක්‍රමාරෝපිතය යනු 1 සිට එම අගය දක්වා ඇති අනුයාත නිඛිල වල ගුණිතයයි

.

                         n  නිඛිලයක් විට,

                                       ක්‍රමාරෝපිත  n = n!

//image 01//

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

ඔබේ අදහස් හා ප්‍රශ්න ඇතුළත් කරන්න.