ගණක යන්ත්‍ර භාවිතා නොකර මෙහි අගය හොයන්න ඔයාලටත් පුළුවන්ද බලන්න…

\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\;+\;\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}

බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ සුළු කිරීමක් තියෙනවා වගේ පෙනුණත්, ඔයාලට දැනට තියෙන දැනුමෙන් මේක පහසුවෙන් විසඳගන්න පුළුවන්.

අපි මුලින්ම

\begin{array}{l}a=8+3\sqrt{21}\;\text{හා}\;b=8-3\sqrt{21}\;\text{ලෙස ගනිමු.}\\\sqrt[3]a\in\mathbb{R}\;\text{හා}\;\sqrt[3]b\in\mathbb{R}\;\text{වන විට, }\;\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\in\mathbb{R}\;\text{විය යුතුයි.}\end{array}

∴ අවසානයේදී ලැබෙන පිළිතුර තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවක් විය යුතුයි.

\begin{array}{rcl}x&=&\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\\x^3&=&\left(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\right)^3\\x^3&=&a+3\left(\sqrt[3]a\right)\left(\sqrt[3]b\right)^2+3\left(\sqrt[3]a\right)^2\left(\sqrt[3]b\right)+b\\[4px]x^3&=&a+b+3\sqrt[3]{ab^2}+3\sqrt[3]{a^2b}\\[4px]x^3&=&a+b+3\sqrt[3]{abb}+3\sqrt[3]{aab}\\[8px]ab=ba&=&\left(8+3\sqrt{21}\right)\left(8-3\sqrt{21}\right)\\&=&8^2-\left(3\sqrt{21}\right)^2\\&=&64-189\\&=&-125\\&=&\left(-5\right)^3\\[8px]x^3&=&a+b+3\left(-5\right)\sqrt[3]b+3\left(-5\right)\sqrt[3]a\\x^3&=&a+b-15\left(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b\right)\\x^3&=&a+b-15x\\x^3&=&16-15x\\x^3+15x-16&=&0\end{array}

මෙවැනි xහි ඝනයක් අඩංගු සමීකරණයක් විසඳීමේදී x ට සුවිශේෂී අගයයන් කිහිපයක් ආදේශ කර සමීකරණය තෘප්ත කරන අගය සෙවීම වඩා පහසු වේ.

x=1 වන විට සමීකරණය තෘප්ත වන බැවින්, x =1 මෙහි එක් විසඳුමක් වේ.

එනම්, (x-1)මෙහි සාධකයක් වේ.

\therefore\left(x-1\right)\left(x^2+x+16\right)=0