මුල් පිටුව බ්ලොග්

පාඩම් අංකය – පාඩමේ නම

0

මෙතනට පාඩම copy කර paste කරන්න.

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

 

04.02. – අවකලනය

0

වෘද්ධි‍ය

  • විචල්‍ය රාශියක ඇති වන ඉතා කුඩා වෙනසක් වෘද්ධි‍යක් ලෙස හදුන්වයි. කලනය කොටසේදී මෙය අංකනය කරයි.

         උදාහරණ: x හි ඇතිවන කුඩා වෙනසක් ∆x වේ.

වෘද්ධි අනුපාතය

  • y යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි ඇතිවන වෘද්ධිය ∆y වේනම් \frac{\triangle y}{\triangle x}   ට වෘද්ධි අනුපාතය යැයි කියනු ලැබේ.                                                                                                                           

අවකලන සංගුණකය අර්ථ දැක්වීම

  • y යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x  ට  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි ඇතිවන වෘද්ධිය ∆y  නම්

lim ∆x→0   \frac{\triangle y}{\triangle x} ,  x  විශයෙන් y හි ප්‍රථම ව්‍යුත්පන්නය  හෙවත් අවකලන සංගුණකයයි.

මෙය   \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}  ලෙස කලනයේදී අංකනය කරයි.                                                                          

එනම්, lim ∆x→0    \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}               

                                      

අවකලන සංගුණකය අර්ථ දැක්වීම තවත් ආකරයකින්

  • f යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට f(x) හි ඇතිවන වෘද්ධිය \;f(x+\bigtriangleup x)–f(x) නම්,

           \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)}{\triangle x}\;\; x විශයෙන්   f(x) හි පළමු ව්‍යුත්පන්නය හෙවත් පළමු අවකලන සංගුණකය නම් වේ.

           එනම්, \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)}{\triangle x}\;\;=f'\left(x\right)                                                    

           y යනු  x හි ශ්‍රිතයක් විට,

                y = f(x)   

→1

                                                                                           

x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

                y +∆y  = f(x+∆x)                →2

                2     –   1      න්,

  ∆y  = f(x+∆x) ‒ f(x)

 \;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{\;f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)\;}{\triangle x}\;

 \lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;f(x+\triangle x\;)\;–\;f(x)\;}{\triangle x}\;

 \frac{\;\;\;dy}{\;\;\;dx} =  f /(x)

ශ්‍රිතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම

  • ශ්‍රිතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම අකර දෙකකි.

                      1.මූලික මූලධර්ම ඇසුරින්      

                      2.සූත්‍ර මඟින්

මූලික මූලධර්ම මඟින්

//  voice recording 01 //

  • y=x2  ප්‍රථම මූලධර්ම ඇසුරින් අවකලනය කරන්න.                                                              

y = x 1

x ට ∆x  වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  නම්

              y +∆y  = (x+∆x)2                                          2

       2   –    1    න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\displaystyle(x+\triangle x)^2\;‒x^2}{\triangle x}

                                                      

\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y\;}{\triangle x}\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;(\frac{\;x^2\;+\;2x\triangle x\;+\;\triangle x^2\;–\;x^2\;)}{\triangle x} 

                                                                           

                                     \frac{dy}{dx}     =  2x

                                       

  • y =√x    ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

               y = √x                                                   1

        x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

            y +∆y  =√ (x+∆x)                                        2

            2    –    1       න්,

   \frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\frac{\surd\;(x+\triangle x)\;‒\;\surd x}{\triangle x}  

                                                    

\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{(\;\surd\;(x+\triangle x)\;‒\;\surd x)(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;}{\;\triangle x(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;)})\;

                             

\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\;\;\frac{(x\;+\;\triangle x\;–\;x\;)}{\triangle x(\surd\;(x+\triangle x)\;+\;\surd x\;)}\;    \frac{dy}{dx}=\frac1{\sqrt2}  

        

  • y = [ f(x)]2 ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

              y = [ f(x)]2                                                  1

x ට ∆x වෘද්ධියක් ලබා දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y  වේ නම්,

      y +∆y  =[f (x+∆x)]2                                                 2

 2    –    1    න්,

     \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\frac{\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\rbrack^2\;‒\;\lbrack\;f(x)\rbrack^2}{\triangle x} 

                                                      

   \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\rbrack^2\;‒\;\lbrack\;f(x)\rbrack^2}{\triangle x} 

                                                                             

     \frac{dy}{dx}\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;\;f(x)\rbrack\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;+\;f(x)\rbrack\;\;}{\triangle x} 

                                                                                      

                                    \frac{dy}{dx}\;     =  \frac{lim\;\triangle x\rightarrow0\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack\;.\;lim\;\triangle x\rightarrow0\;\lbrack f\;(x+\triangle x)\;+\;f(x)\rbrack\;}{\triangle x}   

                                                                                               

                                      \frac{dy}{dx}\;   = f /(x) 2f(x)

                                    

සූත්‍ර මඟින් අවකලනය

                    1. නියතයක අවකලන සංගුණකය සෙවීම.

                                  c යනු නියතයක් විට,

                                      y = c ,      \frac{dy}{dx} =   0   වේ.     c ; නියතයකි.

                                                         

                   2. xn     අවකලනය සඳහා සූත්‍රය.

                                        y= xn                                                 1

                                x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය   ∆y නම්,

                                       y +∆y  =(x+∆x)n                                                 2

                                2     –     1    න්,

                                                  ∆y  =  (x+∆x)n ‒  (x)n

   \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{(x+\triangle x)^n\;‒\;\;(x)^n}{\triangle x}  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{(x+\triangle x)^n\;‒\;\;(x)^n}{(x+\triangle x)-x}

                                                 \frac{dy}{dx}    = nxn-1

                                                 

                                                  y= xn ;           \frac{dy}{dx}  = nxn-1           (n= පරිමේය සංඛ්‍යාවකි)

                                                                       

                  3. y = x5

                                      \frac{dy}{dx}  =  5x4

                                             

                 4. y = √x

                                       \frac{dy}{dx}  =   \frac1{2\sqrt x}

                          

ශ්‍රිතයක් නියතයකින් ගුණ වී ඇති විට අවකලන සංගුණකය

  • f යනු x හි ශ්‍රිතයක්ද c නියතයක්ද විට, y = cf(x)

                                   y =  c f(x)                                                    1

                      x ට  x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය  ∆y   නම්,

                            y +∆y  = c f (x+∆x)                                                    2

        2    –    1     න්,

                                              ∆y  = c [ f (x+∆x) ‒ f(x)]

\frac{\;\triangle y}{\;\;\triangle x\;}\;\;=\frac{c\;\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack}{\;\;\triangle x}

                        

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\triangle y}{\;\;\triangle x\;}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{c\;\lbrack\;f\;(x+\triangle x)\;‒\;f(x)\rbrack}{\;\;\triangle x}

                                                                                

                                           \frac{dy}{dx} <strong> =  c f /(x)

                                                  

  • y = 3x4

                    \frac{dy}{dx}   =  12x3

                                  

ශ්‍රිත දෙකක එකතුවෙහි අවකලනය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

             y = u + v                                                   1

             x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                            y + ∆y = ( u+∆u) + (v+ ∆v)                                                   2

                   2     –      1    න්,

                                                  ∆y  =  ( u+∆u) + (v+ ∆v) – u ‒ v

 \frac{\triangle y}{\;\triangle x\;\;}\;\;=\;\frac{\;(\;u+\triangle u)\;+\;(v+\;\triangle v)\;–\;u\;‒\;v}{\;\triangle x\;\;}        \;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;\;+\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle v}{\triangle x}

                                                                                              

 \;\frac{dy}{dx}\;\;\;=\;\frac{\;du\;\;}{dx}+\;\;\frac{\;dv}{dx}

                                                

                                     y = v + u

\;\frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u\boldsymbol\;\boldsymbol\;}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}
  • y = 3x2 + 5x

                                 \;\frac{dy}{dx}\;\;\;  = 6x + 5

ශ්‍රිත දෙකක අන්තරය සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

                     y = u ‒ v                                               1

               x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                                 y + ∆y = ( u+∆u) ‒ (v+ ∆v)                                                2

                 2     –     1     න්,

      \;\;\;\;\frac{\triangle y}{\;\triangle x\;\;}\;\;=\;\;\frac{(\;u+\triangle u)\;‒\;(v+\;\triangle v)\;–\;u\;+\;v}{\;\triangle x\;\;}

                                                                               

       \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\;\triangle y\;}{\triangle x}\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;\;‒\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle v}{\triangle x}

                                                     

   \;\;\frac{\;\;\;\;dy\;}{dx}\;\;=\;\frac{\;du}{dx}\;\;‒\;\;\frac{\;dv}{dx}

                                                     

                            y = v ‒ u

   \;\;\frac{\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y\boldsymbol\;}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}

                                  

  • y = x3 ‒ 2√x + 1/√x  

              

   \frac{dy}{dx}\;\;\;\;=\frac{\;3x^{2\;}}{}–\frac{\;1}{\surd x}\;–\;\;\;\frac{\;1}{\;2x^{3/2}\;\;\;}

ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයෙහි අවකලනය සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

                     y = u v                                                1

              x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                    y + ∆y = ( u+∆u) (v+ ∆v)                                     2

                         2      –     1     න්,

                                                    

\ \;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\frac{\;(\;u+\triangle u)\;(v+\;\triangle\v)\;–\;u\;v}{\triangle x} \lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle y}{\;\triangle x}\;\;=\;\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;u\triangle v\;\;+\;v\triangle u\;+\;\triangle u\triangle v}{\triangle x}

                                                                                  

     \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}\;\;=\;u\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle v}{\triangle x}\;\;\;+\;\;\;v\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\triangle u}{\triangle x}+\;\frac{\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\triangle u\;\;\;\lim_{\;\triangle x\rightarrow0}\;\;\triangle v\;\;}{\triangle x} 

                                                   

    \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\;u\frac{\;du}{dx}\;\;+\;\;v\frac{\;dv}{dx}\;\;+\;0 

                                                                   

                                             y =  uv

    \boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol u\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;  [latex]  </p> <p>උදාහරණ : </p> <p>1. y = (x<sup>2</sup> + 2x – 1 )(x<sup>3</sup> + 3)</p> <p>             [latex]  \;\frac{\;dy}{dx}\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;= (x2 + 2x – 1 )(3x2) + (x3 + 3)(2x + 2 )

              

                    = 3x4 + 6x3 – 3x2 + 2x4 + 6x + 6

                    = 5x4 + 3x3 – 3x2 + 6x + 6

  • u හා v යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට y = uv   නම් y  හි අවකලන සංගුණක ලබා ගැනීමේ සූත්‍රය ලියා එනයින් w, x හි තවත් ශ්‍රිතයක් විට y = uvw  හි        \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\;\;\;uw\frac{dv}{dx}\;\;+\;\;wv\frac{du}{dx}\;\;+\;\;uv\frac{dw}{dx}\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;     බව අපෝහනය කරන්න                                         

           එනයින්  y= (x2 + 1)(x + 1)(2x + 3) හි   \;\frac{\;dy}{dx}\;\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;   ලබා ගන්න.  

                                                                                               

                                  y =  uv

  \frac{\;\;dy}{dx}\;\;\;=\;u\;\frac{dv}{dx}\;\;+\;\;v\frac{du}{dx}\;\;\;\;\boldsymbol\;\boldsymbol\; 

                              

                                 y =  uvw

    \frac{dy}{dx}\;\;\;=\;u\;\frac{dv}{dx}w\;\;+\;\;vw\frac{du\;}{dx}\boldsymbol\;\boldsymbol\; 

                            

     \frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\mathbf d\mathbf w}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf v\boldsymbol\;}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf{dx}} 

                         

    \frac{\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\frac{\mathbf d\mathbf w}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol u\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf v\boldsymbol\;}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol+\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol v\boldsymbol w\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf{dx}} 

                         

2. y= (x2 + 1)(x + 1)(2x + 3)

          \frac{dy}{dx}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;  = (x2 + 1)(x + 1) 2 + (x + 1)(2x + 3) 2x + (x2 + 1)(2x + 3)

                       

                               =2(x3 + x2 + x + 1) +2x(2x2 + 5x + 3) +(2x3 + 3x2 + 2x+3)

                               = 8x3 + 15x2 + 10x + 5

ලබ්ධියක අවකලන සංගුණකය ලබා ගැනීම සඳහා සූත්‍රය

  • u හා v  යනු x  හි අවකල්‍ය ශ්‍රිත විට,

        y = u / v                                   1

               x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි  වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

                                   y + ∆y =     \frac{\;\;(\;u+\triangle u)}{\;(\mathrm v+\;\triangle\mathrm v)}                                       2

                       2   –   1      න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{\displaystyle\frac{\;\;(\;u+\triangle u)}{\;(\mathrm v+\;\triangle\mathrm v)}-\frac uv}{\triangle x}   \;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{uv\;+\;\;\;v\triangle u\;–\;uv\;\;-\;u\triangle v}{\;v(v+\;\triangle v)\;\triangle x} 

                                     

  \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\;\;v\triangle u\;\;-\;u\triangle v}{\;\;\;(v^2+\;v\triangle v)\;\triangle x\;} 

                                                                               

 \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;v\frac{\triangle u\;}{\;\triangle x\;\;\;\;\;}\;‒\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;u\frac{\triangle v}{\;\triangle x\;\;\;\;\;}\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\;\;1}{v^2\;+\;v\triangle v\;\;\;\;\;}

                                                     

  \frac{\;dy}{dx}\;\;\;=\frac{\;v\;{\displaystyle\frac{du}{dx}}\;\;\;‒\;\;\;u\;{\displaystyle\frac{dv}{dx}}\;}{v^2}  

                                         

                                               

                                y =  u/v

  \frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\frac{\boldsymbol\;\mathbf v\boldsymbol\;{\displaystyle\frac{\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf u\boldsymbol\;{\displaystyle\frac{\mathbf d\mathbf v}{\mathbf d\mathbf x}}\boldsymbol\;}{\mathbf v^{\mathbf2}} 

                                               

                                                                        

උදාහරණ :

1.  y\;=\;\;\frac{x\;+\;1}{\;x^2\;-\;4}

             

              

                 = \;\;\frac{\;dy\;}{dx}\;=\;\;\frac{\;(\;x^2\;–\;4\;)\;–\;(\;x\;+\;1)\;2x}{\;\;(\;x^2\;–\;4\;)2\;\;}

                      = \frac{x^{2\;}–\;4\;–2x^2\;–\;2x}{(\;x^2\;–\;4\;)^2\;}

                                 

2.   \;y\;=\frac{\;(\;x^2\;+\;3x\;–\;1\;}{\;(x^3\;–\;2x\;+\;1)}) 

          

  \frac{\;dy}{\;\;dx\;\;}\;\;=\;\;(\frac{x^3\;–\;2x\;+\;1)(2x\;+\;3)\;‒\;(\;x^2\;+\;3x\;–\;1\;)(3x^2\;–\;2)}{(x^3\;–\;2x\;+\;1)^2}

               

                      = \;\frac{\;‒\;x^4\;‒\;6x^3\;+\;x^2\;\;+\;2x\;+\;1}{\;(x^3\;–\;2x\;+\;1)^2} 

                                       

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් අවකලනය

  • y = (x2 + 5x - 3 )8   සළකමු.

               මෙහි u = x2 + 5x - 3    ආදේශය යොදමු.

              එවිට u  යනු x හි ශ්‍රිතයකි. එවිට y = u8 වේ.  y, u හි ශ්‍රිතයකි.එමනිසා  y = (x2 + 5x - 3 )8   ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක්                

              වේ.

ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් අවකලනය සඳහා සූත්‍රය

  • u යනු x හි ශ්‍රිතයක්ද y යනු u හි ශ්‍රිතයක්ද යැයි ගනිමු.

x ට  ∆x  වෘද්ධියක් දුන් විට  u හි වෘද්ධිය  ∆u ද  v හි වෘද්ධිය ∆v ද y   හි වෘද්ධිය ∆y ද නම්,

 \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}\;\;\times\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;     \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}\;\;\times\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;       \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}.\;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;   

                                      

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\lim_{\triangle u\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle y}{\triangle u}.\;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\frac{\triangle u}{\triangle x}\;  

 

  \frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf y}{\mathbf d\mathbf u}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\times\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf u}{\mathbf d\mathbf x}\;    

                                

  • ඉහත ප්‍රතිඵලය ශ්‍රිත ඕනෑම ගණනක් පැවැති අවස්ථා සඳහා විස්තීරණය කළ හැක. එබැවින් මෙය දාම නීතිය නම් වේ.

උදාහරණ : 

  1. y = (x2 + 5x - 3)8 අවකලනය කිරීමට දාම නීතිය යොදමු.

                  x2 + 5x – 3 = u

                                    y = u8

                 \frac{\;dy}{dx}\boldsymbol\;  =  8u7           \frac{\;du}{dx}\boldsymbol\;  = 2x + 5

                                          

   \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\;dy}{du}\;\;\times\frac{\;\;du}{dx}\; 

               

                                = 8u7 × (2x + 5)

                       = 8(x2 + 5x – 3)(2x + 5)

2. y =√( x2 + 3x – 1)

   u = x2 + 3x – 1

   y = √u

                \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\frac1{2\sqrt u}           \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{du}{dx}\;\;= 2x + 3

                                

 \boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\;dy}{du}\;\;\times\frac{\;\;du}{dx}\;

                   

                               =                \;\frac{\;1}{2\surd u}\;\;\times\;(2x\;+\;3)\boldsymbol\;\;\;  

                        

                               =                      \;\frac{\;1}{2\surd(x^2\;+\;3x\;–\;1)}\;\;\times\;(2x\;+\;3)\boldsymbol\;\;\;   

                              

                          

3.y = ( x3 – 5x + 1)10

 \frac{dy}{dx}  = 10(x3 – 5x + 1)9 (3x2 - 5)

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය

උදාහරණ :

  1. y = sinx  ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

                                 y = sinx                                                  1  

          x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y  හි වෘද්ධිය  ∆y නම්,

                                             y +∆y = sin( x + ∆x)                                             2

                       2    –     1     න්,

  \;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x\;}\;\;=\;\;\;\frac{\sin\;(x+\;\triangle x)\;–\;\sin x}{\triangle x\;}

                                                  

  \lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\;\triangle y}{\;\triangle x\;}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\;\cos\;(2x\;+\;\triangle x/2)\frac{\;\sin\;(\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}

                                                

  \;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\cos\;(2x\;+\;\triangle x/2).\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\sin\;(\triangle x/2)}{\triangle x/2\;\;} 

                                                               

                                              \frac{dy}{dx}   = cos x

                                                       

  • y = cosx  ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.

                                     y = cosx                                                1

                      x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y  හි වෘද්ධිය  ∆y නම්,

                                  y +∆y = cos( x + ∆x)                                              2

                      2    –     1     න්,

  \frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\;\frac{\cos\;(x+\;\triangle x)\;–\;\cos\;x}{\triangle x} 

                                                              

   \lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin{(2x+\triangle x)/2}\sin(-\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}  

                                      

  \frac{dy}{dx}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}sin{(2x+\triangle x)/2}\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin(-\triangle x/2)}{\;\;\triangle x/2\;\;\;\;}  

                                                  

                                   \frac{dy}{dx}   = ‒ sin x

                                          

                                     <strong>  </strong>\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf s\mathbf i\mathbf n\mathbf x}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol\;\boldsymbol x   

                                             

                                   <strong> </strong>\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\frac{\boldsymbol\;\mathbf d\mathbf c\mathbf o\mathbf s\mathbf x}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol i\boldsymbol n\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                          

                                  <strong> </strong>\frac{\mathbf d}{\mathbf d\mathbf x}\mathbf{tan}\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c^{\mathbf2}\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                            

                                   \boldsymbol\;\frac{\mathbf d}{\mathbf d\mathbf x}\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol\;\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol t\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                          

                                   <strong> </strong>\frac{\mathbf d}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol s\boldsymbol e\boldsymbol c\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol t\boldsymbol a\boldsymbol n\boldsymbol x

                                           

                                     \frac{\mathbf d}{\mathbf{dx}}\boldsymbol\;\boldsymbol c\boldsymbol o\boldsymbol t\boldsymbol x\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol\;\boldsymbol=\boldsymbol\;\boldsymbol‒\boldsymbol\;\mathbf{cos}\boldsymbol e\boldsymbol c^{\mathbf2}\boldsymbol\;\boldsymbol x

                                            

  •  y\;=\;\sin^3x 

                     \frac{dy}{dx}     = cos3x × 3

                

  • y = sin3 2x

                         \frac{dy}{dx}   = 3sin2 2x cos2x ×2

                     

  • y = sec2√( x2 + 1)

             \frac{dy}{dx}      = \frac{2\;sec\surd(\;x^2\;+\;1)\lbrack sec\surd(\;x^{2\;}+\;1)\tan\surd(\;x^2+\;1)\rbrack\;\times\;1\;\times\;2x}{2\surd(x^2\;+\;1)}  

                                                                                   

ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය

/ / voice recording 02//

  1. . y = sin-1x      (-1≤ x ≤1)

                     x  = sin y

                \frac{dx}{dy} = cos y

                        

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                    

\frac{dy}{dx}=\frac1{\cos{\displaystyle y}}

                   

\frac{dy}{dx}=\frac1{\;\surd(\;1\;–\;\sin^2\;y\;)}

                

\frac{dy}{dx}=\frac1{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;\;}

                  

  • y = cos-1x       (-1≤ x ≤1)

                    x  = cos y

                  \frac{dx}{dy}= ‒sin y

                        

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                 

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle y}}

                  

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;\cos^2\;y\;)}

            

\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;}

                

  • y = tan-1x       (-∞<x<+∞)

                   x  = tan y

                   \frac{dx}{dy} = sec2 y

                       

\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}

                   

\frac{dy}{dx}=\frac1{sec^2\;y\;}

                 

\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;\tan^2\;y\;\;\;}

                  

\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;x^2\;\;\;\;}

              

ඝාතීය ශ්‍රිත අවකලනය

                                                                    ex = 1+ x +  x2 + x3+ x4 +……….

                                                                                     1!    2!     3!   4!

ක්‍රමාරෝපිත අංකනය

                      ධන නිඛිල සඳහා පමණක් ක්‍රමාරෝපිත අංකනය අර්ථ දක්වයි. දී ඇති නිඛිලයක ක්‍රමාරෝපිතය යනු 1 සිට එම අගය දක්වා ඇති අනුයාත නිඛිල වල ගුණිතයයි

.

                         n  නිඛිලයක් විට,

                                       ක්‍රමාරෝපිත  n = n!

//image 01//

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

04.05.01 – අනුකලනයේ හැඳින්වීම හා මූලික ප්‍රමේයයන්

0
  • සංයුක්ත ගණිතය I ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ලකුණු 25 ගැටළුවක් සහ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) ගැටළුවක මෙම පාඩමෙහි සිද්ධාන්ත ඇතුලත් වේ.
  • මෙම පාඩම සඳහා අවකලනය හා ත්‍රිකෝණමිතිය දැනුම අවශ්‍යවේ.

අනුකලනයේ අර්ථ දැක්වීම

g(x) යනු X හි අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක්  \frac d{dx} g(x)= f(x)  ද නම්, x විෂයෙන් f(x)  හි අනුකලනය g(x) වේ.  මෙය  ∫f(x)dx= g(x) ‌ ලෙස ලියනු ලබන අතර  f(x)  දී ඇති විට g(x) සෙවීමේ ක්‍රියාවලියට අනුකලනය කිරීම යැයි කියනු ලැබේ.

සටහන ;-

     C ඕනෑම නියතයක් විට,

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left(g\left(x\right)+c\right)&=&\frac{\displaystyle d}{\displaystyle dx}g\left(x\right)+\frac{\displaystyle d}{\displaystyle dx}c\\&=&f\left(x\right)+0\\&=&f\left(x\right)\end{array}

ලෙස ලැබෙන නිසා අර්ථ දැක්වීමට අනුව

\begin{array}{rcl}\int f\left(x\right)dx&=&g\left(x\right)+c\end{array} වේ.

                                                                                                                                        

  • මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ අනුකලනය නියත අගයකින් වෙනස් විය හැකි බවයි. එම නිසා මෙම අනුකලනය අනිශ්චිත යැයි කියනු ලැබේ.

ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයෙන් සූත්‍ර ලබා ගැනීම

  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(\sin x\right)=\cos x\Rightarrow\int\cos xdx=\sin x+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(\cos x\right)=-\sin x\Rightarrow\int\sin xdx=-\cos x+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(\tan x\right)=sec^2x\Rightarrow\int sec^2xdx=\tan x+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(-\cos ecx\right)=\cos ecx.cotx\Rightarrow\int\cos ecx.cotxdx=-\cos ecx+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(secx\right)=secx.\tan x\Rightarrow\int secx.\tan xdx=secx+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(-cotx\right)=\cos ec^2x\Rightarrow\int\cos ec^2xdx=-cotx+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n\Rightarrow\int x^ndx=\frac{\displaystyle x^{n+1}}{\displaystyle n+1}+c\;;n\neq-1\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(\ln\left|x\right|\right)=\frac1x\Rightarrow\int\frac{\displaystyle1}{\displaystyle x}dx=\ln\left|x\right|+c\;;\;x\neq0\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left[\sin^{-1}\left(\frac xa\right)\right]=\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}\Rightarrow\int\frac{\displaystyle1}{\displaystyle\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}\left(\frac{\displaystyle x}{\displaystyle a}\right)+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left[\tan^{-1}\left(\frac xa\right)\right]=\frac1{x^2+a^2}\Rightarrow\int\frac{\displaystyle1}{\displaystyle x^2+a^2}dx=\tan^{-1}\left(\frac{\displaystyle x}{\displaystyle a}\right)+c\\\\\\\\\end{array}
  • \begin{array}{l}\frac d{dx}\left(e^x\right)=e^x\Rightarrow\int e^xdx=e^x+c\\\\\\\\\end{array}
  • ඉහත සමීකරණ වල x හැර විචල්‍ය නැත.
  • අනුකලනය පාඩමේදී ඉදිරියට ගැටළු විසඳීමට ඉහත සූත්‍ර මතක තබා ගත යුතුයි.

අනුකලනයේ  ප්‍රමේයයන්

පහත ගැටළු විසඳමු

  •  \int2\sin xdx=2\int\sin xdx=-2\cos x+c

//04.05.01 voice //

  • \int\frac3xdx=3\int\frac1xdx=3\ln\left|x\right|+c
  • \int3\cos ecx.cotxdx=-3\cos ec^2x+c

  • \int kdx=k\int dx=kx+c

ඉහත අනුකලනයේ යොදා ගැනෙන්නේ \int_{}^{}x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c සූත්‍රයේම n=0 අවස්ථාව වේ.

  • \begin{array}{l}\\int\left(2x-\frac3x\right)dx=2\int xdx-3\int\frac1xdx=3\frac{x^2}2+c\\\end{array}

    

  • \int(2\sin x-3\cos x+4)dx=2\int\sin xdx-3\int\cos xdx+4\int dx=-2\cos x-3\sin x+4x

  • \int\left(2e^x-5\right)dx=2\int e^xdx-5\int dx=2e^x-5x+c

         

  • \begin{array}{rcl}\int\frac3{x^2+25}dx&=&\int\frac{\displaystyle3}{\displaystyle x^2+5^2}dx\\&=&\frac35\tan^{-1}\left(\frac x5\right)+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\tan^2xdx&=&\int(sec^2x-1)dx\\&=&\int sec^2xdx-\int dx\\&=&\tan x-x+c\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int cot^2xdx&=&\int(\cos ec^2x-1)dx\\&=&\int\cos ec^2xdx-\int dx\\&=&-cotx-x+c\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac5{\sqrt{9-x^2}}dx&=&5\int\frac1{\sqrt{3^2-x^2}}dx\\&=&5\sin^{-1}\left(\frac x3\right)+c\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int3\cos ecx.cotxdx&=&3\int\cos ecx.cotxdx\\&=&-3\cos ecx+c\\&&\\&&\end{array}

ඉහත ප්‍රතිව්‍යුත්පන්නයෙන් ලබාගත් සූත්‍ර වලට අමතරව මෙම පහතින් දක්වා ඇති සූත්‍ර දෙකත් මතකයේ තබා ගැනීමෙන් ගැටළු විසඳීමට පහසුවක් ඇත. නමුත් මෙම සූත්‍ර දෙක යොදාගැනෙන ගැටළු විසඳීම සඳහා ආදේශ කිරීම් ද යොදා ගන්නා ආකාරය පාඩමෙහි පසුව සාකච්ඡා කෙරේ.

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left(\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|\right)&=&\frac1{\sqrt{x^2-a^2}}\Rightarrow\int\frac{\displaystyle1}{\displaystyle\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+c\\&&\\&&\end{array}

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left(\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|\right)&=&\frac1{\sqrt{x^2+a^2}}\Rightarrow\int\frac{\displaystyle1}{\displaystyle\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c\\&&\\&&\end{array}

උදා: \begin{array}{rcl}\int\frac{\displaystyle2}{\displaystyle\sqrt{x^2-16}}d&=&2\int\frac{\displaystyle dx}{\displaystyle\sqrt{x^2-4^2}}\\&=&2\ln\left|x+\sqrt{x^2-4^2}\right|+c\end{array}

 x හි රේඛීය ප්‍රකාශ ඇති ශ්‍රිත වල අනුකලනය

                                                            \begin{array}{rcl}\int f\left(x\right)dx&=&g\left(x\right)+c\end{array} නම්,

\begin{array}{rcl}\int f\left(ax+b\right)dx&=&\frac1ag(ax+b)+c\;\end{array}              ( C- අභිමත නියතය )

                             සාධනය:-\begin{array}{rcl}{\frac d{dx}\left[\frac1ag(ax+b)+c\right]\;}&=&\int\frac1af(ax+b).a\\&=&{f(ax+b)}\end{array}

//04.05.02 voice//

උදාහරණ :-

  1. \begin{array}{rcl}\int\left(2x+1\right)^2dx&=&\frac13\left(2x+1\right)^3.\frac12+c\\&=&\frac16\left(2x+1\right)^3+c\end{array} ( C- අභිමත නියතය )

//04.05.03 voice//

  • \begin{array}{rcl}\int\;\sin(\;5x\;+\;1\;)\;dx\;\;&=&-\;\frac15\;\cos\;(\;5x\;+\;1\;)\;+\;C\;\;\end{array}        ( c- අභිමත නියතය )
  • \begin{array}{rcl}\int\;\cos\;(\;2x\;+\;1\;)\;dx\;\;&=&\;\;\frac12\;\sin\;(\;2x\;+\;1\;)\;+\;C\;\;\end{array}        ( c- අභිමත නියතය )
  • \begin{array}{rcl}\int e^{5x+2}dx&=&\frac15e^{5x+2}+c\end{array} ( c- අභිමත නියතය )
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{4x-3}dx&=&\frac14\ln\left|4x-3\right|+c\end{array} ( c- අභිමත නියතය )
  • \begin{array}{rcl}\int sec^2\left(3x+5\right)dx&=&\frac13\tan\left(3x+5\right)+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{\sqrt{1-49x^2}}dx&=&\int\frac1{\sqrt{1-\left(7x\right)^2}}dx\\&=&\frac17\sin^{-1}\left(7x\right)+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{\sqrt{25+4x^2}}dx&=&\int\frac1{\sqrt{5^2+\left(2x\right)^2}}dx\\&=&\frac12\ln\left|2x+\sqrt{\left(2x\right)^2+5^2}\right|+c\\&=&\frac12\ln\left|2x+\sqrt{4x^2+25}\right|+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\sin2x.\cos3xdx&=&\frac12\int\left(\sin5x-\sin x\right)dx\\&=&\frac12\int\sin5xdx-\frac12\int\sin xdx\\&=&\frac1{10}\cos5x+\frac12\cos x+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\cos4x.\cos5xdx&=&\frac12\int\left(\cos9x+\cos x\right)dx\\&=&\frac12\int\cos9xdx+\frac12\int\cos xdx\\&=&\frac1{18}\sin9x+\frac12\sin x+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int3\sin6x\sin2xdx&=&\int3\left(-\frac12\right)\left(\cos8x-\cos4x\right)dx\\&=&-\frac32\int\cos8xdx+\frac32\int\cos4xdx\\&=&-\frac3{16}\sin8x+\frac38\sin4x+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\sin^23xdx&=&\frac12\int\left[1-\cos6x\right]dx\\&=&\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}\int dx-\frac12\int\cos6xdx\\&=&\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}x-\frac1{12}\sin6x+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int5\cos^2\left(2x-1\right)dx&=&\int\frac52\left\{1-\cos\left[2\left(2x-1\right)\right]\right\}dx\\&=&\frac52\int dx-\frac52\int\cos\left(4x-2\right)dx\\&=&\frac{25}{16}\cos\left(4x-2\right)+c\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}&&\int\sin^3xdx\end{array}
\begin{array}{l}\sin3x\equiv3\sin x-4\sin^3x\\\sin^3x\equiv\frac14\left(3\sin x-\sin3x\right)\end{array} \begin{array}{rcl}\int\sin^3xdx&=&\frac14\int\left(3\sin x-\sin3x\right)dx\\&=&\frac34\int\sin xdx-\frac14\int\sin3xdx\\&=&-\frac34\cos x+\frac1{12}\cos3x+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}&&\int\cos^32xdx\end{array}
\begin{array}{rcl}\cos6x&\equiv&4\cos^3x2x-3\cos2x\\\cos^32x&\equiv&\frac14\left(\cos6x-3\cos2x\right)\\\int\cos^32x&=&\frac14\int\left(\cos6x-3\cos2x\right)dx\\&=&\frac14\int\cos6xdx-\frac34\int\cos2xdx\\&=&\frac1{24}\sin6x-\frac38\sin2x+c\end{array}

sinx හා cosx වල බලයන් අනුකලනය කිර්‍රිම සඳහා තවත් ක්‍රමයක් මෙම පාඩමේ පසුව සාකච්ඡා කෙරේ.

ලබ්ධියක් ආකරයේ අනුකල වලදී වැදගත් වන ප්‍රමේයයක්

හරයේ අවකලන සංගුණකය ලවයේ ඇත්නම් හෝ ලවයේ නිර්මාණය කල හැකි නම් මෙම ක්‍රමය යෝග්‍ය වේ.

\begin{array}{rcl}&&\\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx&=&\ln\left|f\left(x\right)\right|+c\\&&\\&&\end{array}

 සාධනය:- \begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left[\ln\left|f\left(x\right)\right|+c\right]&=&\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}+c\\&&\\&&\\&&\end{array}

අනුකලනයේ අර්ථ දැක්වීමට අනුව,

\begin{array}{rcl}\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx&=&\ln\left|f\left(x\right)\right|+c\\&&\\&&\\&&\end{array}

උදාහරණ:-

  • \begin{array}{rcl}\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}dx&=&-\int\frac{\displaystyle\cos x-\sin x}{\displaystyle\sin x+\cos x}\\&=&-\ln\left|\sin x+\cos x\right|+c\\&&\\&&\\&&\end{array} ( c- අභිමත නියතය )

//04.05.04 voice//

  • \begin{array}{rcl}\int\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx&=&\frac12\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx\\&=&\frac12\ln\left|x^2+2x+5\right|+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\tan xdx&=&\int\frac{\sin{\displaystyle x}}{\cos{\displaystyle x}}dx\\&=&-\int\left(\frac{\displaystyle-\sin x}{\cos{\displaystyle x}}\right)dx\\&=&-\ln\left|\cos x\right|+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int cotxdx&=&\int\frac{\cos x}{\sin x}dx\\&=&\ln\left|\sin x\right|+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int secxdx&=&\int\frac{secx\left(secx+\tan x\right)}{\left(secx+\tan x\right)}dx\\&=&\ln\left|secx+\tan x\right|+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\cos ecxdx&=&-\int\left(-\frac{\cos ecx\left(\cos ecx+cotx\right)}{\left(\cos ecx+cotx\right)}\right)dx\\&=&-\ln\left|\cos ecx+cotx\right|+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{x\left(x^{2020}+1\right)}dx&=&\int\frac{\left(x^{2020}+1\right){\displaystyle-}{\displaystyle{\displaystyle x}^{2020}}}{x\left(x^{2020}+1\right)}dx\\&=&\int\frac1xdx-\int\frac{x^{2019}}{\left(x^{2020}+1\right)}dx\\&=&\ln\left|x\right|-\frac{\ln{\displaystyle\left|x^{2020}+1\right|}}{2020}+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{x\ln\left|x\right|}dx&=&\ln\left|\ln\left|x\right|\right|+c\end{array}
  • \begin{array}{rcl}\int\frac1{1+e^x}dx&=&-\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx\\&=&-\ln\left|1+e^{-x}\right|+c\end{array}

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි

0

අනුයාත පද දෙකක් අතර අනුපාතය සමාන වන සංඛ්‍යා රටා ගුණෝත්තර ශ්‍රේණී ලෙස හදුන්වයි.

ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක මුල් පද n වල ඓක්‍යය,

1. පහත දී ඇති ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි වල පළමු පදය හා පොදු අනුපාතය සොයන්න.

I)  3,6,12…

II) -2,6,-18…

III) 4,20,100…

IV) 5,-10,20…

V) 8,24,72…

2. පහත ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි වල ඊළඟ පද දෙක සම්පූර්ණ කරන්න.

I) 3,6,12…

II) 5,15,45…

III) 4,20,100…

IV) 10,30,90…

V) 5,30,180…

3. a හා r දෙන ලද පහත ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි වල මුල් පද 4 ලියා දක්වන්න.

I) a = 10, r = 2

II) a = -3, r = 3

III) a = 10, r = -2

IV) a = 5, r = 4

V) a =8, r = 3

4. 5,10,20… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 6 වන පදය බලයක් ලෙස ලියන්න.(පිළීතුර දර්ශක ආකාරයෙන් තබන්න.)

5. පහත දී ඇති ගුණෝත්තර ශ්‍රේණි වල ඉදිරියෙන් දක්වා ඇති පදයෙහි අගය බලයක් ඇසුරින් දක්වන්න.

I) 2,4,8… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 10 වන පදය

II)3,6,12,24… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 8 වන පදය

III) 3,-6,12,-24… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 8 වන පදය

IV) 10,-20,40… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 8 වන පදය

V) 4,12,36… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 5 වන පදය

6. -3,-9,-27… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ පොදු අනුපාතය සොයන්න.

7. 4,8,16,32… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ 7 වන පදය සොයන්න.

8. 20, -60 යනු ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක අනුයාත පද 2කි.එහි පොදු අනුපාතය සොයන්න.

9. 24,72 යනු ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක දෙවන හා තුන්වන පදය වේ.මෙම ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ මුල් පදය හා හතරවන පදය සොයන්න.

10. 2,6,18… ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියේ හත්වන පදය එම ශ්‍රේණියේම පස්වන පදය මෙන් කී ගුණයක්ද?

පිළිතුරු

1.

I) a = 3, r = 2

II) a = -2, r = -3

III) a = 4, r = 5

IV) a =5, r = -2

V) a= 8, r = 3

2.

I) 24, 48

II) 135, 405

III) 500, 2500

IV) 270, 810

V) 1080, 6480

3.

I) 10, 20, 40, 80

II) -3, -9, -27, -81

III) 10, -20, 40, -80

IV) 5, 20, 80, 320

V) 8, 24, 72, 216

4. 5 × 25

5.

I) T10 =  210     

II) T8 = 3 x 27      

III) T8 = 3 x (- 2)7              

IV) T8 = 10 x (-2)7    

V) T5 = 4 x 34

6. r = 3

7. T7 = 256

8. r = -3

9.

මුල් පදය = 8

හතර වන පදය = 216

10. 9 ගුණයක්

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

වැල් පොළිය (ප්‍රතිශත)

0

1. සුළු කරන්න

2. 5% වාර්ෂික වැල්පොලි අනුපාතිකයකට රු.5 000 ණයට ගත් අයකු වසරකට පසු ගෙවිය යුතු පොලිය කියද ?

3. 12% වාර්ෂික වැල්පොලි අනුපාතිකයකට රු. 12 000 ක් බැංකුවක තැන්පත් කල අයෙකුට වසරකට පසු ලැබෙන මුළු මුදල සොයන්න.

4. 15% වාර්ෂික වැල්පොලි අනුපාතිකයකට රු. 4 000 ක් මූල්‍ය ආයතනයක තැන්පත් කල

අයෙකුට ලැබෙන මුළු මුදල කීයද ?

5. 18% වාර්ෂික වැල්පොලි අනුපාතිකයකට රු.20 000 ක් ණයට ගත් අයෙකු වසර 2 කට

පසු ගෙවිය යුතු මුදල කියද ?

6.

I) රු.10 000 මුදලක් 10% ක වාර්ෂික වැල්පොලියකට සමන් ණයට ගනි.ඔහු වසර 2 කට පසු ණයෙන් නිදහස් වීමට ගෙවිය යුතු මුළු මුදල කීයද ?

II) සමන් මෙම ණය මුදල 10% සුළු පොලී අනුපාතිකයකට ණයට ගත්තේ නම් ඔහුට ලැබෙන වාසිය කීයද ?

පිලිතුරු

1.

I)  1125

II)  320     

III)  1620    

IV)  24 000   

V) 12 544   

VI) 39 675

2.

පොලිය  =  5000 × 5÷100

          =  රු. 250

3.

  1. ලැබෙන පොලිය     =  12 000 ×

                  =   රු. 1440/-

ලැබෙන මුළු මුදල  =  රු. 12 000 + 1440

                      =  රු. 13 440/-

4.

පළමු වසරේ පොලිය = 20 000 ×

                       = රු.3600/-

දෙවන වසරට ලැබෙන පොලිය = (20 000 + 3600) ×18/100

                                       =  රු. 4248/-

දෙවන වසර අවසානයේ ගෙවිය යුතු මුළු මුදල  = රු.23 600 + රු. 4248

= රු. 27 848/-

5.

 ලැබෙන පොලිය  = රු. 4 000 ×

                     = රු. 600/-

 වසර අවසානයේ ලැබෙන මුළු මුදල  = රු. 4 000 + රු. 600

                                         = රු. 4 600/-

6.

 I) පළමු වසරට ගෙවිය යුතු පොලිය = රු. 10 000 × 10÷100

                                          = රු. 1 000/-

 පළමු වසර අවසානයේ ගෙවිය යුතු මුළු මුදල = රු. 10 000 + රු. 1 000

                                                = රු 11 000

දෙවන වසරට ගෙවිය යුතු පොලිය = රු. 11 000 ×

                                                = රු. 1 100/-

දෙවන වසර අවසානයේ ගෙවිය යුතු මුළු මුදල = රු. 11 000 + රු. 1 100

                                = රු. 12 100

II)  ඔහුට වාර්ෂිකව ලැබෙන පොලිය  = රු.10 000 ×

                                                 = රු. 1 000/-

ඔහු වසර දෙකකදී ගෙවිය යුතු මුළු මුදල = රු.2 000/-

ඔහු වසර දෙකකදී ගෙවිය යුතු මුළු මුදල = රු. 10 000 + 2 000

                              = රු. 12 000/-

එම නිසා ඔහු වැල් පොලි ක්‍රමය වෙනුවට සුළු පොලි ක්‍රමය භාවිතා කරේ නම්

ඔහුට අත්වෙන වාසිය,    

                                     =රු. 12 100 – රු. 12 000

  = රු. 100/-

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

සීමාසහිත සමාගම් (කොටස් වෙළඳපොළ)

0

1.

2.

3. කිසියම් පුද්ගලයෙකු රු. 10000/- ක් වැය කොට කොටසක ලාබාංශය රු. 4/- ක් ගෙවන සමාගමක කොටස් 200ක් මිලදී ගනියි.

I) කොටසක වෙළඳපොළ මිල කීයද?

II) ඔහු ලබන ලාබාංශ ආදායම කීයද?

III) වසරකට පසු කොටසක වෙළඳපොළ මිල රු. 60/- ක් වූ අවස්ථාවේ ඔහු එම කොටස් සියල්ල විකුණා දැමුවේ නම් ඔහු ලබන ප්‍රාග්ධන ලාභය කොපමණද?

4. රු. 60000/- ක් ආයෝජනය කර කොටස් මිලදී ගත් අයෙකු වසරකට පසු රු. 75000/- කට කොටස් සියල්ල විකිණුවේ නම් , ඔහු ලබන ප්‍රාග්ධන ලාභය කීයද?

5. මිනිසෙක් වෙළඳපොළ මිල රු.75/- ක් වන කොටස් 1000ක් මිලට ගෙන වසරකට පසු කොටසක් රු. 90/- බැගින් විකුණන ලදී.ඔහු ලබන ප්‍රාග්ධන ලාභය කොපමණද?

6. රු. 50000/- ක් ආයෝජනය කර කොටසක වෙළඳපොළ මිල රු. 125/- ක කොටස් මිලදීගත් අයෙකු වසරකට පසු කොටසකින් රු. 5,- ක ප්‍රාග්ධන ලාභයක් ලැබෙන පරිදි කොටස් විකුණන ලදී.

I) ඔහු මිලදී ගත් කොටස් ගණන කීයද?

II) ඔහු ලද මුළු ප්‍රාග්ධන ලාභය කීයද?

7. සමාගමක කොටස් 500ක් හිමි අයෙකුට වසර අවසානයේ රු. 3500/- ක ලාභාංශයක්  ලැබුනේ නම් සමාගම විසින් කොටසකට ගෙවූ ලාභාංශය සොයන්න.

8. මිනිසෙක් තමා සතු කොටස් ගණනක් රු.40000/- කට විකිණීමෙන් රු. 5000/- ක ප්‍රාග්ධන ලාභයක් ලැබුවේ නම්, සමාගමේ ඔහු ආයෝජනය කර තිබූ මුදල කොපමණද?

9. රවීන්ද්‍ර තමා සතු කොටස් 500ක් ලභාංශ ලැබීමෙන් පසු රු. 60000/- කට විකිණීමෙන් රු. 5000/- ක ප්‍රාග්ධන ලාභයක් ලැබීය.

I) ඔහු විකිණූ කොටසක වෙළඳපොළ කීයද?

II) ඔහු එම කොටස් මිලදී ගැනීමට ආයෝජනය කළ මුදල කීයද?

III) ඔහු එම කොටසක් මිලදී ගත්තේ කොටසක වෙළඳපොළ මිල කීය බැගින් ද?

IV) සමාගම කොටසකට රු. 6/- ක ලාභාංශයක් ගෙවයි නම් රවීන්ද්‍ර ලැබූ ලාභාංශය කීයද?

පිළිතුරු

1.

රු. 12000/-

50

රු. 3/-

රු. 3750/-

2000

2.

රු. 5600/-

600

රු. 20/-

රු. 60000/-

රු. 12/-

3.

I) 10000/200 = රු. 50/-

II) 50 × 4 = රු. 200/-

III) විකිණීමෙන් ලැබෙන ආදායම,

                          200 × 60 = රු. 12000/-

   ප්‍රාග්ධන ලාභය,

                     12000 – 10000 = රු. 2000/-

4. රු. 60000/-

5. රු. 15000/-

6.

I) 400

II) රු. 2000/-

7. රු. 7/-

8. රු. 35000/-

9.

I) රු. 120/-

II) රු. 55000/-

III) රු. 110/-

IV) රු. 3000/-

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

වෘත්තය II

0

වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.

O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය C වේ. OC හා  AB ලම්භක වේ. එවිට වෘත්තයහි O\widehat{C}A = O\widehat{C}B  = 90° වේ.

උදාහරණ

මෙම රූපයේ දී ඇති දත්ත ඇරසුරෙන් පහත ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු සපයන්න. A යනු වෘත්ත කේන්ද්‍රය ද Q යනු PR ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද වේ.  PR = 8cm කි.

I) AQR හි අගය සොයන්න.

II) PQ හා RQ හි දිග සොයන්න.

III) සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ නම් කරන්න.

IV) ඉහත එක් ත්‍රිකෝණයකට පෛතගරස් සම්බන්ධය යොදන්න. වෘත්තයේ අරය සොයන්න.

පිළිතුරු

I)90° (වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.)

II) PQ = 4cm , QR = 4cm         

III) APQ, ARQ

IV) ARQ ත්‍රිකෝණයට පෛතගරස් සම්බන්ධය යෙදීමෙන්,

            AR2 = AQ2 + RQ2

            AR = 32 +  42

                   = 9 + 16

                   = 25

            AR = √25

                    = 5cm

   වෘත්තයේ අරය = 5cm

අභ්‍යාස

1. රූපයේ O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය M වේ.

I) AB,OM රේඛා අතර සම්බන්ධය ලියන්න.

II) OMB කෝණය හි අගය සොයන්න.

III) සෘජුකෝණික ත්‍රිකෝණ දෙකක් නම් කරන්න.

IV) AMO ත්‍රිකෝණයේ පාද අතර පහත සම්බන්ධතවයට ගැලපෙන සේ හිස්තැන් පුරවන්න.

AO2 = OM2 + …..

2. පහත රූප සටහන්වල දී ඇති තොරතුරු ඇසුරෙන්

a) එක් එක් රූප සටහන සඳහා පෛතගරස් සම්බන්ධය යොදන්න.

b) එම සම්බන්ධතාව භාවිතකර x හි අගය සොයන්න. ( C යනු වෘත්ත කේන්ද්‍රයයි.)

I)

II)

III)

IV)

3. අරය 10cm වන වෘත්තයක කෙන්ද්‍රයේ සිය ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට ඇඳි රේඛාවේ දිග 6cm කි.

I) දී ඇති දත්ත වලට ගැලපෙන රූප සටහනක් අඳින්න.

II) ජ්‍යායේ දිග සොයන්න.  

4. රූපයේ දක්වා ඇත්තේ O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයක AC විශ්කම්භය වූ ABC ත්‍රිකෝණයකි. එහි AB,BC ජ්‍යායන් පිළිවෙලින් 6cm,8cm වේ.

I) OEB කෝණය හා ODB කෝණය හි අගය සොයන්න.

II) EOD කෝණය හි අගය සොයන්න.

III) BE දිග කීය ද?

IV) BD දිග කීය ද?

V) ODBE චතුරස්‍රයේ පරිමිතිය සොයන්න.

5. පහත දක්වා ඇති O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තවල වීජීය සංකේත මගින් දක්වා ඇති කෝණවල අගය සොයන්න.

I)

II)

III)

පිලිතුරු

1.

I) AB හා OM ලම්භකය. (වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.)

II) 90°

III) AOM , BOM

IV) AO2 = OM2 + AM2

2.
I) a) x2 + 42 = 52       
b) x2 + 16 = 25                      
x2 = 25-16                       
x2 = 9                         
x = √9                         
x = 3cm  
II) 
a)  x2 + 62 = 102       
b) x2 + 36 = 100                       
x2 = 100-36                        
x2 = 64                         
x = √64                         
x = 8cm  
III) 
a) x2   = 52 + 122           
b) x2 = 25+144                        
x2 = 169                         
x = √169                         
x = 13cm  
IV )
a) x2 + 122 = 152       
b) x2 + 144 = 225                       
x2 = 225-144                        
x2 = 81                         
x = √81                         
x = 9cm  

3.

I)

II)

62 + BC2 = 102

36 + BC2 = 100

BC2 = 100-36

BC2 = 64

BC = √64

BC = 8 cm

ජ්‍යාය = AC = 2BC

ජ්‍යාය = 2 × 8

= 16cm

4.      

I) 90°

 II) 90°

III) BE = 4cm

IV)  BC = 3cm

V) ODBE පරිමිතිය = 14cm

5.  
I)
O\widehat{B}C = 90°  
x + 90° + 30° = 180°
          x + 120° = 180°
                      x = 180°- 120°
                       x = 60°

II) O\widehat{B }A = 90°                      
O\widehat{A}B = A\widehat{O}B (ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් ඒ පාදවලට සම්මුඛ කෝණ ද සමාන වේ.)          
x+ x + 90° = 180°             
2x + 90° = 180°                         
2x = 180°- 90°                         
2x = 90°                          
x = 45°               
III)
O\widehat{B}A= 90°
y + 90° + 20° = 180°          
y + 110° = 180°                       
y = 180°- 110°                       
y = 70° , B\widehat{A}D = z ලෙස ගනිමු            
20 + z =x (OA = OD, ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් ඒ පාදවලට සම්මුඛ කෝණ ද සමාන වේ.)          
z = x – 20°   
AOD ත්‍රිකෝණයේ
70°+20° + z+ x = 180°
x + z = 90°                                               
x + x – 20° = 90°
x = 55°                 

                  

වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට අඳිනු ලබන ලම්බයෙන් ජ්‍යාය  සමච්ඡේදනය වේ.

O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායකි. OC හා AB ලම්ම්භක වේ. නම් AC = BC වේ.

උදාහරන –

O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායකි. OC හා AB ලම්භක වේ.  OC = 6cm, AB = 16 cm ද වේ.

I)BC දිග සොයන්න

II) වෘත්තයේ අරය සොයන්න.

පිලිතුරු
I) BC = AB/2          
= 8cm
II) OB2 = OC2 + BC2          
= 62 + 82          
= 36 + 64           
= 100    
OB = √100   
OB = 10cm  

වෘත්තයේ අරය   = 10cm    

1. රූපයේ දැක්වෙන P කේන්ද්‍රය වන වෘත්තයේ CD ජ්‍යායකි. E යනු P සිට ජ්‍යායට ඇඳි ලම්භයේ අඩියයි. DE හා EC අතර සම්බන්ධතාවක් ගොඩනගන්න.

2. අරය 5cm වන වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායකට ඇඳි ලම්භයේ දිග 3cm කි. ජ්‍යායේ දිග ගණනය කරන්න.

3. PQR යනු O කේන්ඩ්‍රය වූ වෘත්තයේ සමපාද ත්‍රිකෝණයකි. SQ = 8cm නම් ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය සොයන්න.

4. O කේන්ද්‍රය වූ ඒක කේන්ද්‍රික වෘත්ත දෙකක් රූපයේ දැක්වේ. කුඩා වෘත්තයේ අරය 5cm ද විශාල වෘත්තයේ අරය 13cm වේ. AB ජ්‍යායේ දිග සොයන්න.

පිළිතුරු

1. DE = EC

2.

OB2 = OC2 + BC2

52 = 32 + BC2

BC2 = 25 – 9

BC2 = 16

BC = √16

BC = 4cm

ජ්‍යායයේ දිග = 2BC

               = 8cm

3.

SQ = PS = 8cm

PQ = 2 × 8

ත්‍රිකෝණයේ පාදයක දිග = 16cm

ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය = 16 + 16 + 16

                          = 48 cm

4.

OB2 = OC2 + BC2

132 = 52 + BC2

169 = 25 + BC2

BC2 = 169 – 25

BC2 = 144

BC = √144

BC = 12 cm

AB = 2BC

     = 24 cm

ජ්‍යායයේ දිග = 24 cm

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත

0

\Theta කෝණයට සාපේක්ෂව පාද සැලකීමෙන්,

අභ්‍යාසය 1

ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක යම් කෝණයක sin අගය එහි සම්මුඛ පාදයේ දිග හා කර්ණයේ දිග අතර අනුපාතයයි.

අභ්‍යාසය 2

ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක යම් කෝණයක cos අගය එහි බද්ධ පාදයේ දිග හා කර්ණයේ දිග අතර අනුපාතයයි

අභ්‍යාසය 3

ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක යම් කෝණයක tan අගය එහි සම්මුඛ පාදයේ දිග හා බද්ධ පාදයේ දිග අතර අනුපාතයයි.

අභ්‍යාසය 4

අභ්‍යාසය 5

1.

2.

sin\Theta = \frac{3}{5} නම් tan\Theta සොයන්න.

3.

tan\Theta =

tan\alpha =

4.

රූපයේ දී ඇති මිනුම් ඇසුරින්

Sin300

Cos300

හි අගය සොයන්න.

පිලිතුරු

අභ්‍යාසය 1

AB,BC,AC

BC,AB,AC

AB,AC,BC

AC,AB,BC

AC,AB,BC

අභ්‍යාසය 2

PR,PQ,PR/QP

YZ,XY,YZ/XY

QR,PR,QR/PR

XZ,YZ,XZ/YZ

LM,KM,LM/KM

අභ්‍යාසය 3

QR,PR,QR/PR

SU,ST,SU/ST

KL,KM,KL/KM

XZ,YZ,XZ/YZ

PV,VW,PV/VW

අභ්‍යාසය 4

QR,PR,QR/PR

KM,LM,KM/LM

QR,PQ,QR/PQ

XZ,XY,XZ/XY

AB,AC,AB/AC

අභ්‍යාසය 5

1.

2.

(PC) =  ( PQ)2 + ( QC)2

25      =     9       +  ( QC)2

16      =    ( QC )2

4 cm  =     QC

 3.

 4.

ත්‍රිකෝණමිති‍ය 01

ත්‍රිකෝණමිති‍ය 02

ත්‍රිකෝණමිති‍ය 04

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

01.01 – කොන මිනුම්

0

m,න්ක්ෂ්ළ්ළ්ක්ඤ්බ්ද්ක්ස්ජ්බ්ව්ක්ඤ්ව්ඤ්ව්ජ

  • මග හරවා ගැනීමට එහිදී පහත ක්‍රමය අනුගමනය කරන ලෙස highly recommend කරමු.
  • Ss
  • </li></ul> <ul><li>මග හරවා ගැනීමට එහිදී පහත ක්‍රමය අනුගමනය කරන ලෙස highly recommend කරමු.</li></ul> <ul><li>Ss</li></ul> <p>දැන් හරි!!! (මේ වගේ center කරන්න.)</p> <ul><li>නමුත් මෙම ක්‍රමය තරමක් අපහසු නිසා “හැකි සෑම විටම” පළමු ක්‍රමය යොදා ගැනීම ඔබට වාසිදායක වනු ඇත.</li></ul> <p>නමුත් ඉහත පළමු</p> <p>දැන් හරි!!! (මේ වගේ center කරන්න.)</p> <ul><li>නමුත් මෙම ක්‍රමය තරමක් අපහසු නිසා “හැකි සෑම විටම” පළමු ක්‍රමය යොදා ගැනීම ඔබට වාසිදායක වනු ඇත.</li></ul> <p>නමුත් ඉහත පළමු</p> <p></p> <ul><li>

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

පරිමාව

0

සිලින්ඩරයක පරිමාව

අරය දී ඇති විට ඍජු වෘත්ත සිිලින්ඩරයක පරිමාව සෙවීම .

උදාහරණ –  

අරය 7cm ද , උස 10cm ද වූ ඍජු වෘත්ත සිලින්ඩරයක පරිමාව;

             

අභ්‍යාසය 01

පහත අරයන් හා උස සහිත සිලින්ඩර වල හරස්කඩ වර්ගඵලය හා පරිමාව සොයන්න.

       අරය    උසහරස්කඩ වර්ගඵලයපරිමාව
   21 cm  10 cm  
   28 cm  20 cm  
   70 cm    1 m  

ඍජු වෘත්ත සිලින්ඩරයක පරිමාව හා අරය දී ඇති විට උස සෙවීම.

උදාහරණ – 

පරිමාව = 6160 cm3, අරය = 14 cm වූ සිලින්ඩරාකාර බදුනක උස සොයන්න.

අභ්‍යාසය 02

පහත වගුව සම්පූර්ණ කරන්න.

අරයපරිමාවඋස
 7 cm1540 cm3 
70 cm61600 cm3 
 7 cm2310  cm3 

ඍජු වෘත්ත සිලින්ඩරයක පරිමාව හා උස දී ඇතිවිට අරය සෙවීම.

පරිමාව  = 616 cm3 හා උස = 4 cm වූ සිලින්ඩරාකාර බදුනක අරය සොයන්න.

                       

අභ්‍යාසය 03

1. පහත වගුව සම්පූර්ණ කරන්න.

පරිමාව  cm3උසඅරය
154010 
30805 
3696                                                     6 

2. පහත වගුව සම්පූර්ණ කරන්න.

අරය cmඋස cmහරස්කඩ වර්ගඵලය cm2පරිමාව cm3
218  
14  4313
 10 13860

අභ්‍යාසය 04

ජලය 2156 cm3 පුරවා ඇති ඍජු වෘත්ත සිලින්ඩරාකාර බීකරයක අරය 7 cm කි. ජල කදේ උස සොයන්න.

පිලිතුරු

අභ්‍යාසය 01

       අරය    උසහරස්කඩ වර්ගඵලය (cm2)    පරිමාව (cm3)
   21 cm  10 cm  1386  13860
   28 cm  20 cm  246449280
   70 cm    1 m  154001540000

අභ්‍යාසය 02

අරයපරිමාවඋස(cm)
 7 cm1540 cm310
70 cm61600 cm3 4
 7 cm2310  cm315

අභ්‍යාසය 03

පරිමාව  cm3උසඅරය (cm)
1540107
3080514
3696                                                     614
අරය cmඋස cmහරස්කඩ වර්ගඵලය cm2පරිමාව cm3
218138611088
1476164313
2110138613860

අභ්‍යාසය 04

 ප්‍රිස්මයක පරිමාව

උදාහරණ –

                            V = 12 × 10

                               =  120 cm3

අභ්‍යාසය 01

1. පරිමාව සොයන්න.

I)

II)

අභ්‍යාසය 02

1. පරිමාව සොයන්න.

I)

II)

III)

IV) හරස්කඩ වර්ගඵලය 25 cm2 හා උස 15 cm වන ත්‍රිකෝණ ප්‍රිස්මයක පරිමාව සොයන්න.

පිලිතුරු

අභ්‍යාසය 01

I)

V =  50 × 50

   =    2500 cm3

 II)

V = 2 × 0.5

   = 1 m3

අභ්‍යාසය 02

I) V =(1/2) × 4 × 3 × 10 = 60 cm3

II) V =(1/2) × 10 × 3 × 15 = 225 cm3

III) V = (1/2)×8×6 = 2400cm3

IV) V = 25×15 = 375cm3

       

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.

Back
WhatsApp Chat - LearnSteer EduTalk 🔥
Telegram Channel - LearnSteer EduTalk 🔥
Live Chat
LearnSteer වෙබ් පිටුව භාවිතා කරන ඔබට ඇති ප්‍රශ්න, අදහස්, යෝජනා, චෝදනා ඉදිරිපත් කරන්න.