කේන්ද්‍රය (0,0) වන y=e^{-x^2}\;හා\;y=-e^{-x^2} වක්‍රයන් අතර පිහිටන විශාලම වෘත්තයේ වර්ගඵලය සොයන්න.
දී ඇති වක්‍රයන් අතර පිහිටන කේන්ද්‍රය (0,0) වන විශාලම වෘත්තයේ පිහිටීම පිළිබඳ සිතා බලමු.
එම වෘත්තය වක්‍රයන් ඉක්මවා නොයා වක්‍ර ස්පර්ශ කරමින් රූපයේ දැක්වෙන පරිදි පිහිටිය යුතුයි.
මුලින්ම වෘත්තයේ අරය ගණනය කරමු.
සමමිතිය සැලකීමෙන් y=e^{-x^2} (ධන වක්‍රය) ඇසුරු කරගෙන අරය සොයමු.
(x,e^{-x^2}) ,y=e^{-x^2} වක්‍රය මත පිහිටි ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස ගනිමු.
මූල ලක්ෂ්‍යය වන O\equiv(0,0) සිට (x,e^{-x^2}) දක්වා ඇති අවම දුර අපට අවශ්‍ය කරන වෘත්තයේ අරයට සමාන වෙනවා.
\begin{array}{rcl}(0,0)\;සිට\;(x,e^{-x^2})\;දක්වා\;දුර\;&=&\sqrt{(x-0)^2+(e^{-x^2}-0)^2}\\&=&\sqrt{x^2+e^{-2x^2}}\end{array}
එවිට , (0,0) සිට (x,e^{-x^2}) නම්, \begin{array}{rcl}r&=&\sqrt{x^2+e^{-2x^2}}\end{array} හි අවමය
මෙහි අවම r අගය ලබා ගැනීමට ඉහත සමීකරණය අවකලනය කළ යුතුයි. වර්ගමූලය සමඟ අවකලනය ටිකක් අපහසුයි. මේ අවස්ථාවේදී වෙනත් පහසු ක්‍රමයක් යොදා ගන්න පුළුවන්.
වෘත්තයේ අරයට ධන අගයක් පමණක් පවතින නිසා අවකලනයට පෙර ඉහත සමීකරණයේ දෙපසම වර්ල කරන්න පුළුවන්.
එවිට , \begin{array}{rcl}r^2&=&x^2+e^{-2x^2}\end{array}
දෙපසම x විශයෙන් අවකලනයෙන්,
\begin{array}{rcl}\frac{d(r^2)}{dx}&=&2x+e^{-2x^2}.(-2)2x\\&=&2x-4xe^{-2x^2}\\&=&2x(1-2e^{-2x^2})\end{array}
\begin{array}{rcl}\frac{d(r^2)}{dx}&=&0\end{array}විට x හි අවම අගය ලැබේ.
\begin{array}{rcl}2x(1-2e^{-2x^2})&=&0\end{array}
\begin{array}{rcl}(1-2e^{-2x^2})&=&0\\1&=&2e^{-2x^2}\\1&=&\frac2{e^{2x^2}}\\e^{2x^2}&=&2\\e^{x^2}&=&\sqrt2\\x^2&=&\ln\sqrt2\end{array} හෝ \begin{array}{rcl}2x&=&0\\x&=&0\end{array}
\begin{array}{rcl}x&=&0විට,r^2=0+e^0=1\end{array}
x^2=ln2 විට, \begin{array}{rcl}r^2&=&\ln\sqrt2+\frac12\\&\approx&0.847<1\end{array}
\begin{array}{rcl}x^2&=&\ln\sqrt2\;විට\;r^2\end{array} අවම අගයක් ගන්නවා.
\begin{array}{rcl}&&r^2\end{array} අවම විට r ද අවම වෙනවා.
\begin{array}{rcl}වෘත්තයේ\;අරය&=&\sqrt{\ln\sqrt2+\frac12}\end{array}
\begin{array}{rcl}වෘත්තයේ\;වර්ගඵලය&=&\pi r^2\\&=&\pi(\ln\sqrt2+\frac12)\end{array}
