02.02.00 – ශ්‍රිත

• සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 11 a) ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

ශ්‍රිතයක් හැදින්වීම

• x කුලකයේ එක් එක් අවයවය කිසියම් සම්බන්ධයක් මගින් y කුලකයේ අනන්‍ය අවයව අනුරුපණය කෙරේ නම් එවැනි සම්බන්ධයක් ශ්‍රිතයක් ලෙස හැදින්වේ.

ශ්‍රිතයක වසම , සහ-වසම හා පරාසය

     x = { 1,2,3,} යැයිද

     y = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,} යැයිද ගනිමු.

     x හා y කුලක අතර සම්බන්ධයක ඊ සටහනක දක්වමු. . f = x²  ශ්‍රිතය සලකමු.

• x හි එක් අගයකට අනුරූප y හි එක අගයක් බැගින් පවතින අතර x හි සැම අවයවයකටම අනුරූප ප්‍රතිබිම්බ y හි පවතී. එමනිසා “f “ යනු ශ්‍රිතයක් බව පැහැදිලි වේ.
• මෙහි f ශ්‍රිතයේ වසම(Domain) x කුලකය වන අතර එය “D_f “  මගින් සංකේත කරයි.
• මෙහි y කුලකය එහි ශ්‍රිතයේ සහ-වසම ( Co-Domain )වන අතර එය “C_f “ ලෙස සංකේත කරයි. එනම් සහවසමය යනු ශ්‍රිතයේ ප්‍රතිබිම්බ සියල්ලද අඩංගු වන සේ අර්ථ දක්වා ගනු ලබන ඕනෑම කුලකයකි.
• ශ්‍රිතයක කුඩාම සහවසමය පරාසය නම් වේ.
• x කුලකයේ 1,2,3  අවයව f ශ්‍රිතය මගින් y කුලකයේ ඇති 1,4,9 අවයව වලට අනුරුප වන නිසා ඒවා x කුලකයේ අවයව වලට ප්‍රතිබිම්භ ලෙස හදුන්වයි. මෙම ප්‍රතිබිම්භ වලින් සමන්විත කුලකය {1,4,9 }  “f “ ශ්‍රිතයේ පරාසය ( Range) ලෙස හදුන්වනු ලබන අතර එය  “R_f “ ලෙස සංකේත කරයි.
• මෙහි  D_f  = {1 ,2 ,3} ද R_f  = {1,4,9} ද C_f  = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ද වේ.

උදාහරණ:

1. \begin{array}{l}y=3x+2\;\text{හා }D_f=\{\;x\in\mathbb{R}/0<x<5\;\}\;\text{නම් }y\;\text{හි පරාසය සොයන්න.}\\y=3x+2\;;\;x=\frac{(y-2)}3\end{array}

\begin{array}{rcl}0\;&<&\;x\;&<&\;5\\0\;&<&\;\frac{(y-2)}3\;&<&\;5\\0\;&<&\;y-2\;&<&\;15\\2\:&<&\;y\;&<&\;17\;\end{array}

R_f\in\left(2,17\right)

1. f(x)=x^2+1\;\text{හා }D_f=\{\;x\in R/-3<x<+3\;\}\;\text{නම් }f(x)\;\text{හි පරාසය සොයන්න.}

\begin{array}{rcl}-3\;&<&\;\;\;\;\;x\;&<&\;+3\\0\;&<&\;\;\;\;\;x^2\;&<&\;5\\1\;&<&\;x^2+1\;&<&\;15\\1\:&<&\;\;\;f(x)&<&\;17\;\end{array}

R_f\in\left(1,10\right)

මතට ශ්‍රිත

• f ශ්‍රිතයේ පරාසය හා සහ-වසම සමාන වේ නම්,  f යනු මතට ශ්‍රිතයක් වේ.

එකට එක ශ්‍රිත

• වසමයේ x₁  හා x₂  අගයන් දෙකක් සදහා f (x₁) = f (x₂) නම් x₁ = x₂ වන ශ්‍රිතයක් එකට එක ශ්‍රිතයක් වේ.

උදාහරණ:

y=\sqrt{3x+1}\;\text{එකට එක ශ්‍රිතයක් බව පෙන්වන්න.}

\begin{array}{rcl}f\left(x_1\right)\;&=&\;f\left(x_2\right)\\\sqrt{3x_1+1}\;&=&\;\sqrt{3x_2+1}\\3x_1+1\;&=&\;3x_2+1\\3x_1\;&=&\;3x_2\\x_1\;&=&\;x_2\end{array}

ශ්‍රිතිය අංකනය

• f ශ්‍රිතය යටතේ x කුලකය , y කුලකයට අනුරුපවේ නම් එය සංකේතාත්මකව,

” f:x\rightarrow y” ලෙස දක්වයි.

x ∈ X හා y ∈ Y යැයි ගනිමු.

• f ශ්‍රිතයේ X කුලකයේ x අවයවය හා Y කුලකයේ y  අවයවය අනුපරුප වේ නම් එයද f:x\rightarrow y ලෙස දක්වනු ලබන අතර y යනු f ශ්‍රිතය යටතේ x හි ප්‍රතිබිම්භය ලෙස හදුන්වන අතර එය f (x ) ලෙස සංකේත කරයි.

  x ∈ X  හා  y ∈ Y විට

f:x\rightarrow y

f:x\rightarrow f(x)\;\;වේ.   එමනිසා\;\;y=f\left(x\right)\;\; වේ.

විචල්‍යය

• නිරතුරුවම වෙනස් වන අගයන් විචල්‍යය ලෙස හදුන්වයි.

ස්වායත්ත විචල්‍යය හා පරායත්ත විචල්‍යය

• X  කුලකයේ  x විචල්‍ය වෙනස් වන නිසා එය ස්වායත්ත විචල්‍යය ලෙස හදුන්වයි.

• x ශ්‍රිතයට අනුරුප වන නිසා y විචල්‍ය පරායත්ත විචල්‍යය ලෙසත් හදුන්වයි.

ශ්‍රිත කර්ම

නියතයක හා ශ්‍රිතයක ගුණිතය සදහා අර්ථ දැක්වීම.

                    f:x\rightarrow f(x) වන පරිදි “ f “  ශ්‍රිතය අර්ථ දක්වා ඇති විට K  නියතයේ හා f ශ්‍රිතයේ ගුණිතය 

(K) f(x) = Kf(x) ; x ∈ R ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

ශ්‍රිත දෙකක ඓක්‍ය

                  f:x\rightarrow f(x)\;\text{යයිද}\;g:x\rightarrow g(x)\;\text{යයිද ගනිමු.}

f හා g ශ්‍රිත දෙකෙහි ඓක්‍ය ( f + g ) මගින් දක්වන අතර,

(f+g)x = f(x)+g(x)     ලෙස අර්ථ දැක්වේ. 

ශ්‍රිත දෙකක අන්තරය

f හා g ශ්‍රිත ද එකෙහි අන්තරය ( f – g ) මගින් දක්වන අතර,

(f-g)x = f(x)-g(x)      ලෙස දැක්වේ. 

ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය

f හා g ශ්‍රිත දෙකෙහි ගුණිතය fg මගින් දක්වන අතර,

\begin{array}{rcl}\boldsymbol(\boldsymbol f\boldsymbol g\boldsymbol)\boldsymbol x&\boldsymbol=&\boldsymbol f\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\boldsymbol\times\boldsymbol g\boldsymbol(\boldsymbol x\boldsymbol)\end{array}    ලෙස දැක්වේ.  

ශ්‍රිත දෙකක අනුපාතය

f හා g ශ්‍රිත දෙකෙහි අනුපාතය \frac fg  මගින් දක්වන අතර 

\begin{array}{rcl}\left(\frac{\mathbf f}{\mathbf g}\right)\boldsymbol x&\boldsymbol=&\frac{\mathbf f\left(\mathbf x\right)}{\mathbf g\left(\mathbf x\right)}\end{array}    සහ g(x)≠ 0 ලෙස අර්ථ දක්වයි.

විවිධ ශ්‍රිත

නියත ශ්‍රිත

සියලු x ∈ R සදහා f(x) = K ; {K නියතයකි}  ලෙස අර්ථ දැක්වෙන x ශ්‍රිතය නියත ශ්‍රිතය් ලෙස හදුන්වයි.

ඒකක ශ්‍රිත

x ∈ R සදහා f(x) = 1 වන පරිදි අර්ථ දැක්වෙන ශ්‍රිතය ඒකක ශ්‍රිතයක් ලෙස හදුන්වයි

ඉරට්ටේ ශ්‍රිත

x ∈ R සදහා f(-x) = f(x) වන පරිදි අර්ථ දැක්වෙන ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් ලෙස හදුන්වයි

උදාහරණ: f(x) = 4 – x²  යැයි ගනිමු.

      f ශ්‍රිතය ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක් යැයි පෙන්වන්න. -3\leq x\leq3 ප්‍රාන්තරය තුල y = f(x) හි අගයන් ලියා දක්වන්න.

\begin{array}{rcl}f\left(x\right)\;&=&\;4-x^2\\\text{එමනිසා}\;f\left(-x\right)\;&=&\;4-\;(-x)^2\\&=&\;4-\;x^2\\&=&\;f(x)\;\end{array}

එමනිසා මෙය ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකි.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = f(x) = 4-x2	-5	0	3	0	3	0	-5

ඔත්තේ ශ්‍රිත

• x ∈R සදහා f(-x) = -f(x) වන පරිදි අර්ථ දැක්වෙන ශ්‍රිතය ඔත්තේ ශ්‍රිතයක් ලෙස හදුන්වයි.ඔත්තේ ශ්‍රිතයක දල සටහන මුල ලක්ෂ්‍ය වට සමමිතික වේ.

               උදාහරණ :  f(x) = x⁵ – x³ + x  සලකමු.

\begin{array}{rcl}f(-x)&=&(-x)^5-(-x)^3+(-x)\\&=&-\{x^5-x^3+x\}\\&=&-f(x)\end{array}

• එමනිසා f යනු ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි.
• f(x) = x³ සලකමු.
• -2\;\leq x\;\;\leq2\;\text{පරාසය තුල}\;y\;=\;f(x)\;\text{හි අගයන් ලියා දක්වන්න}.

\begin{array}{rcl}f(-x)\;&=&\;(-x)^3\&=&\;-\;x^3\&=&\;-\;f(x)\end{array}

එමනිසා මෙය ඔත්තේ ශ්‍රිතයකි.

x	-2	-1	0	1	2
y=f(x)	-8	-1	0	1	8

සංයුත ශ්‍රිත

• f යනු g හි ශ්‍රිතයක් ද g යනු x හි ශ්‍රිතයක් ද නම් f යනු x හි ශ්‍රිතයක ශ්‍රිතයක් වේ.එය fog(x) = f[g(x)] ලෙස නම් වේ.

උදාහරණ:

f(x) = x – 3 ද gof(x) = x² – 6x + 11 ද නම් g(x) සොයන්න. fog(x) සොයන්න.

\begin{array}{rcl}gof(x)\;&=&\;x^2\;–\;6x\;+\;11\\g\left[f\left(x\right)\right]&=&\;(x\;-3)2\;+\;2\\&=&\;\left[f\left(x\right)\right]^2\;+\;2\\g\left(x\right)\;&=&\;x^2\;+\;2\\\\{fog(x)\;}&=&\;f\left[g\left(x\right)\right]\\&=&{\;g\left(x\right)\;-\;3}\\&=&\;x^2\;+\;2\;-\;3\\&=&\;x^2\;-\;1\end{array}

කඩමනින් ශ්‍රිත

• වසමයේ විවිධ ප්‍රාන්තර වලදී විවිධ ලෙස අර්ථ දැක්වෙන ශ්‍රිත වේ.

\begin{array}{l}f\left(x\right)\;\rightarrow\;2x\;+\;3\;\;\;;\;\;\;x\;\geq\;1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;x^2\;\;\;;\;\;\;x\;<\;1\end{array}

“Politics is for the present, but an equation is for eternity.”
-Albert Einstein –

Video Links :