02.03.01 – වීජීය අසමානතා

• සංයුක්ත ගණිතය I  (ශුද්ධ ගණිතය)  ප්‍රශ්න පත්‍රයේ  A කොටසේ ලකුණු 25 ක ගැටලුවක් මෙම සිද්ධාන්ත වලින් ඇතුළත් කර ඇත.

සංකේත හදුනා ගැනීම

\begin{array}{l}a\in\mathbb{R}\;\text{නම්}\;,\;\;\;\;(\in=\text{අයත්වේ, ඇතුලත්වේ}\;)\;.\\a\;\text{ධන නම් }\;a\in(0\;,\infty)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;උ\text{දා}\;:-\;\;\left[a\;=\;7\;,\;a\;\text{ධනවේ}\right]\\a\;\text{ශූන්‍ය නම්}\;a\in(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[\;a\;=\;0\right]\\a\;\text{ඍණ  නම්}\;\;a\in(0\;,-\infty)\;තවද\;(-a)\text{ ධනවේ}\operatorname{   }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[\text{a = -7 නම් (-a) = 7 , (-a)  ධන වේ.}\right]\end{array}

• සංඛ්‍යා 2 ක විශාලත්ව සංසන්දනය   දැක්වීමට  > , = , < (සංඛේත 3ම ⋛ ලෙස සාමානයෙන්  දැක්වේ ) භාවිතා කරයි.

අසමානතා හැදින්වීම

• a හා b යනු තාත්වික සංඛයා දෙකක් විට,
  1. a>b වන්නේ (a-b), දන නම් හා නම්ම පමනි
  2. a<b වන්නේ ,b> a නම් හා නම්ම පමනි.
  3. a ≥b වන්නේ a>b හෝ a=b නම් හෝ නම්ම පමනි.
  4. a≤b වන්නේ a<b හෝ a=b නම් හෝ නම්ම පමනි.
• a>b , a<b ආකාරයේ අසමානතා සෘජු අසමානතා ලෙස හැදින්වේ.
• අසමානතා සමානතා මගින් සම්බන්ධ කිරීමෙන් සෑදුනු a≥b හා a≤b ආකරයේ අසමානතා සෘජු නොවූ අසමානතා ලෙස හැදින්වේ.
  
  උදා:- ඉහත හැදින්වීමට අනුව සත්‍ය අසමානතා කිහිපයක්,
  1. 5>1
  2. 2<6
  3. -1<3
  4. 7≥2
  5. 2≤2

වීජීය අසමානතා අශ්‍රිත ප්‍රමේයන් හා සාධන

තිදාකරණනීතිය අර්ථ දැක්වීම

• a-b > 0 නම් හා නම් ම පමණක්‍ a > b යැයි අර්ථ දැක්වේ.
• a-b < 0 නම් හා නම් ම පමණක්‍ a < b යැයි අර්ථ දැක්වේ.

• සාධනය
  • a හා b තාත්වික සංඛ්‍යා 2 ක් නම් හෝ a > b හෝ a = b නම් හෝ a < b ලෙස වේ.
  • a > b නම් a = b + x වන පරිදි xϵℝ⁺පවතී. එවිට a–b = x වේ.
  • a = b නම් a-b =0 වේ.
  • a < b නම්   a=b – x වන පරිදි xϵℝ⁺ පවතී. එවිට a–b = -x වේ.

ප්‍රමේයය  1

• ඕනෑම a ϵ ℝ සඳහා  a² ≥ 0  ; එනම් තාත්වික සංඛ්‍යාක වර්ගය ඍණ නොවන සංඛ්‍යාවකි.
  
  සාධනය 

{\begin{array}{l}a\epsilon ℝ\;\text{විට},\\(1).\;a>0\;\text{නම}\rightarrow a^2=a\times a>0\\(2).\;a=b\;\text{නම}\rightarrow a^2=a\times a=0\times0=0\\(3).\;a<0\;\text{නම්}\rightarrow a^2=(-a)\times(-a)>0\end{array}}

a ϵ ℝ  , a² ≥0 වේ. a=0 විට සමානතාව ගැළපේ එනම් a²=0 වේ. a ≠ 0 නම්  a²> 0 වේ.

උදාහරණ :-

1. x\in\mathbb{R}  , නම්  x² – 2x + 1 ≥ 0 බව පෙන්වන්න.

\begin{array}{l}x\in\mathbb{R},\;x^2-2x+1\;\left[\therefore\;x\in\mathbb{R}\;\text{නම්}\;(x-1)\in\mathbb{R}\;\text{වේ}.\right]\;\therefore\;(x-1)^2\geq0\\x=1\;\text{විට සමානතාව ගැළපේ}\;.x\in\mathbb{R}\;,\;x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\end{array}

2. x, y සහ z\in\mathbb{R} නම්  2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2xz – 2yz ≥ 0 බව පෙන්වන්න

\begin{array}{rcl}2x^2+2y^2+2z^2-2xy–2xz–2yz&=&x^2+x^2+y^2+y^2+z^2+z^2-2xy–2xz–2yz\\&=&(x^2-2xy+y^2)+(x^2–2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)\\&=&(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\\&&{\;\;\geq0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq0\;\;\;\;\;\;\;\;\geq0}\\(x&=&y=z\;\text{විට සමානතාව ගැළපේ})\\\because(x-y)&\in&\mathbb{R},\;(x-y)^2\geq0\;\because(x–z)\in\mathbb{R},(x-z)^2\geq0,\;\because(y-z)\in\mathbb{R},\;(y-z)^2\geq0\end{array}

3. x\in\mathbb{R} , නම් x – 6x + 9 ≥ 0  බව පෙන්වන්න.

\begin{array}{rcl}x^2-6x+9&=&(x-3)^2\geq0\;\left[\because x\in\mathbb{R},\;(x-3)\in\mathbb{R}\;\text{වේ},\;x=3\;\text{විට අසමානතාව ගැළපේ.}\right]\end{array}

ප්‍රමේයය  2

• (a,b සහ c) ϵ ℝ  සඳහා a > b → (a + c )> (b + c)
• අසමානතාවක දෙපසට එකම තාත්වික සංඛ්‍යා එකතු කළ විට එලෙස ම පවතී.
  • x > 2 නම් x+1 > 3
  • x > 2 නම් x-1 > 1

ප්‍රමේයය  3

•  a සහ b ϵ ℝ, k > 0 සඳහා a > b → ka > kb
• අසමානතාවක දෙපස එකම තාත්වික සංඛ්‍යාවකින්  ගුණ කළ විට එලෙස ම පවතී.
  • 5 > 2 නිසා 10 > 4
  • x > 1 නම් 2x > 2

ප්‍රමේයය  4

• a සහ b ϵ ℝ, k < 0 සඳහා a > b → ka < kb
• අසමානතාවක දෙපස එකම ඍණ තාත්වික සංඛ්‍යාවකින්  ගුණ කළ විට අසමානතාව ප්‍රතිවිරැද්ධ වේ .
  • x > 5 නම් , -2x < 10

ප්‍රමේයය  5

• a ,b ,c සහ d ϵ ℝ , සඳහා a > b සහ c > d≡ a+c  > b+d
  • 5 + 4 > 3 + 2   (5 > 3, 4 > 2), 9>5
  • 6 + 7 < 4 + 1    (6 > 3, 7 > 3), 13>5
  • 5 +(– 1) < 4 +(– 7)      [5 > 4, (-1) > (-7)], 4 > -3
•  

ප්‍රමේයය  6

• (a, b සහ c) ϵ ℝ සඳහා a > b , b > c → a > c
  • x > y , y > 2  එම නිසා  x > 2
•  

ප්‍රමේයය  7

\begin{array}{l}\;a\;>\;b\;>\;c\;\rightarrow\;\;\frac1a<\;\frac1b\\\end{array}

\begin{array}{l}\circ\begin{array}{ccl}5&>&3\;\rightarrow\frac15<\frac13\end{array}\\\end{array}

ප්‍රමේයය  8

• a ,b ,c සහ d ϵ ℝ සඳහා a > b , c > d → ac > bd
  • 5 > 3 , 4 > 1  → 20 > 3
•  

ප්‍රමේයය  9

• (a සහ b) ϵ ℝ, n ϵ ℤ සඳහා a > b → aⁿ> bⁿ
  • n=2 ලෙස ගමු,
    4 > 2 → 4² >2² → 16 > 4
•  

ප්‍රමේයය  10

• (a₁, a₂, a₃, ….., a_n)ϵ ℝ නම් එම n හි ,

\begin{array}{rcl}\text{සමාන්තර මධ්‍යන්‍ය }&=&\left(\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}n\right)\;\text{ලෙසද},\\\text{ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය}\;\;&=&\sqrt[n]{a_1,a_2,a_3,\;\dots,\;a_n}\;\text{ලෙස ද අර්ථ දැක්වූ විට},\\&&\end{array}

• සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය  ≥ ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය

\begin{array}{c}\text{∘2,3,5 හි සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය =   }\frac{\text{(2+3+5)}}3\text{=}\frac{\text{10}}3\\\\\circ2,3,5\;\text{හි ගුණෝත්තර මධ්‍යන්‍යය}\;=\sqrt[3]{(2\times3\times5)}\;=\sqrt[3]{30}\;\;\;\;\;\\\\\circ\frac{10}3>\sqrt[3]{30}\end{array}

සංඛ්‍යා රේඛාවක ප්‍රාන්තරය

• සංඛ්‍යා 2 ක විශාලත්ව සංසන්දනය දැක්වීමට < ,  > ,  = (සංඛේත 3ම ⋛ ලෙස සාමානයෙන්  දැක්වේ) භාවිතා කරයි
  • කුඩා  <  විශාල

x/x\in\mathbb{R}\;;\;(3<x<8)

x/x\in\mathbb{R}\;;\;(-4\;\leq\;x<6)

x/x\in\mathbb{R}\;;\;(2\;\leq\;x\;<\;\infty)

x/x\in\mathbb{R}\;;\;(-\infty\;<\;x\;<-5)

x/x\in\mathbb{R}\;;\;(-\infty\;<\;x\;<\;3)\;\text{හෝ}\;(8<\;x\;<\infty)

සරල අසමානතා

• a, b තාත්වික විට ax + b ⋛ 0 යන්න සරල අසමානතාවක් ලෙස හැඳින්වේ.

\begin{array}{c}1.\;3x\;–\;1\;<11\;යන\;\text{අසමානතාව විසඳන්න}\;\;\;\\3x\;–\;1<11\;\\3x\;<\;12\;\\x\;\;<\;4\end{array}

 

 

 

\begin{array}{rcl}2.-5x+4\;&\leq&\;2-x\\2\;&\leq&\;4x\\4x\;&\geq&\;2\\x\;&\geq&\;0.5\end{array}

 

 

වර්ගජ  අසමානතාව

\begin{array}{rcl}E&=&(x+a)^2+b^2\;;\;b\neq0\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}(A)\end{array}

\begin{array}{rcl}E&=&(x+a)^2\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}(B)\\&&\end{array}

\begin{array}{rcl}E&=&(x+a)^2-b^2\xrightarrow{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}(C)\\&&\\E\;&=&\;(x+a-b)(x+a+b)\;\\&&\\E\;&=&\;(x\;-\;\alpha)(x\;-\;\beta)\;;\alpha\;\neq\;\beta\end{array}

E = x²+px+q වර්ගජ ශිතය A ආකාරයෙන් පවතී නම්,

\begin{array}{l}E=(x+a)^2+b^2\;\text{සැලකූවිට},\\(x+a)^2\geq0\;,b^2>0\;\text{සියලු x හි තාත්වික අගයන්ට},\\E=(x+a)^2+b^2>0\\E=x^2+px+q>0,\;E>0\end{array}

\begin{array}{rcl}(1).\;x^2+3x+9&\geq&0\;\text{විසඳන්න}\\&&\\x^2+3x+9&\geq&0\\&&\\\left(x+\frac32\right)^2+9-\frac94&\geq&0\\&&\\\left(x+\frac32\right)^2+\frac{27}4&\geq&0\;\text{සියලු x හි තාත්වික අගයන්ට,}\\x&\in&\mathbb{R}\end{array}

\begin{array}{rcl}\mathrm{(2)}.1–x-x^2&>&0\;\text{විසඳන්න}\\-1-x-x^2&>&0\\x^2+x+1&>&0\\\left(x+\frac12\right)^2-\frac14+1&<&0\\\left(x+\frac12\right)^2+\frac34&<&0\;\text{විසඳුම් නොපවතී.}\end{array}

E =x²+px+q වර්ගජ ශිතය B ආකාරයෙන් පවතී නම්,

\begin{array}{l}E=(x+a)^2\text{සැලකූ විට},\\x\;\text{හි සියලු තාත්වික අගයන්ට},\\(x+a)^2\geq0\;\text{වේ මෙහි සමානතාව ලැබෙන්නේ }x=-a\;\text{විටදීය}.\\\text{එනම් }x=-a\;\text{විටදී }x,0\;ට\;\text{සමාන වේද අනෙක සියලු අගයන් වලදී x ට විශාල අගයක් ලැබේ}.\;E>0\;\text{වේ}.\end{array}

\begin{array}{rcl}x^2-4x+4&>&0\;\text{විසඳන්න.}\\(x-2)^2-4+4&>&0\\(x-2)^2&>&0\\x&=&2\;\text{විට දී හැර අනෙක් සියලු අගයනට අසමානතාව නිවැරදි වේ}.\;\\x&\neq&2,\;x\in R\end{array}

\begin{array}{cccc}x^2-8x+16&&<&\text{0  විසඳන්න }\\(x+4)^2+16–16&&<&0\\(x+4)^2&&<&0\;\text{විසඳුම් නොපවතී}\;\end{array}

E =x²+px+q වර්ගජ ශිතය C ආකාරයෙන් පවතී නම්,

• E = (x+a)²– b²
• E = (x – α)(x – β),  α < β

• x = α විට දී සහ x = β විටදී E = 0 වේ.
• α, β E හි ශූන්‍ය ලක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.

{x<\;\alpha,\beta\;\text{නම්,}}

\begin{array}{c}\text{x – α හා x - β ඍණයි }\\\text{E = (x - α)(x - β)  > 0 }\\\text{එනම් E ධන වේ}\end{array}

{\alpha<x\operatorname{< }\beta\;\text{නම්,}}

\begin{array}{c}\text{x – α  ධනයි , x - β ඍණයි}\\\text{E = (x - α)(x - β)  < 0 }\\\text{එනම් E ඍණයි වේ}\end{array}

{\text{x > α , β}}

\begin{array}{c}\text{x – α  ධනයි, x – β  ධනයි}\\\text{E = (x - α)(x - β)  > 0}\\\text{එනම් E ධන වේ}\end{array}

උදා :-

\begin{array}{c}x^2-4x-1<0\\(x-2)^2-1–4<0\\(x-2)^2-5<0\\(x–2-\sqrt5)(x–2+\sqrt5)<0\\E=(x–2-\sqrt5)(x–2+\sqrt5)\;\text{ලෙසගමු}\\x=(2-\sqrt5),x=(2+\sqrt5)\;\text{විට }E=0\\\end{array}

\begin{array}{c}\\\therefore\left\{x/x\in\mathbb{R};(2-\sqrt5)<x<(2+\sqrt5)\right\}\end{array}

පරිමේය අසමානතා

• P_(x), Q_(x) x හි බහු පද වන ආකාරයේ P_(x), Q_(x)  පරිමේය ශිත ඇතුළත් අසමානතා පරිමේය අසමානතා ලෙස හඳුන්වයි.

 

 

\begin{array}{rcl}\;\frac{(3-2x)}3\;&\leq&\frac{(x-1)}2\;\\6\;–\;4x\;&\leq&\;3x\;-3\\7x&\geq&\;9\;\\x&\geq&\;\frac97\;\end{array}

 

\begin{array}{rcl}\therefore x/x&\in&\mathbb{R}\left(-\infty<x\leq\frac97\right)\end{array}

 

 

\begin{array}{rcl}\frac{(3x-1)}{(-2)}&<&x-1\\5x&>&3\;\;\\x&>&\frac35\end{array}

 

\begin{array}{rcl}&&\therefore\left\{x/x\in\mathbb{R};\left(\frac35<x<\infty\right)\right\}\end{array}

• අසමානතා 2ක් ඇති අවස්ථාවල අසමානතා 2 වෙන වෙනම සලකා විසඳිය යුතුය.

\begin{array}{rcl}-1&<&\frac{(2x+1)}3\leq2\end{array}

 

 

\begin{array}{rcl}-1\;&<&\;\frac{\;(2x+1)}3\\2x+1\;&>&-3\\x&>&-2\end{array}

A

 

\begin{array}{rcl}\frac{(2x+1)}2&\leq&2\\2x+1&\leq&6\\x&\leq&\frac52\end{array}

B

අදාළ පරාසය (A∩B) මඟින් ලැබේ

\therefore\left\{x/x\in\mathbb{R};\left(-2<x\leq\frac52\right)\right\}

5\;<\frac{(3-x)}2<\;1

 

 

\begin{array}{rcl}5\;&<&\frac{(3-x)}2\\x&<&-7\end{array}

A

 

\begin{array}{rcl}\frac{(3-x)}2&<&\;1\\x\;&>&\;1\end{array}

B

අදාළ පරාසය (A∩B) මඟින් ලැබේ

මෙහි පොදු පෙදෙසක් නොලැබේ. කිසිදු x අගයක් මෙය තෘප්ත නොකරයි.  අගය පරාසයක් නොපවතී.

ප්‍රස්ථාර භාවිතෙන් සමීකරණ විසඳිම

• x =a, x=b, x = c සහ x = d විට ඡේදනයවේ එනම් x හි එම අගයන් වලදී f_(x) = g_(x) වේ

 

 

\begin{array}{c}2x-3\;>\;x+1\;\\y=2x-3,\;y=x+1\;\\A\;\text{හිදී},\\x+1=2x-3\\x=4\;\\2x-3\;>\;x+1\;\text{වීම සඳහා},\;\;\\x>4\end{array}

 

 

 

\begin{array}{c}x^2-x-2\leq0\\x^2\leq x+2\\y=x^2,y=x+2\\A\text{හා }B\;\text{හීදී},\\x^2=x-2\\x^2-x-2=0\\(x-2)(x+1)=0\\x=-1\text{හෝ }x=2\\x^2\leq x+2\\-1\leq x\leq2\end{array}