ආසන්න වශයෙන් අවුරුදු 5000 ක් පැරණි බැබිලෝනියානු කියුනිෆෝම් ක්‍රමය ලොව පැරණිතම සංඛ්‍යා පද්ධති අතර ලා සැලකේ. එය 10 පාදයෙන් නිරූපණය වන හැටකට වඩා අඩු සංඛ්‍යාවක් සහිත 60-පාදයේ (සෙක්සිඩෙක්සිමල්) සංඛ්‍යා පද්ධතියක් විය. අඩු සංකේත සහිත විශාල සංඛ්‍යා ලිවීම සඳහා ස්ථානීය පද්ධතියක් ද ඔවුහු වර්ධනය කළහ. මෙම සංඛ්‍යා පද්ධතියේ ශුන්‍යය සඳහා සංකේතයක් නොවීය.
1. ගණින සංඛ්‍යා
- වස්තු හෝ ද්‍රව්‍ය ප්‍රමාණයක් ගණන් කිරීම සඳහා භවිතා කරන සංඛ්‍යා මෙලෙස හැඳින්වේ.
{1,2,3,…}
2. නිඛිල සංඛ්‍යා (ℤ)
- ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාත්, සෘණ පූර්ණ සංඛ්‍යාත්, ශූන්‍යයත් අඩංගු සංඛ්‍යා කුලකය මෙලෙස හැදින්වේ.
\mathbb{Z}=\left\{\;\dots-3,-2,-1\;,\;0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;\dots\;\right\}
මෙහි උප කුලක හතරකි,
- ධන නිඛිල (ℤ+)
- මෙය ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා කුලකය යි.
\mathbb{Z}^+\;=\left\{1\;,\;2\;,\;3\;,\;\dots\;\right\}
- සෘණ නිඛිල(ℤ–)
- මෙය සෘණ සංඛ්‍යාත්,ශූන්‍යත් අඩංගු කුලකය යි.
\mathbb{Z}^-\;=\left\{\dots-3,-2,-1\right\}
- ධන නොවන නිඛිල (ℤo–)
- මෙය සෘණ සංඛ්‍යාත්, ශූන්‍යත් අඩංගු කුලකය යි.
Z_o^-=\;\left\{\dots-3,-2,-1,0\right\}
- සෘණ නොවන නිඛිල(ℤo+)
- මෙය ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාත්, ශූන්‍යත් අඩංගු කුලකය යි.
Z_o^+=\left\{\;0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;...\;\right\}
3. පරිමේය සංඛ්‍යා (ℚ)
\mathbb{Q}=\left\{\frac pq:p,q\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z}^+\text{හා }\mathbb{Z}^-;p,q\;ට\;1\;\text{හැර පොදු සාධක නැත}\right\}
- උදා:- \frac45\;,\;-\frac37\;,\;4\frac41\;,\;-3\;,\;0
- මෙය ද නිඛිල වලදී මෙන් උප කුලක හතර කි.
\begin{array}{l}\mathbb{Q}^+=\text{ධන පරිමේය සංඛ්‍යා}\\\mathbb{Q}^-=\text{සෘණ පරිමේයසංඛ්‍යා}\\\mathbb{Q}_0^-=\text{ධන නොවන පරිමේය සංඛ්‍යා}\\\mathbb{Q}_0^+=\text{සෘණ නොවන පරිමේය සංඛ්‍යා}\end{array}
4. අපරිමේය සංඛ්‍යා (\displaystyle{\mathbb{Q}'})
- පරිමේය සංඛ්‍යා නොවන තාත්ත්වික සංඛ්‍යා මෙලෙස හැදින්වේ.
- \text{උදා:- }\pi\;,\;\frac1{\sqrt3}\;,\;{\small\sqrt5}
5. තාත්ත්වික සංඛ්‍යා (ℝ)
- පරිමේය සංඛ්‍යාත් , අපරිමේය සංඛ්‍යාත් හි එකතුව යි. මෙහිද උප කුලක හතරකි.
\begin{array}{l}\mathbb{R}^+=\text{ධන තාත්ත්වික සංඛ්‍යා}\\\mathbb{R}^-=\text{සෘණ තාත්ත්වික සංඛ්‍යා}\\\mathbb{R}_0^-=\text{ධන නොවන තාත්ත්වික සංඛ්‍යා}\\\mathbb{R}_0^+=\text{සෘණ නොවන තාත්ත්වික සංඛ්‍යා}\end{array}
6. අතාත්ත්වික සංඛ්‍යා (¢)
- \text{උදා:- }\sqrt{-5}\;,\;\sqrt{-3}\;,\;\sqrt{-8}
ගණක යන්ත්‍ර භාවිතා නොකර මෙහි අගය හොයන්න ඔයාලටත් පුළුවන්ද බලන්න.
\sqrt[3]{8+3\sqrt{21}}\;+\;\sqrt[3]{8-3\sqrt{21}}
තාත්ත්වික සංඛ්‍යා වල දශමය නිරූපණය
- සමහර තාත්ත්වික සංඛ්‍යා දශම සංඛ්‍යා ලෙස දැක්විය හැක.එම දශම සංඛ්‍යාව එම තාත්ත්වික සංඛ්‍යාවේ දශමය නිරූපණය නම් වේ.
- ධන භාග සංඛ්‍යා හා සෘණ භාග සංඛ්‍යා මෙයට අයත් අතර ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා ,සෘණ පූර්ණ සංඛ්‍යා හා ශූන්‍ය මෙයට අයත් නොවේ.
- දශම සංඛ්‍යා කොටස් දෙකකි.
- අන්ත දශම
- දශමස්ථාන ගණන නිශ්චිත දශම සංඛ්‍යා මෙයට අයත් වේ.
- උදා :- 4.65 , 0.568 , – 12.3527
- දශමස්ථාන ගණන නිශ්චිත දශම සංඛ්‍යා මෙයට අයත් වේ.
- අනන්ත දශම
- දශමස්ථාන ගණන අනන්තයක් වන දශම සංඛ්‍යා මෙයට අයත් වේ.
- උදා :- 2.3489… , -75.2537… , 3.3333… , -74.7777…
- දශමස්ථාන ගණන අනන්තයක් වන දශම සංඛ්‍යා මෙයට අයත් වේ.
- අන්ත දශම
- අනන්ත දශම කොටස් දෙකකි.
- සමාවර්ථ නොවන
- දශමස්ථානවල ඇති සංඛ්‍යාවලට ගණිතයානුකූල රටාවක් නොමැති අනන්ත දශම මෙයට අයත් වේ.
- උදා:-4.24378… , 11.347854946…
- දශමස්ථානවල ඇති සංඛ්‍යාවලට ගණිතයානුකූල රටාවක් නොමැති අනන්ත දශම මෙයට අයත් වේ.
- සමාවර්ථ
- දශමස්ථානවල ඇති සංඛ්‍යාවලට ගණිතයානුකූල රටාවක් ඇති අනන්ත දශම මෙයට අයත් වේ.
- උදා:-4.121212… , 3.124124… ,4.51343434…
- දශමස්ථානවල ඇති සංඛ්‍යාවලට ගණිතයානුකූල රටාවක් ඇති අනන්ත දශම මෙයට අයත් වේ.
- සමාවර්ථ නොවන
තාත්ත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව
- ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් ලක්ෂයක් මගින් සරල රේඛාවක් මත නිරූපණය කළ විට එම සරල රේඛාව තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව ලෙස හදුන්වයි.
- මෙහිදී සරල රේඛාවක් මත ලක්ෂයක් ලකුණු කර එම ලක්ෂය මගින් ශූන්‍ය නිරූපණය වේ යැයි සලකයි.
- එම ලක්ෂයෙන් දකුණු පැත්තේ රේඛාව මත ලක්ෂ මගින් ධන සංඛ්‍යාත්, වම් පැත්තෙන් සෘණ සංඛ්‍යාත් නිරූපණය වේ.
- මෙහිදී ශූන්‍ය නිරූපණය කරන ලක්ෂයේ සිට කිසියම් ලක්ෂයකට ඇති දුර මගින් එම ලක්ෂයට අදාල සංඛ්‍යාව නිරූපණය වේ.
සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තර
- සංතතික තාත්ත්වික සංඛ්‍යා කුලකයක් සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරයක් නම් වේ.
- ප්‍රධාන සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තර වර්ග හතර කි.(a,b තාත්ත්වික සංඛ්‍යා ද, a<b ද යැයි ගනිමු)
සංවෘත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරය
- a හා b අතර ඇති සියලු තාත්ත්වික සංඛ්‍යා ද a,b ද මෙයට අයත් වේ.
- [a,b] ලෙස මෙය දක්වයි.
විවෘත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරය
- a හා b අතර ඇති සියලුම සංඛ්‍යා මෙයට අයත් වේ.
- (a,b) ලෙස මෙය දක්වයි.
දකුණින් සංවෘත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරය
- a හා b අතර ඇති සියලුම සංඛ්‍යාත් bත් මෙයට අයත් වේ
- (a,b] ලෙස මෙය දක්වයි.
වමින් සංවෘත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරය
- a හා b අතර ඇති සියලුම සංඛ්‍යාත් aත් මෙයට අයත් වේ.
- [a,b) ලෙස මෙය දක්වයි.
අනන්තය(∞)
- “කෙළවරක් නැති” යන්න හැගවීම සඳහා අනන්ත යන පදය ගණිතයේදී යොදා ගනී.
- කෙළවරක් නැතිව වැඩි වේ යන්න හැගවීමට ධන අනන්තය (+∞) ද, කෙළවරක් නැතිව අඩූ වේ යන්න හැගවීමට සෘණ අනන්තය (-∞) ද ගනී.
- අනන්තය යනු සංකල්පයක් පමණක් නිසා ගණිතයේ දී අනීර්ණ ආකාර කිහිපයක් ඇති වේ.
- ∞/∞=???
- 0/∞=???
- ∞/0=???
- 0/0=???
- ∞-∞=???
- 0×∞=???
අපරිමිත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තර
- කිසියම් සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තරයක් ලිවීමේදී සෘණ අනන්තය හෝ ධන අනන්තය භාවිතා වේ නම් එවැනි සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තර අපරිමිත සංඛ්‍යා ප්‍රාන්තර ලෙස හදුන්වයි.
කරණි
- a – පරිමේය සංඛ්‍යාවකි.
- n – ධන නිඛිලයකි.
එවිට ,
\sqrt[n]{\text{a}}
ආකාරයේ නිශ්චිත සංඛ්‍යාත්මක අගයක් නැති සංඛ්‍යා කරණි නම් වේ.මේවා අපරිමේය සංඛ්‍යා වේ.
- ශුද්ධ කරණි
- අර්ථ දැක්වීමේ ආකාරයටම යුත් කරණි ශුද්ධ කරණි වේ.
\sqrt[3]7\text{ , }\sqrt[5]{11}
- මිශ්‍ර කරණි
- ශුද්ධ කරණි හා පරිමේය සංඛ්‍යා වල ගුණිත මඟින් සෑදේ.
\text{7}\sqrt{\text{3}}\text{ , 9}\sqrt{\text{7}}\text{ , 11}\sqrt{\text{13}}
- සංයුක්ත කරණි
- කරණි අඩංගු ඓක්‍යය හෝ අන්තර වේ.
\text{2+}\sqrt{\text{3}}\text{ , }\sqrt{\text{3}}\text{-}\sqrt{\text{5}}\text{ }
- සජාතීය කරණි
- එකම ශුද්ධ කරණියේ වෙනස් පරිමේය සංඛ්‍යා වල ගුණිත මඟින් සෑදෙන සංඛ්‍යා සජාතීය කරණි නම් වේ.
\text{5}\sqrt{\text{3}}\text{ , 7}\sqrt{\text{3}}\text{ , 11}\sqrt{\text{3}}
- විජාතීය කරණි
- වෙනස් ශුද්ධ කරණි වල හා වෙනස් පරිමේය සංඛ්‍යා වල ගුණිත මඟින් සෑදෙන කරණි වේ.
\text{7}\sqrt{\text{2}}\text{ , 5}\sqrt{\text{3}}\text{ , 6}\sqrt{\text{7}}
අපරිමේය සංඛ්‍යා පිළිබඳ ගණිත කර්ම
- අපරිමේය සංඛ්‍යා පිළිබඳව පහත ගණත කර්ම සිදු කළ හැක.
එකතු කිරීම :-
- මෙහිදී කරණි දෙක අතරට (+) ලකුණ යෙදීමෙන් එකතුව සංකේතවත් කරයි.එය හැකි පරිදි සුළු කිරීමෙන් පිළිතුර ගනී.
- eg:-
අඩු කිරීම :-
- මෙහිදී කරණි දෙක අතරට (-) ලකුණ යෙදීමෙන් අන්තරය සංකේතවත් කරයි. එය හැකි පරිදි සුළු කිරීමෙන් පිළිතුර ගනී.
- eg:-
ගුණ කිරීම :-
\sqrt{\text{3}}\text{×}\sqrt{\text{7}}\text{=}\sqrt{\text{21}}
කරණි අඩංගු භාග සංඛ්‍යාවක හරය පරිමේය කිරීම
- හරයේ කරණි පවතින ආකාරය අනුව මේ සඳහා ක්‍රම දෙකකි.
- කරණියක් හා නියතයක ගුණිතයක් පමණක් හරයේ ඇති විට කරණි සංඛ්‍යාවෙන් හරය හා ලවය ගුණ කිරීම
\text{උදා: }\frac{\text{3}}{\sqrt7}\text{ = }\frac{\text{(3}\sqrt{\text{7}}\text{)}}7
- කරණි දෙකක හෝ කරණියක් හා පූර්ණ සංඛ්‍යාවක අන්තරයක් හෝ ඓක්‍යයක් ඇති විට හරයේ ප්‍රතිබද්ධයෙන් හරය හා ලවය ගුණ කිරීම.
\begin{array}{rcl}\text{i.}\;\;\frac{1}{(3\sqrt2-\sqrt5)}&=&\frac{\displaystyle1}{(3\sqrt2-\sqrt5)}\times\frac{\left(3\sqrt2+\sqrt5\right)}{\left(3\sqrt2+\sqrt5\right)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&&\\&=&\frac{3\sqrt2+\sqrt5}{\left(3\sqrt2\right)^2-5}\\\\&=&\frac{3\sqrt2+\sqrt5}{13}\end{array}
\begin{array}{rcl}\text{ii.}\;\;\frac{\sqrt2}{\left(4+\sqrt6\right)}+\frac{1}{\left(\sqrt3+1\right)}+\frac{\sqrt3}{\left(\sqrt6-\sqrt3\right)}\;&=&\frac{\sqrt2\left(4-\sqrt6\right)}{\left(4+\sqrt6\right){\left(4-\sqrt6\right)}}+\frac{\sqrt3-1}{\left(\sqrt3+1\right){\left(\sqrt3-1\right)}}+\frac{\sqrt3\left(\sqrt6+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt6-\sqrt3\right){\left(\sqrt6+\sqrt3\right)}}\;\;\\[20px]&=&\frac{\sqrt2\left(4-\sqrt6\right)}{10}+\frac{\sqrt3-1}2+\frac{3\left(\sqrt2+1\right)}3\\&&\\&=&\frac{12\sqrt2-6\sqrt3+15\sqrt3-15+30\sqrt2+30}{30}\\&&\\&=&\frac{15+42\sqrt2+9\sqrt3}{30}\;\\&&\\&=&\frac{5+14\sqrt2+3\sqrt3}{10}\;\end{array}
“Number rules the universe.”
Pythagoras
