දිග මීටර් 1 ක් බැගින් වූ දඬු කැබලි 1000 ක් තිබෙනවා. එක් පුද්ගලයෙක් මෙම දඬු එකින් එක් ගෙන කොටස් දෙකකට කඩනවා. සෑම දණ්ඩක්ම වෙන් වන්නේ එකිනෙකට වෙනස් දිගවලිනුයි.
ඉහත සිද්ධිය සම්බන්ධව ඔබට ලැබෙන ගැටළු මේවායි.
1.දිගින් අඩු(දිග මීටර් 0.5 ට වඩා අඩු) දඬු කොටස්වල සාමාන්ය දිග කීයද?
2.දිගින් වැඩි දඬු කොටස්වල සාමාන්ය දිග කීයද?
3.දිගින් අඩු දඬු කොටස්වල සාමාන්යය හා දිගින් වැඩි දඬු කොටස්වල සාමාන්යය අතර අනුපාතය කීයද?
ඉඟිය :- 1 හා 2 කොටස් පහසුවෙන් විසඳන්න පුළුවන්. 3 කොටසේ පිළිතුර ලබා ගැනීමට අනුකලනය භාවිත කළ යුතු වෙනවා.
1.ගැටළුවේ දී ඇති ප්රකාශයට අනුව දිගින් අඩු දඬු කොටසේ දිග මීටර් 0.5 ට වඩා අඩු විය යුතුයි.
ඒ අනුව කුඩා දඬු කැබලිවල දිග මීටර් 0 සිට මීටර් 0.5 දක්වා පරාසයක පවතිනවා.
ඒ අනුව, කුඩා දඬු කැබලිවල සාමාන්ය දිග මීටර් 0.25 ක් පමණ විය යුතුයි.
2.කුඩා දඬු කැබැල්ලක සාමාන්ය දිග මීටර් 0.25 ක් නම් දිගින් වැඩි දඬු කැබැල්ලක සාමාන්ය දිග මීටර් 0.75 ක් විය යුතුයි.
3.කුඩා දඬු කැබැල්ලක සාමාන්ය දිග මීටර් 0.25 ක් හා දිගින් වැඩි දඬු කැබැල්ලක සාමාන්ය දිග 0.75 ක් විට,
\begin{array}{rcl}සාමාන්ය\;දිග\;අතර\;අනුපාතය&=&\frac{0.25}{0.75}\\&=&\frac13\\&=&0.333\end{array}
මෙය නිවැරදි පිළිතුර නොවේ.
දැන් නිවැරදිව අනුපාතය සොයන ආකාරය බලමු.
මීටර් 1 ක් දිග දණ්ඩ X ලක්ෂ්යයකදී කොටස් 2 ට වෙන් වේ යැයි සිතමු.
X, 0 සහ 0.5 අතර ඇති විට, දිගින් අඩු කැබැල්ලේ දිග x හා දිගින් වැඩි කැබැල්ලේ දිග 1 – x වේ.
එවිට,\begin{array}{rcl}අනුපාතය&=&\frac x{1-x}\end{array}
X, 0.5 සහ 1 අතර ඇති විට, දිගින් අඩු කැබැල්ලේ දිග 1 – x හා දිගින් වැඩි කැබැල්ලේ දිග x වේ.
එවිට,\begin{array}{rcl}අනුපාතය&=&\frac{1-x}x\end{array}
ඉහත ලබා ගත් අනුපාතයන් අනුකලනය කර නිවැරදි අනුපාතය ලබා ගන්න පුළුවන්.
\begin{array}{rcl}අනුපාතය&=&\int_0^{0.5}\frac x{1-x}\operatorname d{x+\int_{0.5}^1\frac{1-x}x\operatorname dx}\\I&=&-\int_0^{0.5}\frac{1-x-1}{1-x}\operatorname d{x+\int_{0.5}^1\frac{1-x}x\operatorname dx}\\&=&-\int_0^{0.5}\left(1-\frac1{1-x}\right)\operatorname d{x+\int_{0.5}^1\left(\frac1x-1\right)\operatorname dx}\\&=&\int_{0.5}^0\operatorname d{x-\int_{0.5}^0\frac1{1-x}\operatorname dx}+\int_{0.5}^1\frac1x\operatorname d{x-\int_{0.5}^1\operatorname dx}\\&=&\left[x\right]_{0.5}^0-\left[\ln\left(1-x\right)\right]_{0.5}^0+\left[\ln\left(x\right)\right]_{0.5}^1-\left[x\right]_{0.5}^1\\&=&\left\{0-\frac12\right\}-\left\{\ln\left(1-0\right)-\ln\left(1-\frac12\right)\right\}+\left\{\ln1-\ln\frac12\right\}-\left\{1-\frac12\right\}\\&=&-\frac12-\left\{0-\ln\left(\frac12\right)\right\}+\left\{0-\ln\left(\frac12\right)\right\}-\frac12\\&=&-2\;\ln\frac12-1\\&=&2\;\ln2-1\end{array}
\begin{array}{rcl}අනුපාතය&=&2\;\ln2-1\\&=&1.3862-1\\&=&0.3862\end{array}
නිවැරදි අනුපාතය 1/3 ට වඩා කුඩා අගයකින් විශාල වේ.
