ටිකක් වෙනස් විදියක සාධනයක් කරමුද? බලන්න ඔයාලට පුලුවන්ද කියලා 1 සිට අනන්තය දක්වා පූර්ණ සංඛ්‍යා වල එකතුව -\frac1{12} ට සමාන කරන්න.
ඒ කියන්නේ 1+2+3+4+5+…=-\frac1{12} කියලා ඔප්පු කරන්න.
මේ සුප්‍රකට සාධනය සොයා ගැනීමේ ගෞරවය හිමි වෙන්නේ ඉන්දීය ගණිතඥයෙක් වන රාමානුජන් ට.
බැලූ බැල්මට මෙහෙම ඍණ අගයක් එන්න බෑ කියලා හිතුණට ටිකක් වෙනස් විදියකට හිතල බැලුවොත් මේක ඔප්පු කරන්න පුළුවන්.
ඒකට ශ්‍රේණි කිහිපයක පද අනන්තය ක එකතුව වැදගත් වෙනවා.
මුලින්ම S1=1-1+1-1+1-1.…….ශ්‍රේණියේ පද අනන්තය එකතුව සලකමු. අපි කවුරුත් දන්නා විදියට හිතුවොත් S1= 1 හෝ 0 බව දැක ගන්න පුළුවන්.නමුත් මෙහිදී මෙම සාධනයට අපි ඒක \frac12 ට සමානයි කියල ඔප්පු කරගන්න ඕන.
S1=1-(1-1+1-1+1..……) මේ ආකාරයට වරහනින් පිටතට (-) ලකුණක් අරගෙන දකුණු පැත්තෙත් අපිට අවශ්‍ය S1 පදය හදාගන්න පුළුවන්.
\begin{array}{rcl}S_1\;&=&\;1\;-\;S_1\\2S_1\;&=&\;1\\\;S_1&=&\;\frac12\end{array}දැන් අපි තවත් ශ්‍රේඪියක එකතුව සලකා බලමු.
\begin{array}{rcl}\;\;S_2&=&1-2+3-4+5-6+7-8\dots\dots\dots.\end{array}දැන් S1 න් S2 අඩුකරමු.
\begin{array}{rcl}S_1-S_{2\;}&=&\;1-1+1-1+1-1+1\dots..-(1-2+3-4+5-6+7-8\dots..)\;\;\;\;\\S_1-S_{2\;}&=&\;0+(1-2+3-4+5-6+\dots.)\;\;\;\;\;\;\\S_1-S_2\;&=&0+S_2\\S_2\;&=&\;\frac{S_1}2\;=\;\frac14\end{array}දැන් අපි හොයන්න යන ශ්‍රේණියේ එකතුව S3 =1+2+3+4+5+6+7+…….. හොයන්න අවශ්‍ය දත්ත හොයාගෙන ඉවරයි…..
දැන් S2 න් S3 අඩු කරමු.
\begin{array}{rcl}S_2-S_3&=&(1-2+3-4+5-6+\dots\dots.)-(1+2+3+4+5+6+\dots\dots..)\;\;\;\;\;\;\\\;S_2-S_3&=&0-4+0-8+0-12+0\dots\dots..\end{array}දැන් දකුණු පසින් (-4) ක් ඉවතට ගනිමු.
\begin{array}{rcl}S_2-S_3&=&–4(1+2+3+4+5+6+\dots\dots)\;\;\;\;\;\;\\S_2-S_3&=&–4\;S_3\;\;\;\;\;\;\;\\S_2&=&–3S_3\\S_3\;&=&\;\left(-\frac13\right)\;\times\;\left(\frac14\right)\end{array}S3 හි අගය -\frac1{12} බව දැන් ඔප්පු වෙනවා නේද?
