02.08.00 – ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය

• සංයුක්තය ගණිතය 1 (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න ව්‍යුහය A කොටසේ කෙටි ප්‍රශ්න  1 වැනි ගැටළුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

• පළමු ධන නිඛිල  සඳහා සත්‍ය බව දන්නා ගණිතමය ප්‍රතිඵලයක් සාධනය කිරීමට ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය භාවිතා කරයි.

• ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය මඟින් ප්‍රතිඵලයක් සහ සාධනය කිරීමේදී සාදන පියවර 4කි
  1. nහි මූලික අවස්ථාවට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව සාධනය කරයි.
  2. n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව උපකල්පනය කරයි.
  3. උපකල්පිත ප්‍රතිඵලය භාවිතා කර n=p+1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව ප්‍රකාශ කරයි.
  4. මුල් ධන නිඛිල nට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව ප්‍රකාශ කරයි.

• මෙම මූලධර්මයට සම්බන්ධ මූලික සිද්ධාන්ත කරුණු  ඉහත පියවරයන් වන අතර ගැටළු සාධනය කරන ආකාර පිලිබඳව විමසා බලමු.

නිදර්ශනය – 01

n\in\mathbb{Z}^+\;\text{විට}\;1+2+3+4+….+n=\frac n2\left(n+1\right)\;\text{බව පෙන්වන්න.} 

n=1 විට,

LHS=1\;\;\text{හා}\;\;RHS=\frac12\left(1+1\right)
∴ n=1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ 

n=p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය වන බව උපකල්පනය කරමු.

n=p විට,

1+2+3+4+….+p=\frac p2\left(p+1\right)

දෙපසටම (p+1)ක්  එකතු කරමු.

1+2+3+4+…+p+\left(p+1\right)=\frac p2\left(p+1\right)+\left(p+1\right)

=\frac12\left(p+1\right)\left(p+2\right) =\left(p+1\right)\lbrack(p+1)+1\rbrack\frac12

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.

∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

 මෙම ගැටළුවේදී මීට හිමිවන ලකුණු 25,බෙදීයන ආකාරය සලකා බලමු.

• මෙහි n ධන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වන විට 1,2,3,… ලෙස n දක්වා අනුක්‍රමයෙන් අගය වැඩිවන සංඛ්‍යා ශ්‍රේණියක පද සියල්ලේ එකතුව \frac n2\left(n+1\right) බව පෙන්විය යුතුය.
• පළමු පියවර වනුයේ මෙහි nහි අගය 1 නම් මෙම ප්‍රකාශය සත්‍ය බව පෙන්වීමය. එහිදී  වම්පස හා දකුණුපස වෙන වෙනම සුළු කර අගයන් සමාන බව පෙන්වයි. මෙම ප්‍රකාශනයේ දකුණුපස n සඳහා 1 ආදේශ කර පහත පරිදි සුළු කරයි.
• ඉන්පසු අප මෙහිදී nහි අගය p නම් අගයකට ආදේශ කර උපකල්පනයක් සිදු කරමු. එය මෙසේ ලියා දැක්විය යුතුය.
• මෙහිදී n වෙනුවට p ආදේශ වේ. ඒ අනුව 1 සිට p දක්වා ක්‍රමයෙන් අගය වැඩි වන සංඛ්‍යා පරාසයක සංඛ්‍යාවල ඓක්‍යය \frac p2\left(p+1\right)න් ලැබෙන බව උපකල්පනය කරයි.
• ඉන්පසු මෙය ලෙසින් ඉහත  උපකල්පනයේම තවත් පියවරක් ඉදිරියට යයි.  ඉහත ප්‍රකාශනය අනුව ඓක්‍යය \frac{\left(p+1\right)}2\left[\left(p+1\right)+1\right]න් ලැබිය යුතුය.
• දැන් ඉහත අප සිදුකළ උපකල්පනයේ දෙපසටම (p+1) බැගින් එකතු කරමු.
• එවිට වම්පස 1+2+3+4+….+p+(p+1) ලෙසින් 1 සිට (p+1) දක්වා සංඛ්‍යාවන්හි ඓක්‍යය ලබාගැනීම නිරූපණය වේ. දැන් අප දකුණුපස \frac{\left(p+1\right)}2\left[\left(p+1\right)+1\right] වන සේ සුළු කරමු.

=\left(p+1\right)\frac p2\;+\;\left(p+1\right)

• මෙහි (p+1) පොදු සාධකයක් ලෙස පිටට ගනිමු.

\begin{array}{rcl}&=&\left(p+1\right)\left(\frac p2+1\right)\\&=&\frac{\left(p+1\right)\left(p+2\right)}2\end{array}

• මෙහි (p+2) යන්න [(p+1)+1] ලෙසින් ගත හැකිය.

=\frac{\left(p+1\right)}2\left[\left(p+1\right)+1\right]

ඒ අනුව මෙය n=(p+1) ට  සත්‍ය වේ.

මෙය n=1 විට සත්‍ය වේ. n=p ට සත්‍ය බව උපකල්පනය කළ විට n=p+1 ට  ප්‍රකාශනය  සත්‍ය වේ. ගණිත  අපභ්‍යුහන මූලධර්මය අනුව ඉහත  ප්‍රකාශනය සත්‍ය වේ. 

ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය පළමු පත්‍රයේ  ලකුණු 25ක ගැටලුවේ ලකුණු බෙදී යන අයුරු

• ඔබ n=1 ට ආදේශ කර වම් පස හා දකුණු පස සමාන බව පෙන්වා ඒ බව ප්‍රකාශ කිරීමට ලකුණු 5කි.
• ඉන්පසු n=p ට උපකල්පනය එය ලියා පෙන්විය යුතුය. ඒ සඳහා තවත්  ලකුණු 5කි.
• ඉන්පසු (p+1) ට ප්‍රකාශනය ආදේශ කර එය සුළු කර අවසානයේ අවස්ථාවට අදාළ ප්‍රකාශනය ලබා ගැනීමටත් ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව ඉහත ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව ප්‍රකාශ කිරීමටත් පිළිවෙළින් ලකුණු 5 බැගින් ලකුණු 15 කි.

නිදර්ශනය – 02

n\in\mathbb{Z}^+\;\text{විට},\;1^2+2^2+3^2+4^2+….+n^2=\frac n6\left(n+1\right)\left(2n+1\right)‍‍‍\text{බව පෙන්වන්න.}

n = 1 විට,

\begin{array}{rcl}LHS\;&=&\;1^2\;=\;1\\RHS\;&=&\;\frac16\left(1+1\right)\left(2\times1+1\right)\;=\;1\end{array}

                              ∴ n = 1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ          (ලකුණු 5)

n = p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය වන බව උපකල්පනය කරමු.

n = p විට, 

               1^2+2^2+3^2+4^2+….+p^2\;=\;\frac p6\left(p+1\right)\left(2p+1\right)                    (ලකුණු 5)

දෙපසටම \left(p+1\right)^2 ක් එකතු කරමු.

\begin{array}{rcl}1^2+2^2+3^2+4^2+….+p^2+\left(p+1\right)^2\;&=&\;\frac p6(p+1)(2p+1)\;+\;\left(p+1\right)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\footnotesize{\color{red}\text{(ලකුණු 5)}}}\\[4px]&=&\;\frac{\left(p+1\right)}6\left[p\left(2p+1\right)+6\left(p+1\right)\right]\\[4px]&=&\;\frac{\left(p+1\right)}6\left[2p^2+7p+6\right]\\[4px]&=&\;\frac{\left(p+1\right)}6\left(p+2\right)\left(2p+3\right)\\[4px]&=&\;\frac{\left(p+1\right)}6\left[\left(p+1\right)+1\right]\left[2\left(p+1\right)+1\right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\footnotesize{\color{red}\text{(ලකුණු 5)}}}\end{array}

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.
∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. (ලකුණු 5)

දැන් අපි  මෙම ගැටලුව විසඳමු. මෙහි 1 සිට n දක්වා සංඛ්‍යා අනුක්‍රමයක  එක් එක් සංඛ්‍යාවේ  වර්ග පදවල ඓක්‍යය \frac n6\left(n+1\right)\left(2n+1\right) න් ලැබෙන බව  පෙන්විය යුතුය.

• මෙහිදී පිළිවෙලින් n=1 ට ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව ද, ඉන්පසු n=p ට සත්‍ය බව උපකල්පනය ද සිදු කරයි.
• මෙම පියවර ද්විත්වය ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය ශ්‍රිත සියලුම ගණනයන්ට පොදු වේ. සුළු කිරීම් සහිත තෙවන පියවරේ දී මෙය වෙනස් වේ.
• මෙම ගැටලුවේ දෙපසටම (p+1)² එක් කරමු. එවිට වම්පසින් 1 සිට (p+1) දක්වා සංඛ්‍යාවල වර්ගයන්ගෙ එකතුව අප ලබාගන්නා බව නිරූපණය වේ.
• දැන් දකුණු පස සුළු කරමු. මෙහි පොදු සාධකයක් ලෙස \frac{\left(p+1\right)}6 ක් පිටට ගනිමු.

=\frac{\left(p+1\right)}6\left[\;p\left(2p+1\right)+6\left(p+1\right)\;\right]

• ඉන්පසු කොටු වරහන් ඇතුළත ප්‍රකාශනය සරල වීජීය ප්‍රකාශන සුළු කිරීමේ දැනුමෙන් සුළු කරමු.

=\frac{\left(p+1\right)}6\left[2p^2+7p+6\;\right]

• එවිට අපට වර්ගඡ ප්‍රකාශනයක් ලැබේ. මේ අය දැන් අපට සාධක දෙකක ගුණිතයක් ලෙස ලිවිය හැකිය.

\frac{\left(p+1\right)}6\left(p+2\right)\left(2p+3\right)

• මෙහි  (2p+3)→[2(p+1)+1]  හා  (p+2)→[(p+1)+1]  ලෙසින් ලිවිය හැකිය.

ඒ අනුව ඉහත  ප්‍රකාශනය ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය අනුව සත්‍ය වේ.

මෙම ඒකකයට අදාල සියලු ගැටලුවලදී මූලික අවස්ථාවට සත්‍ය බව පෙන්වීම හා n=pවිට සත්‍ය බව උපකල්පනය කරන පියවරයන් එකම ආකාරයට සාධනය කිරීම් සිදුවන අතර තුන්වෙනි පියවර  සාධනය පමණක් ආකාර කීපයක් යටතේ ගැටලුවෙන් ගැටළුවට වෙනස් වේ. එම ආකාරයන්ට අදාල නිදර්ශන සලකා බලමු.

නිදර්ශනය – 03

n\in\mathbb{Z}^+\;\text{සඳහා}\;f\left(n\right)=3^{2n}+7\;\text{වේ.}\;f\left(n\right),\;8\text{න් බෙදෙන බව පෙන්වන්න.}

n=1 විට,

f\left(1\right)\;=\;3^{2\times1}+7\;=\;9+7\;=\;16\;=\;8\times2

8×2 හරියටම 8න් බෙදෙයි. f\left(1\right), 8න්  බෙදෙයි. 
∴ n=1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

n=p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය වන බව උපකල්පනය කරමු.

f(p)=3^2p+7=8k\;\;\;\;\;\;\;\text{මෙහි}\;k\in\mathbb{Z}^+

n=p+1 විට, 

\begin{array}{rcl}f\left(p+1\right)\;&=&\;3^{2\left(p+1\right)}\;+\;7\\&=&\;3^2\times3^{2p}\;+\;7\\&=&\;9\left(\;3^{2p}\;+\;7\;\right)\;-\;56\\&=&\;9\times8k\;-\;87\\&=&\;8\left(\;9k\;-\;7\;\right)\end{array}

        k\in\mathbb{Z}^+                ∴ 8(9k-7) හරියටම 8න් බෙදෙයි. f(p+1), 8න්  බෙදෙයි. 
                                         ∴ n=p+1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.

∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

• මෙම ගැටලුවේ ද පළමු පියවර දෙක පෙර පරිදිමය. තෙවන පියවර වෙත යොමු වෙමු.
• මෙහි දැන් n=p+1 අවස්ථාව සලකමු.

f\left(p+1\right)=3^{2\left(p+1\right)}+7

• මෙහි දකුණු පස සලකමු. තුන්වන පාදය 2(p+1) වූ දර්ශකයක් ඇත. දර්ශක පිළිබඳ දැනුම අනුව අපට එකම පාදය සහිත වෙනස් බලයන් ඇති දර්ශක දෙකක් ගුණිතයේ දී අදාළ බලයන් එකතු කිරීමෙන් පිළිතුර ලබා ගත හැක.               

a^b\times a^c=a^{\left(b+c\right)}

• ඒ අනුව,     3^{2p+2}\;+\;7\;=\;3^2\;\times\;3^{2p}
• දැන් මෙම ප්‍රකාශනයේ දෙපසටම \;9\times7\; යන පදය එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම එකවර සිදු කරමු.

\begin{array}{l}=\;9\;\left(3^{2p}\right)\;+\;\left(9\times7\right)\;-\;\left(9\times7\right)\;+\;7\\=\;9\;\left(3^{2p}+7\right)\;-\;7\;\times\;\left(9-1\right)\end{array}

• මෙහි අප පෙර සිදුකළ උපකල්පනය අනුව,

\begin{array}{l}=f(p)-(7\times8)\\=8k-(7\times8)\;\;\;\;\;\;\;\text{මෙහි}\;k\in\mathbb{Z}^+\end{array}

• මෙහි f(p) යන පදය 8න් බෙදෙන බව අප උපකල්පනය කර ඇත. (7×8) ද 8න් බෙදේ. ඒ අනුව ඉහත ප්‍රකාශනය n=p+1 ට සත්‍ය වේ.

නිදර්ශනය – 04

n\in\mathbb{Z}^+\;\text{සඳහා}\;f\left(n\right)=10^{2n}+2\times10^{2n-1}+1\;\text{වේ}.
\;\;f(n),\;\;11\text{න් බෙදෙන බව පෙන්වන්න.}

n=1 විට,

11×11 හරියටම 11න් බෙදෙයි. f(1), 11න්  බෙදෙයි. 
∴ n=1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ

n=p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය වන බව උපකල්පනය කරමු.

\begin{array}{rcl}f\left(p\right)&=&10^{2p}+2\times10^{2p-1}+1\\&=&\;11k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{මෙහි}\;k\in\mathbb{Z}^+\end{array}

n=p+1 විට, 

\begin{array}{rcl}f\left(p+1\right)\;&=&\;10^{2\left(p+1\right)}+2\times10^{2\left(p+1\right)-1}+1\\&=&\;100\times10^{2p}+2\times100\times10^{2p-1}+1\\&=&\;100\left(10^{2p}+2\times10^{2p-1}+1\right)-99\\&=&\;100\times11k-9\times11\\&=&\;11\left(100k-9\right)\end{array}

               k\in\mathbb{Z}^+                 ∴ 11(100k-9) හරියටම 11න් බෙදෙයි. 11න් බෙදෙයි. 
                                                      ∴ n = p+1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.
∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

• මෙහිද ද පෙර පියවර දෙක එලෙසමය. n=1 ට සත්‍ය බව පෙන්වීම ද n=p විටදී උපකල්පනය ද සිදු කරයි.
• දැන් මෙම ප්‍රකාශනය n=p+1 ද අවස්ථාව සඳහා සලකා බලමු.
• මෙහිදී ද දර්ශක දැනුම අනුව එකම පාදය සහිත බලයන් ගුණ කිරීමේ දී දර්ශක එකතු වේ.

a^b\times a^c\;=\;a^{\left(b+c\right)}

• ඒ අනුව,

\begin{array}{rcl}&=&\;10^{2p+2}\;+\;2\times10^{2p+1}\;+\;1\\&=&\;10^{2p+2}\;+\;2\times10^{2\left(p-1\right)+2}\;+\;1\\&=&\;10^2\times10^{2p}\;+\;2\times10^2\times10^{2p-1}+1\end{array}

දැන් 10² පොදුවේ පිටට ගනිමු.

=10²(10^2p+2×10^2p-1)+1

දැන් 10²එකතු කිරීම හා අඩු කිරීම එකවර සිදු කරමු.

\begin{array}{l}=10^2(10^{2p}+2\times10^{2p-1})+10^2+1-10^2\\=10^2(10^{2p}+2\times10^{2p-1}+1)-99\end{array}

මෙහිදී පෙර සිදුකළ උපකල්පනයන්ට අනුව,

\begin{array}{l}\mathrm f(\mathrm p)=10^{2p}+\times10^{2p-1}+1\\\mathrm f(\mathrm p+1)=100\times\mathrm f(\mathrm p)-(9\times11)\end{array}

f(p) යන ප්‍රකාශනය 11න් බෙදෙන බව  උපකල්පනය කර ඇත. (9×11) ද 11න් බෙදේ. n = p+1 අවස්ථාවට ඉහත ප්‍රකාශනය සත්‍ය වේ.            

නිදර්ශනය – 05

\mathrm r\in\mathbb{Z}^+\mathrm{සඳහා}\;\frac1{r!}\leq\frac1{2^{r-1}}\;\;\mathrm{බව}\;\mathrm{පෙන්වන්න}.

r=1 විට,                               

\begin{array}{rcl}\mathrm{LHS}&=&\frac1{1!}=1\\\mathrm{RHS}&=&\frac1{2^{1-1}}=1\\1&=&1\end{array}

                                             ∴ r=1 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ 

r=p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය වන බව උපකල්පනය කරමු.

\begin{array}{rcl}\frac1{\mathrm p!}&\leq&\frac1{2^{\mathrm p-1}}\rightarrowⒶ\\\mathrm p&\in&\mathbb{Z}^+\;\;\;\;\;\;\therefore\mathrm p+1\geq2\\\frac1{\mathrm p+1}&\leq&\frac12\rightarrowⒷ\\&&Ⓐ\timesⒷ\mathrm{අනුව},\\\frac1{\mathrm p!}\times\frac1{\mathrm p+1}&\leq&\frac12\times\frac1{2^{\mathrm p-1}}\\\frac1{\mathrm (p+1)!}&\leq&\frac1{2^{\mathrm p}}\\\frac1{(\mathrm p+1)!}&\leq&\frac1{2^{\mathrm (p+1)-1}}\end{array}

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.

∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

නිදර්ශනය – 06

x₁=1, x₂=2

\begin{array}{rcl}n&=&3,4,5,\dots.\mathrm{සඳහා}\;x_n=\frac12\lbrack x_{n-2}+x_{n-1}\rbrack\;\mathrm{ලෙසගනිමු}.\;\lbrack x_n-x_{n+1}\rbrack=\frac1{2^{n-1}}\;\mathrm{බවපෙන්වන්න}\end{array}

n=3 විට, 

\begin{array}{rcl}\;x_3&=&\frac12\lbrack x_{3-2}+x_{3-1}\rbrack\\&=&\;{\frac12\lbrack x_1+x_2\rbrack}\\&=&{\frac12\lbrack1+2\rbrack}\\&=&\frac32\end{array}

 n=4 විට,

\begin{array}{rcl}\;x_4&=&\frac12\lbrack x_{4-2}+x_{4-1}\rbrack\\&=&\;{\frac12\lbrack x_2+x_3\rbrack}\\&=&{\frac12\lbrack2+\frac32\rbrack}\\&=&\frac74\end{array}

n=3 විට,

\begin{array}{rcl}LHS&=&\vert x_3-x_{3+1}\vert=\vert x_3-x_4\vert=\vert\frac32-\frac74\vert=\frac14\\RHS&=&\frac1{2^{3-1}}=\frac1{2^2}=\frac14\end{array}

∴ n=3 විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

n=p විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍යය බව උපකල්පනය කරමු.

\begin{array}{rcl}\vert x_p-x_{p+1}\vert&=&\frac1{2^{p-1}}\end{array}

n=p+1 විට,

\begin{array}{rcl}\left|x_{p+1}-x_{p+2}\right|&=&\left|x_{p+1}-\frac12(x_p+x_{p+1\;})\right|\\&=&\left|\frac12(x_{p+1}-x_p)\right|\\&=&\frac12\left|(x_p-x_{p+1})\right|\\&=&\frac12\times\frac1{2^{p-1}}\\&=&\frac1{2^p}\\&=&\frac1{2^{(p+1)-1}}\end{array}

n=p විට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ නම්, n=p+1 විටද ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ. n=1ට ප්‍රතිඵලය සත්‍ය බව පෙන්වා දී ඇත.

∴ ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මයට අනුව  සඳහා ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.

• කලින් සඳහන් කළ නිදසුන් වල ආකාරයටම n = 1 අවස්ථාව සඳහා සත්‍ය බව ද, n=p, (p∈ℤ⁺)අවස්ථාවේදී   ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව උපකල්පනයද සිදුකළ යුතුය.

• දැන් n=p+1 ආදේශ කරමු.

• එවිට |x_p+1-x_p+2| ප්‍රකාශනය ලැබේ.

• ප්‍රශ්නයේ දී ඇති දත්ත වලට අනුව මෙහි, \begin{array}{rcl}x_{p+2}&=&\frac12\left[x_{(p+2)-2}+x_{(p+2)-1}\right]\;\end{array} වේ.

\begin{array}{rcl}x_{p+2}&=&\frac12\left[x_p+x_{p+2}\right]\;\end{array}

• මාපාංකයක අගය සෑම විටම ධන අගයක් වේ.  එම නිසා මාපාංක ඇතුලත ඇති පද මාරු වීමෙන් ලැබෙන පිළිතුර වෙනසක් ඇති නොවේ.  තවද මාපාංක තුල පවතින ධන සාධක සංඛ‍යා පිටතට ගෙන ලිවිය හැක​.

• එවිට,

\begin{array}{rcl}\left|\frac12(x_{p+1}-x_p)\right|\;&=&\;\frac12\left|x_p-x_{p+1}\right|\end{array} ලෙස ලිවිය හැක.

• මුලින් කළ උපකාර උපකල්පනයට අනුව,

\begin{array}{rcl}\left|x_p-x_{p+1}\right|\;&=&\frac{\;1}{2^{p-1}}\end{array}

• එවිට,  \begin{array}{rcl}\left|x_{p+1}-x_{p+2}\right|\;&=&\frac12\times\frac1{2^{p-1}}\end{array}

• දර්ශක නීති වලට අනුව පාදය සමාන වූ විට ගුණ කිරීමේ දී ඒවායේ බලයන් එකතුවේ.

• එවිට, \begin{array}{rcl}\left|x_{p+1}-x_{p+2}\right|\;&=&\;\frac1{2^p}\end{array}

\begin{array}{rcl}\vert x_{p+1}-x_{(p+1)+1)}\vert&=&\frac1{2^{(p+1)-1}}\end{array}

 

“Induction is the Glory of Science but the Scandal of Philosophy”.
C.D.Broad