- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්රශ්න පත්රයේ B කොටසේ(රචනා ප්රශ්න) 13 වැනි ගැටළුවෙහි මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.
ස්විස් ජාතික ගණිතඥයෙකු වූ Johann Bernoulli (1667–1748) විසින් හඳුන්වා දුන් භින්න භාග පිළිබඳ සංකල්පය මුල් අවදියේ කලනයේ විකාශයේදී බෙහෙවින් උපකාරී විය. ඔහු විසින් ප්රථම වරට 1702 දී භින්න භාග පිළිබඳ සංකල්පය ඉදිරිපත් කලේ අනුකලනය කිරීමේ ක්රමයක් ලෙසිනි.
පරිමේය ශ්රිත
- හරයට විචල්යක් පවතින ශ්රිත පරිමේය ශ්රිත ලෙස හැදින් වේ.
උදා :- \frac{3x-1}{x^2-4} - බහුපද ශ්රිත දෙකක් අතර අනුපාතයක් පරිමේය ශ්රිතයක් ලෙස හැදින්විය හැක.
භින්න භාග
- විශාල පරිමේය ශ්රිතයක් සරලතම පරිමේය ශ්රිතයන්ට වෙන් කිරීම භින්න භාග වෙන් කිරිම ලෙස හැදින්වේ.
- එසේ වෙන්කරනු ලබන සරල පරිමේය ශ්රිතයන් භින්න භාග කොටස් ලෙස හැදින්වේ.
භින්න භාග ගැටළු විසදිමේ ආකාර
හරය හැකිතරම් සාධක වෙන් කර සුලු කර ගෙන අදාල ගැටලු ආකාරය තීරණය කරන්න.
- හරයේ මාත්රය > ලවයේ මාත්රය වන සහ හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක් නැති ගැටළු
- හරයේ මාත්රය > ලවයේ මාත්රය වන සහ හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක් ඇති ගැටළු(හරයේ පුනරාවර්තන සාධක ඇති ගැටළු)
- හරයේ මාත්රය ≤ ලවයේ මාත්රය වන ගැටළු
1. හරයේ මාත්රය > ලවයේ මාත්රය වන සහ හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක් නැති ගැටළු
පියවර-
- හරයේ සාධක ගණනට සමාන භින්න භාග සංඛ්යාවක් ලැබෙන අතර, එම භින්න භාගවල හරයන් හරයේ සාධකම වේ.
- හරයේ වරහන තුල ඇති පදයේ මාත්රයට එකක් අඩු මාත්රයක සාදාරණ ශ්රිතයක් ලවයට ලියන්න
- ගැටලුවේ හරයෙන් සෑම පදයක්ම ගුණ කරන්න.
- ප්රකාශන දෙකක් සමාන බැවින් සංගුණක සමාන කිරීමෙන් හෝ අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් නියත සෙවිය හැක.
\frac{Ax+B}{\left(x-a\right)\left(x^2+b\right)\left(x-c\right)}=\frac C{(x-a)}+\frac{Dx+E}{\left(x^2+b\right)}+\frac F{(x-c)}
උදා :-
- \begin{array}{rcl}\frac{5x+7}{x^2+4x+3}&=&\frac{5x+7}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}\\[4px]&=&\frac A{\left(x+3\right)}+\frac B{\left(x+1\right)}\\[4px]&=&\frac{A\times\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\times\left(x+1\right)}+\frac{B\times\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\times\left(x+3\right)}\\[4px]&=&\frac{A\left(x+1\right)+B(x+3)}{\left(x+3\right)\times\left(x+1\right)}\end{array}
\begin{array}{l}5x+7=A\left(x+1\right)+B\left(x+3\right)=x\left(A+B\right)+A+3B\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,}\;\\x\;\rightarrow\;A+B=5\\\text{නියත පදය}\;\rightarrow\;A+3B=7\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් ,}\\A=4\;\text{හා}\;B=1\;\end{array}
\frac{5x+7}{x^2+4x+3}=\frac A{\left(x+3\right)}+\frac B{\left(x+1\right)}=\frac4{\left(x+3\right)}+\frac1{\left(x+1\right)}\\
- \begin{array}{rcl}\frac{1-7x}{x^3+4x}&=&\frac{1-7x}{x\left(x^2+4\right)}\\[4px]&=&\frac Ax+\frac{Bx+C}{\left(x^2+4\right)}\\[4px]&=&\frac{A\times\left(x^2+4\right)}{x\times\left(x^2+4\right)}+\frac{\left(Bx+C\right)\times x}{\left(x^2+4\right)\times x}\\[4px]&=&\frac{A\left(x^2+4\right)+\left(Bx+C\right)\times x}{x\times\left(x^2+4\right)}\end{array}
\begin{array}{l}1-7x\;=\;A\left(x^2+4\right)+\left(Bx+C\right)x\;=\;x^2\left(A+B\right)+Cx+4A\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්, }\\x^2\;\rightarrow\;A+B=0\;\\x\;\rightarrow\;C=-7\;\\\text{නියත පදය }\rightarrow\;4A=1\;\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් ,}\;\\A=\frac14\;,\;B=\frac{-1}4\;\text{හා}\;C=-7\end{array}
\frac{1-7x}{x^3+4x}=\frac Ax+\frac{Bx+C}{\left(x^2+4\right)}=\frac1{4x}+\frac{\left({\frac{-1}4}\;x\right)+\left(-7\right)}{x^2+4}=\frac1{4x}-\frac{\left(x+28\right)}{4\left(x^2+4\right)}\\
2. හරයේ මාත්රය > ලවයේ මාත්රය වන සහ හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක් ඇති ගැටළු(හරයේ පුනරාවර්තන සාධක ඇති ගැටළු)
පියවර –
- හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක්ඇති පද භින්න භාග වෙන් කිරීමේදී එම බලයේ සිට එහි පළමුවෙනි බලය දක්වා භින්න භාග කොටස් ලැබේ.
- ඉතිරි ඒවා සාමාන්ය පරිදි භින්න භාග වෙන් වෙයි.
- ගැටලුවේ හරයෙන් සෑම පදයක්ම ගුණ කර පෙර ක්රම වලට අනුව නියත සොයන්න.
\frac{Ax+B}{\left(x-a\right)\left(x^2+b\right)\left(x-c\right)^2}=\frac C{\left(x-a\right)}+\frac{Dx+E}{\left(x^2+b\right)}+\frac F{\left(x-c\right)}+\frac G{\left(x-c\right)^2}
උදා :-
- \begin{array}{rcl}\frac{5x+3}{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}&=&\frac{5x+3}{{\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)}}\\[4px]&=&\frac A{\left(x+1\right)}+\frac B{\left(x-1\right)}+\frac C{\left(x-1\right)^2}\\[4px]&=&\frac{A\times\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\times\left(x-1\right)^2}+\frac{B\times\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\times\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{C\times\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2\times\left(x+1\right)}\\[4px]&=&\frac{A\left(x-1\right)^2+B\left(x+1\right)\left(x-1\right)+C\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\times\left(x-1\right)^2}\end{array}
\begin{array}{l}5x+3\;=\;A(x-1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x+1)\;=\;x^2(A+B)+x(-2A+C)+A-B+C\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්, }\\x^2\;\rightarrow\;A+B=0\;\\x\;\rightarrow\;-2A+C=5\;\\\text{නියත පදය}\;\rightarrow\;A-B+C=3\;\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් , }\\A=\frac{-1}2\;,\;B=\frac12\;\text{හා}\;C=4\end{array}
\frac{5x+3}{\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)}=\frac{-1}{2\left(x-1\right)}+\frac1{2\left(x-1\right)}+\frac4{\left(x-1\right)^2}
- \begin{array}{rcl}\frac1{x^2\left(x+3\right)}&=&\frac A{x^2}+\frac Bx+\frac C{\left(x+3\right)}\\[4px]&=&\frac{A\times\left(x+3\right)}{x^2\times\left(x+3\right)}+\frac{B\times x\left(x+3\right)}{x\times x\left(x+3\right)}+\frac{C\times x^2}{\left(x+3\right){\times}{{ x}^2}}\\[4px]&=&\frac{A\times\left(x+3\right)+B\times x\left(x+3\right)+C\times x^2}{x^2\times\left(x+3\right)}\end{array}
\begin{array}{l}1\;=\;A(x+3)+Bx(x+3)+Cx^2\;=\;x^2(C+B)+(3B+A)x+3A\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,}\;\\x^2\;\rightarrow\;C+B=0\;\\x\;\rightarrow\;3B+A=0\;\\\text{නියත පදය}\;\rightarrow\;3A=1\;\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් ,}\\A=\frac13\;,\;B=\frac{-1}9\;\text{හා}\;C=\frac19\end{array}
\frac1{x^2\left(x+3\right)}=\frac1{3x^2}+\frac1{9x}+\frac4{9\left(x+3\right)}
3. හරයේ මාත්රය ≤ ලවයේ මාත්රය වන ගැටළු
පියවර-
- හරයේ සහ ලවයේ මුළු මාත්ර වෙනස බලා එම මාත්ර වෙනසට සමාන සාදාරණ ශ්රිතයක් ලියාගන්න.
- හරයේ සාධකවල වරහනට පිටතින් බලයක් පැවතීම හෝ නොපැවතීම අනුව පෙර ගැටළු ආකාරයටම භින්න භාග වෙන් කරන්න.
- හරයේ වරහන තුල ඇති පදයේ මාත්රයට එකක් අඩු මාත්රයක සාදාරණ ශ්රිතයක් ලවයට ලියන්න.
- ගැටලුවේ හරයෙන් සෑම පදයක්ම ගුණ කර පෙර ක්රම වලට අනුව නියත සොයන්න.
\frac{Ax^3+Bx+C}{\left(x-a\right)\left(x+b\right)}=\left(Dx+E\right)+\frac F{\left(x-a\right)}+\frac G{\left(x+b\right)}
උදා :-
- \\\begin{array}{rcl}\frac{x^3+6x}{x^2-1}&=&\frac{x^3+6x}{\left(x-1\right){\left(x+1\right)}}\\[4px]&=&Ax+B+\frac C{\left(x-1\right)}+\frac{D}{\left(x+1\right)}\\[4px]&=&\frac{\left(Ax+B\right){\times}{\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)}}{1\times\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{C\times\left(x+1\right)}{\left(x-1\right){\times}{\left(x+1\right)}}+\frac{D\times\left(x-1\right)}{\left(x+1\right){\times}{\left(x-1\right)}}\\[4px]&=&\frac{\left(Ax+B\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+C\left(x+1\right)+D\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\end{array}
\begin{array}{l}x^3+6x\;=\;(Ax+B)(x-1)(x+1)+C(x+1)+D(x-1)\;=\;Ax^3+Bx^2+(C-A+D)x-D-B+C\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්, }\;\\x^3\;\rightarrow\;A=1\;\\x^2\;\rightarrow\;B=0\;\\x\;\rightarrow\;C-A+D=6\;\\\text{නියත පදය}\;\rightarrow\;-D-B+C=0\;\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් ,}\;\\A=1\;,\;B=0\;,\;C=\frac72\;\text{හා}\;D=\frac72\end{array}
\frac{x^3+6x}{x^2-1}=x+\frac7{2(x-1)}+\frac{7}{2\left(x+1\right)}\\
- \begin{array}{rcl}\frac{x^4+5x+1}{x^2-1}&=&\frac{x^4+5x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\\[4px]&=&Ax^2+Bx+C+\frac D{\left(x-1\right)}+\frac E{\left(x+1\right)}\\[4px]&=&\frac{\left(Ax^2+Bx+C\right)\times\left(x-1\right)\left(x+1\right)\;}{1\times\left(x-1\right)\left(x+1\right)\;}+\frac{D\times\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\times\left(x+1\right)}+\frac{E\times\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\times\left(x-1\right)}\\[4px]&=&\frac{\left(Ax^2+Bx+C\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+D(x+1)+E(x-1)\;}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\end{array}
\begin{array}{l}x^4+5x+1\;=\;(Ax^2+Bx+C)(x-1)(x+1)+D(x+1)+E(x-1)\;=\;Ax^4+Bx^3+(C-A)x^2+(-B+D+E)x+D-E-C\\[4px]\text{සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,}\\x^4\;\rightarrow\;A=1\\x^3\;\rightarrow\;B=0\\x^2\;\rightarrow\;C-A=0\\x\;\rightarrow\;-B+D+E=5\\\text{නියත පදය}\;\rightarrow\;D-E-C=1\\\text{සමගාමී සමීකරණ විසදිමෙන් , }\\A=1\;,\;B=0\;,\;C=1\;,\;D=\frac72\;\text{හා}\;E=\frac32\end{array}
\begin{array}{c}\frac{x^4+5x+1}{x^2-1}=x^2+1+\frac7{2\left(x-1\right)}+\frac3{2\left(x+1\right)}\end{array}
\begin{array}{c}\frac{x^4+5x+1}{x^2-1}=x^2+1+\frac7{2\left(x-1\right)}+\frac3{2\left(x+1\right)}\end{array}
වැදගත්
- භින්න භාග වෙන් කිරීමේදී නියත සෙවීම සදහා සංගුණක සමාන කිරීමේ ක්රමය වඩාත් නිවැරදි වේ.
- භින්න භාග වෙන් කිරීමේදී අවශ්ය නම් පහත ආකාරයට අගයන් ආදේශ කිරීමේ ක්රමයද භාවිත කල හැක.
උදා-:
\begin{array}{rcl}\frac{5x+7}{x^2-4x+3}&=&\frac{5x+7}{\left(x-3\right){\left(x-1\right)}}\\[4px]\;&=&\frac A{\left(x-3\right)}+\frac B{\left(x-1\right)}\\[4px]\;&=&\frac{A\left(x-1\right)+B\left(x-3\right)}{\left(x-3\right){\left(x-1\right)}}\end{array} \begin{array}{l}5x+7\;=\;A(x-1)+B(x-3)\\X=1\;;\;5(1)+7\;=\;A(1-1)+B(1-3)\;=-2B\;\rightarrow\;B=-6\\X=3\;;\;5(3)+7\;=\;A(3-1)+B(3-3)\;=\;2A\;\rightarrow\;A=11\end{array}\frac{5x+7}{x^2-4x+3}=\frac{11}{\left(x-3\right)}-\frac6{\left(x-1\right)}
මෙසේ නියත සෙවීමේදී එක් එක් වරහන් 0 සමාන වන x අගයන් පවතීනම් ඒවා ආදේශ කර පහසුවෙන් නියත සෙවිය හැක.
“Mathematics is the queen of science, and arithmetic the queen of mathematics.”
– Carl Friedrich Gauss
