සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්රශ්න පත්රයේ B කොටසේ (රචනා ප්රශ්න) 12 වැනි ගැටලුවෙහි (b) කොටසේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
ශ්රේණි පිළිබද සංකල්පය ඉතා ඈත අතීතයට දිව යන්නක්.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) යනු ජර්මානු ජාතික ගණිතඥයෙක්. කුඩා ගවුස් ට පාසැලේදී තාම ගුරුවරිය විසින් දෙනු ලැබූ පෑවරුමකට පිළිතුරු සෙවීමේදී මෙම ශ්රේණිවල ඓක්යය සෙවීමේ සිද්ධාන්ත බිහි වූවා යැයි සැලකේ. ගුරුතුමිය ගේ අභියෝගය වුණේ 1 සිට 100 දක්වා සංඛ්යා වල එකතුව සෙවීමයි.
ගවුස්ගේ පිළිතුර:
පද සියල්ලේම එකතුව S කියලා හිතමු.
මුලින්ම 1 සිට 50 දක්වා සංඛ්යා වල එකතුව පිළිබදව අවධානය යොමු කරමු. එය පහත ආකාරයට ලියන්න පුළුවන් නේද? එය S1 කියල හිතමු.
S1=1+2+3+4+…+49+50 ————–(1)
දැන් 51 සිට 100 දක්වා සංඛ්යා ත් මේ විදියටම හැබැයි අවරෝහණ පටිපාටියට ලියා ගන්න ඕන.එතකොට ලැබෙන අගයත් S2 කියලා හිතමු.
S2 =100+99+98+….+52+51 ————-(2)
දැන් 1 හා 2 සමීකරණ එකතු කරමු.මෙතනදි සිදු වෙන දේ පේනවා නේද? හැම පදයක් ම 101 වෙනවා. ඔක්කොම පද 50 ලැබෙනවා. දැන් මුළු එකතුව (S) 101×50 ට සමාන බව පෙනෙනවා නේද?
ලැබුණ\;පද\;ගණන(50)\;=\;\frac{100(ශ්රේණියේ\;මුළු\;පද\;ගණන)}2
අපි හැමෝම දන්න, සමාන්තර ශ්රේඪියක පද n ගණනක ඓක්යය සොයන්න භාවිතා කරන S=\frac{n(n+1)}2 සූත්රය බිහිවුණේ ඒ විදියට.
- පිළිවෙලකට සකසන ලද සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක එකතුව ශ්රේණියක් නම් වේ.
- ශ්රේණියක පද ගණන පරිමිත වේ නම් එවැනි ශ්රේණි පරිමිත එකතුවක් සහිත ශ්රේණි ලෙස සැලකේ.
සිග්මා අංකනය
- එකතුවක් හකුලා ලිවීමට සිග්මා අංකනය භාවිතා කරයි.
උදා:
\sum_{r=1}^5r^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2සිග්මා අංකනයේ ගුණ
Ur හා Vr යනු r හි ශ්රිත දෙකක් නම්,
\begin{array}{l}1.\sum_{r=1}^n\left(U_r+V_r\right)=\sum_{r=1}^nU_r+\sum_{r=1}^nV_r\\\\2.\sum_{r=1}^n\left(U_r-V_r\right)=\sum_{r=1}^nU_r-\sum_{r=1}^nV_r\\\\3.\sum_{r=1}^nkU_r=k\sum_{r=1}^nU_r\;\text{(k නියතයක් විට)}\\\\4.\sum_{r=1}^nU_rV_r\neq\sum_{r=1}^nU_r\sum_{r=1}^nV_r\\\\5.\sum_{r=1}^n\frac{U_r}{V_r}\neq\frac{\sum_{r=1}^nU_r}{\sum_{r=1}^nV_r}\end{array}සමාන්තර ශ්රේණි
- ශ්රේණියක එක් එක් පදයේ හා ඊට පසු පදයේ වෙනස නියතයක් නම් එවැනි ශ්රේණියක් සමාන්තර ශ්රේණියක් ලෙස සැලකේ.
- කිසියම් සමාන්තර ශ්රේණියක පළමු පදය a ද පොදු අන්තරයd ද යැයි ගනිමු. ශ්රේණියේ r වන පදයට ප්රකාශනයක් පහත පරිදි ගත හැක.
පළමු පදය = a = a+(1-1)d
දෙවන පදය = a+d = a+(2-1)d
තෙවන පදය = a+2d = a+(3-1)d
සිව්වන පදය = a+3d = a+(4-1)d
r වන පදය== a+(r-1)d
\thereforeසමාන්තර ශ්රේණියක පොදු පදය = a+(r-1)d
- මෙය සාධනය කිරීමක් අවශ්ය නොවේ.
පළමු පදය a හා අවසන් පදය l වන පද n ප්රමාණයක් ඇති පොදු අන්තරය d වූ සමාන්තර ශ්රේණියක පදවල ඓක්යය Sn නම්,
Sn = a + (a+d) + (a+2d) + …. + (l-2d) + (l-d) + l \rightarrow(1)
Sn = l + (l-d) + (l-2d) + …. + (a+2d) + (a+d) + a \rightarrow(2)
(1)+(2) =>
2Sn = (a+l) + (a+l) + (a+l) + …. + (a+l) + (a+l) + (a+l)
2Sn = n(a+l)
\begin{array}{rcl}S_n&=&\frac n2\left(a+l\right)\\l&=&a+\left(n-1\right)d\;\text{නිසා,}\\S_n&=&\frac n2\left(a+a+\left(n-1\right)d\right)\\S_n&=&\frac n2\left(2a+\left(n-1\right)d\right)\end{array}ගුණෝත්තර ශ්රේණි
- ශ්රේණියක එක් එක් පදය හා ඊට පසු පදය අතර අනුපාතය නියතයක් නම් එවැනි ශ්රේණියක් ගුණෝත්තර ශ්රේණියක් ලෙස සැලකේ.
- කිසියම් ගුණෝත්තර ශ්රේණියක මුල් පදය a සහ පොදු අනුපාතය x වේ යැයි ගනිමු. එම ශ්රේණියේ r වන පදය සදහා ප්රකාශනයක් පහත පරිදි ලබා ගත හැක.
පළමු පදය = a = ax1-1
දෙවන පදය = ax = ax2-1
තෙවන පදය = ax2 = ax3-1
\thereforer වන පදය = = axr-1
\thereforeගුණෝත්තර ශ්රේණියක පොදු පදය = axr-1
- පළමු පදය a වූ පද n ප්රමාණයක් ඇති පොදු අනුපාතය r වන ගුණෝත්තර ශ්රේණියක පදවල ඓක්යය Sn නම්,
Sn = a+ ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 \rightarrow(1)
rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 + arn \rightarrow(2)
(2)-(1) =>
(r-1) Sn = arn – a
(r-1) Sn = a(rn – 1)
r-1\neq0 විට,
S_n=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}r-1 = 0 විට,
Sn = a + a + a + … + a
Sn = na
\frac1{1+\sqrt2}+\frac1{\sqrt2+\sqrt3}+\frac1{\sqrt3{+}{\sqrt4}}+\frac1{\sqrt4{+}{\sqrt5}}+…+\frac1{\sqrt{2020}+\sqrt{2021}}=4041
ශ්රේණියේ ඓක්ය එකවර ලියන්න ඔයාටත් පුළුවන්ද?
උදා: \frac4{1.2.3}\left(\frac13\right)+\frac5{2.3.4}\left(\frac13\right)^2+\frac6{3.4.5}\left(\frac13\right)^3+…ශ්රේණියේ පද n හි ඓක්යය සිග්මා අංකනයෙන් ලියා දක්වන්න.
4, 5, 6, … Tr = r+3
1, 2, 3, … Tr = r
2, 3, 4, … Tr = r+1
3, 4, 5, … Tr = r+2
\begin{array}{l}\therefore U_r(\text{r වන පදය})=\frac{r+3}{r\left(r+1\right)\left(r+2\right)}\left(\frac13\right)^r\\\\\therefore\text{පද n හි ඓක්යය=}\sum_{r=1}^n\frac{r+3}{r\left(r+1\right)\left(r+2\right)}\left(\frac13\right)^r\end{array}\begin{array}{rcl}&&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r\end{array}ශ්රේණියේ ඓක්යය සෙවීම
ක්රමය 1
\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r=1+2+3+…+\mathrm n(පොදු අන්තරය 1 වූ සමාන්තර ශ්රේණියක්)
\begin{array}{rcl}&=&\frac n2\lbrack2\times1+(n-1)\times1\rbrack\\&=&\frac n2(n+1)\end{array}ක්රමය 2
මෙම සාධනය සදහා මෙම පාඩමේම ඉදිරි කොටසකදී යෙදෙන සිද්ධාන්තයක් භාවිතා වේ.
\begin{array}{rcl}\mathrm r^2-\left(\mathrm r-1\right)^2&=&2\mathrm r-1\\\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left[\mathrm r^2-\left(\mathrm r-1\right)^2\right]&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left[2\mathrm r-1\right]\end{array}f(r) = r2 ලෙස ගත් විට f(r-1) = (r-1)2
\begin{array}{rcl}&&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^2\end{array}ශ්රේණියේ ඓක්යය සෙවීම.
මෙම සාධනය සදහා මෙම පාඩමේම ඉදිරි කොටසකදී යෙදෙන සිද්ධාන්තයක් භාවිතා වේ.
\begin{array}{rcl}\mathrm r^3-\left(\mathrm r-1\right)^3&=&3\mathrm r^2-3\mathrm r+1\\\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left[\mathrm r^3-\left(\mathrm r-1\right)^3\right]&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left(3\mathrm r^2-3\mathrm r+1\right)\end{array}f(r) = r3 ලෙස ගත් විට f(r-1) = (r-1)3
\begin{array}{rcl}\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left[\mathrm f\left(\mathrm r\right)-\mathrm f\left(\mathrm r-1\right)\right]&=&3\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^2-3\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r+\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}1\end{array}
\begin{array}{rcl}&&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^3\end{array}ශ්රේණියේ ඓක්යය සෙවීම.
මෙම සාධනය සදහා මෙම පාඩමේම ඉදිරි කොටසකදී යෙදෙන සිද්ධාන්තයක් භාවිතා වේ.
\begin{array}{rcl}\mathrm r^2\left(\mathrm r+1\right)^2-\left(\mathrm r-1\right)^2\mathrm r^2&=&4\mathrm r^3\\\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left[\mathrm r^2\left(\mathrm r+1\right)^2-\left(\mathrm r-1\right)^2\mathrm r^2\right]&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}4\mathrm r^3\end{array}f(r) = r2(r+1)2 ලෙස ගත් විට f(r-1) = (r-1)2r2
උදා:
1.\begin{array}{rcl}&&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r\left(2\mathrm r+3\right)\end{array} හි අගය ඉහත ගොඩනැගූ සූත්ර භාවිතයෙන් සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r\left(2\mathrm r+3\right)&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\left(2\mathrm r^2+3\mathrm r\right)\\&&\\&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}2\mathrm r^2+\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}3\mathrm r\\&&\\&=&2\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^2+3\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r\\&&\\&=&2\times\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)\left(2\mathrm n+1\right)}6+3\times\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)}2\\&&\\&=&\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)\left(4\mathrm n+11\right)}6\end{array}2.\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}2\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)\left(\mathrm r+2\right) හි අගය ඉහත ගොඩනැගූ සූත්ර භාවිතයෙන් සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}2\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)\left(\mathrm r+2\right)\\&&\\&=&\overset{\mathrm n}{\underset{\mathrm r=1}{\sum\lbrack}}2\mathrm r^3+6\mathrm r^2+4\mathrm r\rbrack\\&&\\&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}2\mathrm r^3+\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}6\mathrm r^2+\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}4\mathrm r\\&&\\&=&2\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^3+6\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r^2+4\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}\mathrm r\\&&\\&=&2\times\frac{\mathrm n^2\left(\mathrm n+1\right)^2}4+6\times\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)\left(2\mathrm n+1\right)}6+4\times\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)}2\\&&\\&=&\frac{\mathrm n\left(\mathrm n+1\right)\left(\mathrm n+2\right)\left(\mathrm n+3\right)}2\end{array}“Mathematics is the art of giving the same name to different things”
-Henri Pioncare-
