- අන්තර ක්‍රමය ආකාර 2 කි.
1. ඍණ ලෙස අන්තර ක්‍රමය
2. ධන ලෙස අන්තර ක්‍රමය
ඍණ ලෙස අන්තර ක්‍රමය
ශ්‍රේණියේ පොදු පදය වන Ur යන්න Ur = f(r) – f(r-1) වන පරිදි f(r) ශ්‍රිතයක් සෙවිය හැකි නම් ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය පහත ලෙස ගත හැක.
ශ්‍රේණියේ පොදු පදය වන Ur යන්න Ur = f(r) – f(r-2) වන පරිදි f(r) ශ්‍රිතයක් සෙවිය හැකි නම් ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය පහත ලෙස ගත හැක.
මෙලෙසම Ur = f(r) – f(r-3) , Ur = f(r) – f(r-4), … ආදී ලෙසත් අන්තර ක්‍රමය ගත හැක.
ධන ලෙස අන්තර ක්‍රමය
ශ්‍රේණියේ පොදු පදය වන Ur යන්න Ur = f(r) – f(r+1) වන පරිදි f(r) ශ්‍රිතයක් සෙවිය හැකි නම් ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය පහත ලෙස ගත හැක.
ශ්‍රේණියේ පොදු පදය වන Ur යන්න Ur = f(r) – f(r+2) වන පරිදි f(r) ශ්‍රිතයක් සෙවිය හැකි නම් ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය පහත ලෙස ගත හැක.
මෙලෙසම Ur = f(r) – f(r+3) , Ur = f(r) – f(r+4), … ආදී ලෙසත් අන්තර ක්‍රමය ගත හැක.
උදා:
1.1.2 + 2.5 + 3.8 + …… ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
1, 2, 3, … Tr = r
2, 5, 8, … Tr = 2+(r-1)3 = 3r-1
Ur = r(3r-1) = 3r2-r
*ඍණ ලෙස අන්තර ක්‍රමය මගින් විසදීම.
f(r) = Ar3+Br2+Cr+D
f(r-1) = A(r-1)3+B(r-1)2+C(r-1)+D
f(r) – f(r-1) = A[r3-(r-1)3]+B[r2-(r-1)2]+C[r-(r-1)]+D-D
3r2-r = A(3r2-3r+1)+B(2r-1)+C
සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
* ධන ලෙස අන්තර ක්‍රමය මගින් විසදීම.
f(r) = Ar3+Br2+Cr+D
f(r+1) = A(r+1)3+B(r+1)2+C(r+1)+D
f(r) – f(r+1) = -A(3r2+3r+1) + B(-2r-1) – C
3r2-r = -A(3r2+3r+1) – B(2r+1) – C
සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
2.\frac1{1.2.3}+\frac1{2.3.4}+\frac1{3.4.5}+…ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
3.{\textstyle\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}}\frac{2\mathrm r+1}{\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)\left(\mathrm r+2\right)} හි අගය සොයන්න.
\begin{array}{rcl}U_r&=&\frac{\displaystyle2\mathrm r+1}{\displaystyle\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)\left(\mathrm r+2\right)}\\U_r&=&\mathrm f\left(\mathrm r\right)-\mathrm f\left(\mathrm r+1\right)\\\frac{\displaystyle2\mathrm r+1}{\displaystyle\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)\left(\mathrm r+2\right)}&=&\frac{\mathrm{Ar}+\mathrm B}{\mathrm r\left(\mathrm r+1\right)}-\frac{\mathrm A\left(\mathrm r+1\right)+\mathrm B}{\left(\mathrm r+1\right){\displaystyle\left(\mathrm r+2\right)}}\\2\mathrm r+1&=&\left(\mathrm{Ar}+\mathrm B\right)\left(\mathrm r+2\right)-\mathrm{Ar}\left(\mathrm r+1\right)-\mathrm{Br}\end{array}සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
4.\frac{1^4+1^2+1}{1^4+1}+\frac{2^4+2^2+2}{2^4+2}+\frac{3^4+3^2+3}{3^4+3}+… ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
5.\begin{array}{rcl}&&{\textstyle\sum_{\mathrm r=1}^\infty}\frac1{\left(\mathrm r+1\right)!}\end{array} ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය සොයන්න
6.\begin{array}{rcl}&&\sum_{\mathrm r=1}^\infty\frac{\mathrm r+3}{\left(\mathrm r+1\right)!}\end{array} ශ්‍රේණියේ ඓක්‍යය සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm r+3}{\left(\mathrm r+1\right)!}&=&\frac{\mathrm A}{\mathrm r!}+\frac{\mathrm B}{\left(\mathrm r+1\right){\displaystyle!}}\\\mathrm r+3&=&\mathrm A\left(\mathrm r+1\right)+\mathrm B\end{array}සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
\begin{array}{l}\left[r^1\right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[r^{0\;}\right]\\1=A\;\;\;\;\;\;3=A+B\\A=1\;\;\;\;\;\;B=2\end{array} \begin{array}{rcl}\frac{r+3}{\left(r+1\right)!}&=&\frac1{r!}+\frac2{\left(r+1\right){\displaystyle!}}\\&&\\S&=&\sum_{r=1}^\infty\frac{r+3}{\left(r+1\right){\displaystyle!}}\\&&\\&=&\sum_{r=1}^\infty\frac{\displaystyle1}{\displaystyle r!}+\frac{\displaystyle2}{\displaystyle\left(r+1\right)!}\\&&\\&=&\sum_{r=1}^\infty\frac{\displaystyle1}{\displaystyle r!}+\sum_{r=1}^\infty\frac{\displaystyle2}{\displaystyle\left(r+1\right)!}\\&&\\&=&(e-1)+2(e-2)\\&&\\&=&3e-5\end{array}7.\frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+… ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
\begin{array}{rcl}U_r&=&\frac r{\left(r+1\right)!}\\&=&\frac{r+1-1}{\left(r+1\right)!}\\&=&\frac1{r!}-\frac1{\left(r+1\right)!}\end{array}
8.\frac5{1.2}\left(\frac13\right)+\frac7{2.3}\left(\frac13\right)^2+\frac9{3.4}\left(\frac13\right)^3+……ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
U_r=\frac{2r+3}{r(r+1)}\left(\frac13\right)^r \begin{array}{rcl}\frac{2r+3}{r\left(r+1\right)}&=&\frac Ar+\frac B{r+1}\\2r+3&=&A(r+1)+Br\end{array}A=3 B=-1
\begin{array}{rcl}U_r&=&\left[\frac3r-\frac1{r+1}\right]\left(\frac13\right)^r\\&&\\U_r&=&\frac1r\left(\frac13\right)^{r-1}-\frac1{r+1}\left(\frac13\right)^r\\&&\\f\left(r\right)&=&\frac1r\left(\frac13\right)^{r-1}\;\text{විට }\end{array}
9.\frac1{1.3}+\frac1{3.5}+\frac1{5.7}+……ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය සොයන්න.
එනයින් \frac{1^2}{1.3}+\frac{{\displaystyle2}^2}{3.5}+\frac{3^2}{5.7}+… ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය අපෝහනය කරන්න.
\begin{array}{rcl}&&{U_r=\frac1{\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}}\\\frac1{\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}&=&\frac A{2r-1}+\frac B{2r+1}\\1&=&A(2r+1)+B(2r-1)\end{array}.
A=\frac12\;\;\;\;B=-\frac12.
\begin{array}{l}\therefore U_r=\frac1{2(2r-1)}-\frac1{2(2r+1)}\\f(r)=\frac1{2(2r-1)}\;\text{විට }\end{array}
දී ඇැති අනෙක් ශ්‍රේණියේ පොදු පදය V_r යයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}V_r&=&\frac{r^2}{\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\\&=&\frac{4r^2}{4\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\\&=&\frac14+\frac1{4\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\end{array} \begin{array}{rcl}\therefore\sum_{r=1}^nV_r&=&\sum_{r=1}^n\left(\frac14+\frac1{4\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\right)\\&&\\&=&\sum_{r=1}^n\frac14+\sum_{r=1}^n\frac1{4\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\\&&\\&=&\frac14\sum_{r=1}^n1+\frac14\sum_{r=1}^n\frac1{\left(2r-1\right)\left(2r+1\right)}\\&&\\&=&\frac14n+\frac14\left(\frac12-\frac1{2\left(2n+1\right)}\right)\\&&\\&=&\frac n4+\frac18-\frac1{8\left(2n+1\right)}\end{array}10.4+44+444+4444+…ශ්‍රේණියේ පද n හි ඓක්‍යය Sn නම්, බව සාධනය කරන්න.
\begin{array}{l}{\mathrm U}_{\mathrm r}=4444…(\mathrm{පදrඇත})\\=4+40+400+4000+…(\mathrm{පොදු}\;\mathrm{අනුපාතය}10\;\;\mathrm{වූ}\;\mathrm{ගුණෝත්තර}\;\mathrm{ශ්‍රේණියක්})\\=\frac49\left(10^{\mathrm r}-1\right)\end{array}n=1 විට,
\begin{array}{l}\mathrm L.\mathrm H.\mathrm S.=4\;,\;\;\mathrm R.\mathrm H.\mathrm S.=\frac4{81}\times81\\\therefore\mathrm L.\mathrm H.\mathrm S.=\mathrm R.\mathrm H.\mathrm S.\end{array}n=1 ට සත්‍ය වේ.
n=p ට සත්‍ය යැයි ගනිමු.\mathrm p\in\mathbb{Z}^+
{\textstyle\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm p}}\frac49\left(10^{\mathrm p}-1\right)=\frac4{81}\left(10^{\mathrm p+1}-9\mathrm p+10\right)\leftarrow\left(1\right)n=p+1 විට,
\begin{array}{rcl}\mathrm L.\mathrm H.\mathrm S.&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm p+1}\frac49\left(10^{\mathrm p}-1\right)\\&&\\&=&\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm p}\frac49\left(10^{\mathrm p}-1\right)+\frac49\left(10^{\mathrm p+1}-1\right)\\&&\\&=&\frac4{81}\left(10^{\mathrm p+1}-9\mathrm p+10\right)+\frac4{81}\left(9.10^{\mathrm p+1}-9\right)\;,\;(1)\;\mathrm{න්}\\&&\\&=&\frac4{81}\left(10.10^{\mathrm p+1}-9\mathrm p+1\right)\\&&\\&=&\frac4{81}\left(10^{(\mathrm p+1)+1}-9(\mathrm p+1)+10\right)\end{array}∴ n=p+1 සදහා සත්‍ය වේ.
∴ගණිත අභ්‍යුහන මූලධර්මය අනුව දී ඇති සියලු ධන නිඛිල සදහා ඉහත ප්‍රතිඵලය සත්‍ය වේ.
