ශ්‍රේණියක පද සංඛ්‍යාව අපරිමිත ලෙස වැඩි වන විට ශ්‍රේණියේ පදවල හැසිරීම අනුව ශ්‍රේණි ප්‍රදාන කොටස් දෙකකට බෙදිය හැක.
- අභිසාරී ශ්‍රේණිය
- අපසාරී ශ්‍රේණිය
අභිසාරී ශ්‍රේණිය
ශ්‍රේණියක පද සංඛ්‍යාව අපරිමිත ලෙස වැඩි වන විට එම පදවල එකතුව පරිමිත අගයක් කරා ආසන්න වේ නම් එය අභිසාරී ශ්‍රේණියකි.
\begin{array}{l}\sum_{\mathrm r=1}^\infty\mathrm U{\textstyle\;}{\textstyle=}{\textstyle\lim_{\mathrm n\rightarrow\infty}}{\textstyle\sum_{\mathrm r=1}^{\mathrm n}}{\textstyle\mathrm U}{\textstyle\;}{\textstyle=}{\textstyle\lim_{\mathrm n\rightarrow\infty}}{\textstyle S\mathrm n}\\\textstyle\;\mathrm{එනම්},\;\lim_{\mathrm n\rightarrow\infty}S_n=\mathrm L\;\mathrm{මෙහි}\;{\mathrm S}_{\mathrm n}=\sum\mathrm r=1^\infty\mathrm U\end{array}පද සංඛ්‍යාව අපරිමිත ලෙස වැඩි වන විට එම පදවල එකතුව පරිමිත අගයක් කරා ආසන්න වේ නම් එය අභිසාරී ශ්‍රේණියකි.
පහත දැක්වෙන්නේ අභිසාරී ශ්‍රේණියක පද ගණනට එරෙහිව එම පද ගණනෙහි ඓක්‍යය දැක්වෙන ප්‍රස්තාරයයි.
අපසාරී ශ්‍රේණිය
ශ්‍රේණියක පද සංඛ්‍යාව අපරිමිත ලෙස වැඩි වන විට එම පදවල එකතුව අපරිමිත අගයක් කරා ආසන්න වේ නම් එය අපසාරී ශ්‍රේණියකි.
පහත දැක්වෙන්නේ අපසාරී ශ්‍රේණියක පද ගණනට එරෙහිව එම පද ගණනෙහි ඓක්‍යය දැක්වෙන ප්‍රස්තාරයයි.
- පහත ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේද අපසාරී වේද?
මෙම ගැටලුව විසඳීමට සීමාව පාඩමේ සිද්ධාන්ත දැන සිටිය යුතු ය.
\begin{array}{rcl}\sum_{r=1}^nr&=&\frac n2\left(n+1\right)\\\sum_{r=1}^\infty r&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{r=1}^nr\\&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{r=1}^n\frac n2\left(n+1\right)\\&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{r=1}^n\frac{n^2}2\left(1+\frac1n\right)\\&=&\infty\end{array}එබැවින් ශ්‍රේණිය අපසාරී වේ.
ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාවය හා අපසාරීතාවය
මුල් පදය a ද පොදු අනුපාතය rද වන ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියක් සලකමු
\begin{array}{rcl}S&=&a+ar+ar^2+ar^3+…+ar^{n-1}\\S{}_n&=&\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\end{array} වේ.
\begin{array}{rcl}\lim_{n\rightarrow\infty}S_n&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\\&=&\frac a{1-r}\lim_{n\rightarrow\infty}1-r^n\end{array}- \begin{array}{rcl}\left|r\right|&<&1\end{array} විට (-1<r<1 විට )
\left|r\right|<1 විට ගුණෝත්තර ශ්‍රේණිය අභිසාරී වන අතර එහි n පද ගණනක එකතුව \frac a{1-r}ට සමාන වේ.
- \begin{array}{rcl}\left|r\right|&>&1\end{array} (-1<r හෝ r>1 විට)
\therefore\;\left|r\right|>1විට ගුණෝත්තර ශ්‍රේණියෙහි පද∞ ගණනක එකතුව අපරිමිත අගයක් වේ. එනම් \left|r\right|>1 ගුණෝත්තර ශ්‍රේණිය අපසාරී වේ.
11.r\in\mathbb{Z}^+ සදහා U_r=\frac1{r\left(r+1\right)\left(r+3\right)\left(r+4\right)}\;\text{හා}\;V_r=\frac1{r\left(r+1\right)\left(r+2\right)} යැයි ගනිමු.r\in\mathbb{Z}^+ සදහා V_r-V_{r+2}=6U_r බව පෙන්වන්න. ඒ නයින්, r\in\mathbb{Z}^+ සදහා \sum_{r=1}^nU_r=\frac5{144}-\frac{2n+5}{6\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)} බව පෙන්වන්න.r\in\mathbb{Z}^+ සදහා W_r=U_{2r-1}+U_{2r} යැයි ගනිමු. n\in\mathbb{Z}^+ සදහා \sum_{r=1}^nW_r=\frac5{144}-\frac{4n+5}{24\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)} බව අපෝහනය කරන්න. ඒ නයින් \sum_{r=1}^\infty W_r අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව පෙන්වා එහි ඓක්‍යය සොයන්න. (2019 A/L)
- මෙම ගැටලුව සදහා ලකුණු 80 ක් වෙන් කෙරෙන අතර පහත සෑම පියවරක් සදහාම ලකුණු වෙන් කෙරේ. ඔබ විසින් ලිවිය යුතු අවසාන පිළිතුර මෙසේයි. මෙහි දක්වා ඇති ලෙස ලකුණු බෙදී යාම සිදුවේ.
12. r\in\mathbb{Z}^+ සදහා U_r=\frac{3r-2}{r(r+1)(r+2)}\;\text{හා}\;V_r=\frac A{r+1}-\frac Br යැයි ගනිමු;මෙහි A,B\in\mathbb{R} වේ. r\in\mathbb{Z}^+ සදහා U_r=V_r-V_{r+1} වන පරිදි A හා B හි අගයන් සොයන්න. ඒ නයින්, n\in\mathbb{Z}^+ සදහා \sum_{r=1}^nU_r=\frac{n^2}{\left(n+1\right){\displaystyle\left(n+2\right)}} බව පෙන්වන්න.\sum_{r=1}^nU_r අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව පෙන්වා එහි ඓක්‍යය සොයන්න. දැන්,r\in\mathbb{Z}^+ සදහා W_r=U_{r+1}-2U_r යැයි ගනිමු.\sum_{r=1}^\infty W_r=U_{n+1}-U_1-\sum_{r=1}^nU_r බව පෙන්වන්න.\sum_{r=1}^\infty W_r අපරිමිත ශ්‍රේණිය අභිසාරී බව අපෝහනය කර එහි ඓක්‍යය සොයන්න. (2020A/L)
- මෙම ගැටලුව සදහා ලකුණු 80 ක් වෙන් කෙරෙන අතර පහත සෑම පියවරක් සදහාම ලකුණු වෙන් කෙරේ. ඔබ විසින් ලිවිය යුතු අවසාන පිළිතුර මෙසේයි. මෙහි දක්වා ඇති ලෙස ලකුණු බෙදී යාම සිදුවේ.
