04.04.00 – අහබු සිද්ධි දෙකක හෝ වැඩි ගණනක ස්වායක්තතාව

සං‍යුක්ත ගණිතය II ( ව්‍යවහාරික ගණිතය ) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ලකුණු 25ක ගැටලුවක් මෙන්ම මෙම සිද්ධාන්තවලින් ඇතුළත් කර ඇත.

ස්වායත්ත සිද්ධි

යම් සිද්ධියක සිදුවීමට හෝ සිදු නොවීම කෙරෙහි වෙනත් සිද්ධියක සිදුවීමට බලපෑමක් නොකරයි නම්, එම සිද්ධීන් දෙක ස්වායත්ත යැයි කියනු ලැබේ.

A හා B යනු P(B) › 0 වන පරිදි වූ සිද්ධි දෙකක් නම්, P (A ∩ B) = P(A). P(B) වනවිට A හා B සිද්ධි ස්වායත්ත යැයි කියනු ලැබේ.

ස්වායත්ත සිද්ධිවල සම්භාවිතාවය

අර්ථ දැක්වීම අනුව,

P(A/B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} වේ.

A හා B සිද්ධි ස්වායත්ත වනවිට

P(A\cap B) = P(A) . P(B) වේ.

අර්ථ දැක්වීම; P(A∩B) = P(A) . P(B) නම් ම පමණක් A සහ B යනු A හි වූ ස්වායත්ත සිද්ධීන් යැයි කියනු ලැබේ.

ස්වායත්ත සිද්ධි පිළිබඳ ප්‍රමේයය

ප්‍රමේයය; A හා B ස්වායත්ත වනවිට,

1. A හා B¹
2. A¹ හා B
3. A¹ හා B¹

සිද්ධින් ස්වායත්ත වේ.

1. P(A\capB¹)

= P(A) – P(A\capB)

= P(A) – P(A).P(B)

= P(A) [ 1 – P(B) ]

= P(A).P(B)

එමනිසා A හා B¹ ස්වායත්ත වේ.

2. P(A¹\capB)

= P(B) – P(A\capB)

= P(B) – P(A).P(B)

= P(B) [ 1 – P(A) ]

= P(B).P(A¹)

එමනිසා A¹ හා B ස්වායත්ත වේ.

3. P(A¹\capB¹)

= P(A\cupB)¹

= 1 – P(A\cupB)

= 1 – [ P(A) + P(B) – P(A\capB) ]

= 1 – P(A) – P(B) + P(A).P(B)

= [ 1 – P(A) ] – P(B) [ 1 – P(A) ]

= [ 1 – P(A) ] [ 1 – P(B) ]

= P(A¹).P(B¹)

එමනිසා A¹ හා B¹ ස්වායත්ත වේ.

A, B හා C යනු A හි ස්වායත්ත සිද්ධින් තුනක් වනවිට, P(A\capB\capC) = P(A).P(B).P(C) වේ.

P(A\capB\capC)

 = P(A).P(D) [A,B,C ස්වායත්ත බැවින් A , D ස්වායත්ත වේ ]

= P(A). [ P(B\capC) ]

= P(A).P(B).P(C)

එමනිසා A,B හා C ස්වායත්ත වේ.

       4.    A හා B යනු Ω නියැධි අවකාශයක සිද්ධීන් 2ක් යැයි ගනිමු. සුපුරුදු අංකනයෙන්, P(A ∪ B) = \frac45 , 

              P(A’ ∪ B’) = \frac56  හා P(B/A) = \frac14 බව දී ඇත. P(A) හා P(B) සොයන්න.

                                      P(A’ ∪ B’) = P(A ∪ B)’

                                                  \frac56 = 1 –  P(A ∩ B)

                                     P(A ∩ B) = \frac16 

                           P(B/A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}

                              \frac14 = \frac1{6P(B)}

                                   P(B) =\frac23

                       P(A) + P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B)

                                P(A) + \frac23 = \frac16 + \frac45

                                 P(A) = \frac{5+24-20}{30}

                                 P(A) = \frac3{10}

        5. A හා B යනු S නියැධි අවකාශයක සිද්ධි 2ක් යැයි ගනිමු. සුපුරුදු අංකනයෙන්, P(A) =\frac13 , 

           P(B) = \frac14 හා P(A ∩ B) = \frac16 වේ. P(A/B’) , P(A’ ∩ B’) හා P(B’/A’) සොයන්න. මෙහි A’ හා B’ 

             මඟින් පිළිවෙළින් A හා B සිද්ධිවල අනුපූරක සිද්ධි දැක්වේ.

                                       P(A/B’) = \frac{P(A\cap B')}{P(B')}

                                       =\frac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}

                                       = \frac{\displaystyle\frac{\displaystyle1}{\displaystyle3}-\frac{\displaystyle1}{\displaystyle6}}{1-\frac14}

                                       = \frac{\displaystyle1}{\displaystyle6}\times\frac{\displaystyle4}{\displaystyle3}

                                 P(A/B’) = \frac29

                                P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

                                                      = \frac13 + \frac14 – \frac16

                                              = \frac{\displaystyle4+3-2}{\displaystyle12}

                                              = \frac{\displaystyle5}{\displaystyle12}

                               P(A’∩ B’) = P(A ∪ B)’

                                                      = 1 – P(A ∪ B)

                                                      = 1 – \frac{\displaystyle5}{\displaystyle12}

                               P(A’∩ B’) = \frac{\displaystyle7}{\displaystyle12}

                                     P(B’/A’) = \frac{P(A'\cap B')}{P(A')}

                                          = \frac{P(A'\cap B')}{1-P(A)}

                                          = \frac{\frac{\textstyle7}{\textstyle12}}{\frac{\textstyle2}{\textstyle3}}

                                          P(B’/A’) = \frac78

“There is no branch of mathematics, however abstract,which may not some day be applied to phenomena of the real world.”
-Nikolai Ivanovich Lobachevsky-

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.