04.05.00 – බේයස් ප්‍රමේයය

• සං‍යුක්‍ත ගණීතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය ) ප්‍රශ්න පත්‍රයෙහි A කොටසේ ප්‍රශ්න 2 ක් හා B කොටසේ 17 වන ප්‍රශ්නයේ a කොටස මෙම ඒකකයෙන් සැකසී ඇත.

නියැදි අවකාශය විභාගනය

B₁, B₂, _…… , B_n යනු සසම්භාවී පරීක්ෂණයක් සමග සංඝටිත Ω නියැදි අවකාශයකට අනුරූප A  සිද්ධි අවකාශය තුළ වූ සිද්ධි අනුක්‍රමයක් වන විට,

i. සියළු i ≠ j සදහා B_i ∩ B_j  =ϕ හා

ii. B₁∪ B₂ ∪ ….∪ B_n  = Ω, \left(\overset n{\underset{i=1}\cup}{\text{B}}_1\text{=Ω}\right) වේ නම්,  {B_1, B_{2, ….,} B_n  } ට,  Ω නියැදි අවකාශයේ විභාගනයක් යයි කියනු ලැබේ.

උදා : Ω  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

B₁  = {1, 2, 3},  B₂  = {4},  B₃  = {5, 6} සහ  B₄  = {7, 8} ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.

එවිට, B₁∩B₂ =ϕ , B₁∩B₃  =ϕ, B₁∩ B₄  =ϕ , B₂∩B₃  =ϕ, B₂∩B₄  =ϕ සහ B₃ ∩B₄  = ϕ වේ.

තවද, B₁∪B₂ ∪B₃ ∪B₄  = Ω වේ.

∴{ B₁, B₂, B₃, B₄ }යනු Ω හි විභාගනයක් වේ.

මුළු සම්භාවිතාව

මුළු සම්භාවිතාව පිළිබඳ ප්‍රමේයය.

{B₁, B₂,_……., B_n} යනු සියළු i = 1,2, …,n සදහා P (B_i) > 0 වන පරිදි වූ, කිසියම් සසම්භාවී පරීක්ෂණයක් සමග සංඝටිත Ω නියැදි අවකාශයට අනුරූප A සිද්ධි අවකාශයේ විභාගනයක් නම් ද A යනු  A  සිද්ධි අවකාශයේ ඕනෑම සිද්ධියක් නම් ද,

P(A)\;=\overset n{\underset{i=1}{\sum P(}}\;\frac A{B_i})P(B_i)\;\mathrm{වේ}.

සාධනය

A = (A∩B₁ )∪(A∩B₂)∪——-∪(A∩B_n)

∴P (A) = P[(A∩B₁)∪(A∩B₂)∪——(A∩B_n)]

(A∩B₁ ),(A∩B₂),——–(A∩B_n)

අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර නිසා ප්‍රත්‍යක්ෂමය අර්ථ දැක්වීම අනුව,

P (A) = P(A∩B₁ ) + P(A∩B₂) + ………………. + P(A∩B_n)

P(A)\;=\sum_{i=1}^nP(A\cap B_i)\;\mathrm{වේ}.\;

අසම්භාව්‍ය සම්භාවිතාව අර්ථ දැක්වීම අනුව,

\begin{array}{rcl}\mathrm P(\mathrm A/{\mathrm B}_{\mathrm i})&=&\dfrac{\mathrm P(\mathrm A\cap\mathrm B)}{\mathrm P({\mathrm B}_{\mathrm i})}\;\;\mathrm P(B_i)>0\\\mathrm P(\mathrm A\cap\mathrm{Bi})&=&\mathrm P(B_i).\mathrm P\left(\frac{\mathrm A}{B_i}\right)\\\therefore\mathrm P(\mathrm A)&=&\sum_{\mathrm i=1}^{\mathrm n}\mathrm P(B_i).\mathrm P\left(\frac{\mathrm A}{B_i}\right)\end{array}

නිදසුන 1

50 දෙනෙකුගෙන් යුත් ශිෂ්‍ය කණ්ඩායමකින් 30 දෙනෙක් ශිෂ්‍යාවෝ වෙති. ශිෂ්‍යාවන්ගෙන් 30% ක් සංයුක්ත ගණිතය සමත් වූ අතර ශිෂ්‍යයින්ගෙන් 40% ක් සංයුක්ත ගණිතය සමත් වූහ.මෙම කණ්ඩායමෙන් අහඹු ලෙස ළමයෙක් තෝරා ගතහොත් ඔහු හෝ ඇය සංයුක්ත ගණිතය සමත් කෙනෙකු වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

Ω = { ශිෂ්‍ය කණ්ඩායමේ අය}

B₁ = { තෝරා ගත් ළමයා ශිෂ්‍යාවක වීම}

B₂ = { තෝරා ගත් ළමයා ශිෂ්‍යයෙකු වීම}

A = { තෝරා ගත් ළමයා සංයුක්ත ගණිතය සමත් කෙනෙකු වීම}

B₁∩B₂  = , B₁∪B₂  = Ω   ∴{B₁, B₂} යනු Ω හි විභාගනයකි.

\begin{array}{l}P\;(B_1)\;=\;\;\frac{30}{50}\;\;\;\\P\;(B_2)\;=\;\frac{20}{50}\\P(A/B_1)\;=\frac{30}{100}\\P(A/B_2)\;=\frac{40}{100}\end{array}

මුළු සම්භාවිතා ප්‍රමේයය අනුව,

\begin{array}{rcl}P(A)\;&=&\;\sum_{i=1}^nP(A/B_i)P(B_i)\;\\\;&=&\;P(A/B_1)\;P(B_1)\;\;+\;P(A\;/B_2)P(B_2)\;\\P(A)\;&=&\frac{\;30}{100}\;\times\frac{\;30}{50}\;\;+\;\;\frac{\;40}{100}\;\times\;\frac{20}{100}\;\;\\\;&=&\;\;\frac{9+8}{50}\;\;\\&=&\;\;\frac{17}{50}\end{array}

සටහන

විභාගනයේ සිද්ධි දෙකක් පමණක් ඇත්නම් එක් සිද්ධියක් අනෙක් සිද්ධියේ අනුපූරක සිද්ධිය වේ.

මෙහි B₂  = B₁¹

P(A) = P(A / B₁) P(B₁)  +  P(A / B₂) P(B₂)  ලෙස ලිවිය හැකිය.

නිදසුන 2

විශේෂ සමුළුවකට සහභාගී වීම පිණිස A, B, C යන පාසල් තුනකට ඇරයුම් කරන ලදී. සමුළුවට සහභාගී වූවන් අතර A පාසලින් 50% ක්ද, B පාසලින් 30% ක්ද, C පාසලින් 20%ක්ද විය. A පාසලේ ළමයින්ගෙන් 60% ක් පිරිමිද, B පාසලේ ළමයින්ගෙන් 40% ක් පිරිමිද, C පාසල ප්‍රදේශයේ වූ එකම බාලිකා පාසලද විය. සමුළුවෙන් සිසුවකු අහඹු ලෙස තෝරා ගතහොත් එම තැනැත්තා,

i. පිරිමි ළමයකු වීමේ,         

ii. ගැහැණු ළමයකු වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.

B₁  = {සමුළුවට සහභාගී වුවන් A පාසලට අයත් වීම}

B₂  = {සමුළුවට සහභාගී වුවන් B පාසලට අයත් වීම}

B₃  = {සමුළුවට සහභාගී වුවන් C පාසලට අයත් වීම}

A  = {තෝරා ගත් සිසුවා පිරිමි ළමයකු වීම}

P(B_1)\;=\;\frac{\;50\;}{100}\;,\;P(B_2)\;=\;\frac{\;30}{100}\;\;,\;P(B_3)\;=\;\;\frac{20}{100}\;,\;P(A/B_1)\;=\;\frac{60}{100}\;,\;P(A/B_2)\;=\;\frac{\;40\;\;}{100}\;,\;P(A/B_{3)}\;=\;\;0\;\;

මුළු සම්භාවිතා ප්‍රමේයය අනුව,

\begin{array}{rcl}P(A)\;&=&\sum_{i=1}^nP(A/B_i)P(B_i)\;\\&=&\;P(A\;/\;B_1)\;P(B_1)\;+\;P(A\;/\;B_2)\;P(B_2)\;+\;P(A\;/\;B_3)\;P(B_3)\\\;&=&\;\frac{60}{100}\;\times\frac{50}{100}\;\;+\;\;\frac{40}{100}\;\times\;\frac{30}{100}\;\;+\;0\;\;\times\;\frac{20}{100}\\&=&\;\frac{\;21}{50}\end{array}

තෝරා ගත් ළමයා ගැහැණු ළමයෙකු වීම = A¹  

\begin{array}{rcl}P(A^1)\;&=&\;1\;–\;P(A)\;=\;1\;-\;\;\frac{21}{50}\;=\;\frac{29}{50}\end{array}

බේයස් ප්‍රමේයය

B₁, B₂, _…… , B_n  යනු, E සසම්භාවී පරීක්ෂණයක් හා සංඝටිත Ω නියැදි අවකාශයට අනුරූප A සිද්ධි අවකාශයේ විභාගනයන් යයිද, A යනු A සිද්ධි අවකාශයේ වෙනත් ඕනෑම සිද්ධියක්ද නම්,

\begin{array}{rcl}P(B_j/A)&=&\frac{P(A/B_j)P(B_j)}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}P{(A/B_i)P(B_i)}}\end{array}

මෙහි P (A/B_j) යනු ,

 B_j සිද්ධිය සිදු වී යයි දී ඇති විට A සිද්ධිය සිදුවීමේ අසම්භාව්‍ය සම්භාවිතාවයි.

\begin{array}{rcl}P(B_j/A)&=&\frac{P(B_j\cap A)}{(P(A)}\\{P(A/B_j)}&=&\frac{(P(B_j\cap A)}{P(B_j)}\\P(B_j\cap A)&=&P(A/B_j)P(B_j)\\P(B_j/A)&=&\frac{P(A/B_j)P(B_j)}{P(A)}\\&=&\frac{P(A/B_j)P(B_j)}{P(A/B_i)P(B_i)}\text{(මුළු සම්භාවිතා පරමේයය අනුව)}\end{array}

නිදසුන  1

උසස් පාසලක අධ්‍යාපනය හදාරන්නෙක් පිරිමි ළමයකු විමේ සම්භාවිතාව \frac13 කි. පිරිමි ළමයකු තම පාඨමාලාව සාර්ථකව නිම කිරීමේ සම්භාවිතාව\frac7{10}ක් වන අතර, ගැහැණු ළමයෙක් තම පාඨමාලාව සාර්ථකව නිම කිරීමේ සම්භාවිතාව\frac45කි. පාඨමාලාව නිම කළ කෙනෙකු සසම්භාවීව තෝරාගත් විට, එම තැනැත්තා

i. පිරිමි ළමයකු වීමේ,

ii. ගැහැණු ළමයකු වීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.

B₁  = පිරිමි ළමයකු වීම

B₂  = ගැහැණු ළමයකු වීම.

{ B₁ , B₂ } විභාගනයන් වේ.

A  = පාඨමාලාව සාර්ථකව නිම කිරීම.

\begin{array}{rcl}P\;(B_1)\;&=&\;\frac13,\;\;\;\therefore\;\;P\;(B_2)\;=\;1\;–\;P\;(B_1)\;=\frac{\;2}3\;,\;\;P\;(A/B_1)\;=\frac{\;7}{10}\;\;,\;\;P\;(A/B_2)\;=\;\frac45\end{array}

i. පාඨමාලාව සම්පුර්ණ කළ තැනැත්තා පිරිමි ළමයකු වීම = (B₁ / A)

\begin{array}{rcl}P(B_1/A)&=&\frac{P(A/B_1)P(B_1}{(P(A/B_1)P(B_1)+P(A/B_2)P(B_2)}(\text{බේයස ්ප්‍රමේයය අනුව})\\&=&\frac{{\displaystyle\frac7{10}}\times{\displaystyle\frac13}}{{\displaystyle\frac7{10}}\times\frac13+{\displaystyle\frac45}\times{\displaystyle\frac23}}\\&=&\frac7{23}\end{array}

ii. පාඨමාලාව සම්පුර්ණ කළ තැනැත්තා ගැහැනු ළමයකු වීම = (B₂ / A)

\begin{array}{rcl}P(B_2/A)&=&\frac{P(A/B_2)P(B_2)}{P(A/B_1)P(B_1)+P(A/B_2)P(B_2)}\\&&\\&=&\frac{\displaystyle\frac45\times\frac23}{\displaystyle\frac7{10}\times\frac13+\frac45\times\frac23}\\&&\\&=&\dfrac7{23}\end{array}

නිදසුන 2

X, Y, Z නම් සැපයුම්කරුවන් තිදෙනෙක් එක්තරා ආයතනයකට භාණ්ඩ සැපයීමේ සම්භාවිතාව පිළිවෙලින් 1/2, සහ 1/3 වේ. X, Y, Z විසින් සපයනු ලබන භාණ්ඩ දෝෂ සහිත වීමේ ප්‍රතිශත පිළිවෙලින් 5, 6, 8 වේ. එම භාණ්ඩ තොගයෙන් භාණ්ඩයක් සසම්භාවී ලෙස තෝරා ගත් විට එය දෝෂ සහිත වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

එම දෝෂ සහිත භාණ්ඩය ,

i) X මගින්

ii) Y මගින්

iii) Z මගින් 

සපයා තිබීමේ සම්භාවිතාව ගණනය කරන්න.

B₁  = X මගින් භාණ්ඩය සැපයීම

B₂  = Y මගින් භාණ්ඩය සැපයීම

B₃  = Z මගින් භාණ්ඩය සැපයීම

A  = තෝරා ගත් භාණ්ඩය දෝෂ සහිත වීම

{B_1, B_2, B₃} විභාගනයන් වේ.

\begin{array}{rcl}P\;(B_1)\;&=&\;\;\frac12\;,\;P\;(B_2)\;=\;\;\frac13\;\;,\;P\;(B_3)\;=\frac16\\\;P(A/B1)\;&=&\;\frac5{100}\;\;,\;P(A/B_2)\;=\frac6{100},\;P(A/B_3)\;=\frac8{100}\end{array}

භාණ්ඩයන් දෝෂ සහිත වීමේ සම්භාවිතාව = P (A)

මුළු සම්භාවිතා ප්‍රමේයය අනුව,

\begin{array}{rcl}P(A)\;&=&\;\sum_{i=1}^3P(A/Bi)\;P(B_i)\\&=&\;P(A/B_1)\;P(B_1)\;+P(A/B_2)\;P(B_2)\;+P(A/\;B_3)\;P(B_3)\\&=&\;\frac5{100}\;\times\;\frac12\;\;+\;\;\frac{\;6\;}{100}\times\;\frac13\;\;\;+\frac{\;8}{100}\;\times\;\frac16\\&=&\frac{\;7}{120}\end{array}

i.

තෝරා ගත් භාණ්ඩය X විසින් සපයා තිබීමේ සම්භාවිතාව = P (B₁ / A)

බේයස් ප්‍රමේයය අනුව ,

\begin{array}{rcl}P(B_1/A)\;&=&\frac{P(A/B_1)\;P(B_1)}{P(A)}\\&=&\;P(A/B_1)\;P(B_1)\;+P(A/B_2)\;P(B_2)\;+P(A/\;B_3)\;P(B_3)\\&=&\;\frac{{\displaystyle\frac5{100}}\;\times\;{\displaystyle\frac12}\;\;}{\displaystyle\frac{35}{600}}\\&=&\frac37\end{array}

ii.

\begin{array}{rcl}P(B_2/A)\;&=&\frac{P(A/B_2)\;P(B_2)}{P(A)}\\&=&\;\frac{{\displaystyle\frac6{100}}\;\times\;{\displaystyle\frac13}\;\;}{\displaystyle\frac{35}{600}}\\&=&\frac{12}{35}\end{array}

iii.

\begin{array}{rcl}P(B_3/A)\;&=&\frac{P(A/B_3)\;P(B_3)}{P(A)}\\&=&\;\frac{{\displaystyle\frac8{100}}\;\times\;{\displaystyle\frac16}\;\;}{\displaystyle\frac{35}{600}}\\&=&\frac8{35}\end{array}

1.කර්මාන්තශාලාවක නිෂ්පාදිතවලින් 60% ක් A යන්ත්‍රයෙන්ද 25% ක් B යන්ත්‍රයෙන්ද 15% ක් C යන්ත්‍රයෙන්ද නිපදවයි. A , B , C නිෂ්පාදිත අතරින් 2% , 3% , 5% සදොස් ඒවා වේ.

i. කර්මාන්තශාලාවේ නිෂ්පාදිතයක් අහඹු ලෙස තෝරාගත් විට එය සදොස් එකක් වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

ii. තෝරාගත් නිෂ්පාදිතය සදොස් එකක් නම්, එය A යන්ත්‍රයෙන් නිපදවන ලද්දක් වීමේ ,

iii. එය B යන්ත්‍රයෙන් නිපදවන ලද්දක් වීමේ ,

iv. එය C යන්ත්‍රයෙන් නිපදවන ලද්දක් වීමේ

 සම්භාවිතාව සොයන්න.

D = { තෝරාගත් නිෂ්පාදිතය සදොස් එකක් වීම. }

A = { A යන්ත්‍රයෙන් නිපදවූ නිෂ්පාදිත }  =>  P(A) = 60/100

B = { B යන්ත්‍රයෙන් නිපද වූ නිෂ්පාදිත } => P(B) = 25/100

C = { C යන්ත්‍රයෙන් නිපද වූ නිෂ්පාදිත } => P(C) = 15/100

P( D / A ) = 2/100

P( D / B ) = 3/100

P( D / C ) = 5/100

i.

\begin{array}{rcl}\;P(\;D\;)\;&=&\;P(\;A\;)\;P(\;D\;/\;A\;)\;+\;P(\;B\;)\;P(\;D\;/\;B\;)\;+\;P(\;C\;)\;P(\;D\;/\;C\;)\;\\&=&\;\frac{60}{100}\times\frac{\;2}{100}\;+\;\;\frac{25}{100}\times\frac{\;3}{100}+\frac{15}{100}\times\frac{\;5}{100}\\&=&\frac{2.7}{100}\end{array}

ii.

\begin{array}{rcl}\;P(\;A\;/\;D\;)\;&=&\;\frac{P(A\cap D)}{P(D)\;}\\&=&\frac{\;P(\;A\;)\;P(\;D\;/\;A\;)}{P(\;D\;)}\;\\&=&\frac{{\displaystyle\frac{\;60}{100}}\times\;{\displaystyle\frac2{100}}}{\frac{27}{1000}}\;\\&=&\;\frac49\end{array}

iii.

\begin{array}{rcl}\;P(\;B\;/\;D\;)\;&=&\;\frac{P(B\cap D)}{P(D)\;}\\&=&\frac{\;P(B\;)\;P(\;D\;/\;B\;)}{P(\;D\;)}\;\\&=&\frac{{\displaystyle\frac{\;25}{100}}\times\;{\displaystyle\frac3{100}}}{\frac{27}{1000}}\;\\&=&\;\frac{25}{90}\end{array}

iv.

\begin{array}{rcl}\;P(\;C\;/\;D\;)\;&=&\;\frac{P(C\cap D)}{P(D)\;}\\&=&\frac{\;P(C\;)\;P(\;D\;/\;C\;)}{P(\;D\;)}\;\\&=&\frac{{\displaystyle\frac{\;15}{100}}\times\;{\displaystyle\frac5{100}}}{\frac{27}{1000}}\;\\&=&\;\frac{25}{90}\end{array}

2.

A , B , C මල් ඉති 3 ක පිපුණු මල් 3 , 2 , 2 බැගින්ද පරවූ මල් 2, 1 , 2 බැගින්ද ඇත. මල් කැඩීමට ගිය දරුවෙකු සසම්භාවී ලෙස මල් ඉත්තක් තෝරා ගෙන එම ඉත්තෙන් සසම්භාවී ලෙස මලක් කඩයි.

i. කැඩූ මල පරවූ 1 ක් වීම.

ii. කැඩූ මල පරවූ 1 ක් වී නම්, එය A ඉත්තේ වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

A = { A ඉත්ත තේරීම. }

B = { B ඉත්ත තේරීම. }

C = { C ඉත්ත තේරීම. }

D = { කැඩූ මල පරවූ 1 ක් වීම. }

\begin{array}{rcl}P(D)\;&=&\;P(A)\;P(D/A)\;+\;P(B)\;P(D/B)\;+\;P(C)\;P(D/C)\\&=&\;\;\frac13\times\frac{\;2}5\;+\frac{\;1}3\times\;\frac{\;1}3\;+\frac{\;1}3\times\;\frac12\\&=&\frac{37}{90}\\P(A/D)\;&=&\;\frac{P(A\cap D)}{P(D)}\\&=&\frac{{\displaystyle\frac13}\times{\displaystyle\frac{\;2}5}}{\frac{37}{90}}\\&=&\frac{12}{37}\\&&\\&&\end{array}

නිදසුන 4

බහුවරණ ප්‍රශ්න පත්‍රයකට පිළිතුරු සපයන අපේක්ෂකයෙක් ප්‍රශ්නයකට නිවැරදි පිළිතුර දැන සිටීමේ සම්භාවිතාව p වේ. පිළිතුර අනුමානව සැපයීමේ සම්භාවිතාව 1 – p වේ. නිවැරදි පිළිතුර දන්නා විට පිළිතුර නිවැරදිව සැපයීමේ සම්භාවිතාව 1 වේ. පිළිතුර අනුමාන කරන විට නිවැරදි පිළිතුර සැපයීමේ සම්භාවිතාව \frac1m වේ. m යනු බහුවරණ ප්‍රශ්නයක ඇති ප්‍රතිචාර ගණන වේ. අපේක්ෂකයා ප්‍රශ්නයකට දී ඇති පිළිතුර නිවැරදි නම්, ඔහු නිවැරදි පිළිතුර දැන සිටීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

A = { නිවැරදි පිළිතුර දැන සිටීම. }

B = { නිවැරදි පිළිතුර සැපයීම. } 

P(A) = p , P(A¹) = 1 – p , P( B/A ) = 1 , P( B/A¹) = \frac1m

P( A / B ) = \frac{P\left(B/A\right)P\left(A\right)}{P\left(B\right)}

               = \frac{P\times1}{P\left(B/A\right)P\left(A\right)+P\left(B/A^1\right)P\left(A^1\right)}

               =\frac p{1\times p+(1-p)\times\frac1m}=\frac{pm}{pm+1-p}=\frac{pm}{p(m-1)+1}

මිශ්‍ර අභ්‍යාස

1. හිස ලැබීමේ සම්භාවිතාව \frac23 ක් වූ නැඹුරු කාසියක් උඩ දමයි. එම අවස්ථාවේ හිස ලැබුණහොත් 1 සිට 7 දක්වා අංක යොදා ඇති කාඩ්පත් අතරින් 1 ක් සසම්භාවීව තෝරයි. අගය ලැබුණහොත් 1 සිට 5 දක්වා අංක යොදා ඇති කාඩ්පත් අතරින් 2 ක් තෝරයි. 

1. නියැදි අවකාශය රුක් සටහනක දක්වන්න.
2. පළමු වරට අගය ලැබී දෙවන වරට ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් ලැබීම.
3. දෙවන වරට ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් ලැබීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

A = { පළමු වරට අගය ලැබීම. } 

B = { දෙවන වරට ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් ලැබීම. }

1.  

2. P(A∩B) = P(A) P(B/A) 

= \frac13\times\frac35

= \frac15

3. P(B) = \frac13\times\frac35+\frac23\times\frac47

        = \frac8{21}+\frac3{15}

       = \frac{61}{105}

2. මෝටර් රථ හිමියෙක් අඳුරේදී තම මෝටර් රථයේ දොර විවෘත කිරීමට උත්සහ කරයි. ඔහු සතුව යතුරු 6ක් ඇත. ඉන් එකකින් පමණක් දොර විවෘත කළ හැකිය. 

1. සියළු විය හැකියා දැක්වීමට රුක් සටහනක් අදින්න.
2. ඔහු 4 වරක් දොර විවෘත කිරීමට උත්සහ කරයි. මෙසේ වාර 4 දී ඔහුට දොර විවෘත කර ගැනීමට නොහැකි වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

A_i = i වන වතාවේ දොර විවෘත කරගැනීමට නොහැකි වීම. ( i = 1 , 2, 3, 4)

P (A₁∩A₂∩A₃∩A₄) = \frac56\times\frac45\times\frac34\times\frac23
                            = \frac13

3. 1 සිට 9 දක්වා අංකිත කාඩ්පත් අතරින් 2 ක් සසම්භාවීව තෝරයි.

1. අංක 2 ම ඔත්තේ වීම. → A
2. අංක 2 ම ඉරට්ටේ වීම. → B
3. අංක 2 ක එකතුව අන්තරය මෙන් දෙගුණයක් වීම. → C

යනාදියෙහි සම්භාවිතාව සොයන්න.(සංකරණ හා සංයෝජන පාඩමෙහි දැනුම අවශ්‍ය )

P(A) = ( ⁵C₁ ⁴C₁ ) / ( ⁹C₁ ⁸C₁ )  = \frac{20}{72}   =\frac1{18}

P(B) = ( ⁴C₁ ³C₁ ) / ( ⁹C₁ ⁸C₁ )  =\frac{12}{72}=\frac3{18}

1 ක්‍රමය 

x , y ; x ˃ y

( x + y ) = 2 ( x – y )  

        3y  = x 

y = 1 විට x = 3 , y = 2 විට x= 6 , y= 3 විට x=9

P( C ) = P{ (1,3) , (3,1) , (2,6) , (6,2) , (3,9) , (9,3) }/ P(Ω)= \frac6{72}   =\frac1{12}

2 ක්‍රමය 

P(C)= [(¹C₁ ¹C₁ ) / ( ⁹C₁ ⁸C₁ ) + ( ¹C₁ ¹C₁ ) / ( ⁹C₁ ⁸C₁ ) +  ( ¹C₁ ¹C₁ ) / ( ⁹C₁ ⁸C₁)] ×2       = \frac6{72}   =\frac1{12}

4. කාසි 3 කින් 1 ක් එක්වර උඩ දැමු විට ශීර්ෂය ලැබීමේ සම්භාවිතාවය p වන පරිදි නැඹුරුය. අනික් දෙක නොනැඹුරුය. කාසි 3න් 1ක් සසම්භාවී ලෙස ගෙන එය දෙවරක් උඩ දමනු ලැබේ. 

1. ලැබිය හැකි ප්‍රතිදාන පෙන්වීමට රුක් සටහනක් අඳින්න. 
2. වාර 2 දීම ශිර්ෂ ලැබීමේ සම්භාවිතාවය \frac{17}{54} වෙයි නම් p හි අගය සොයන්න.
3. p හි මෙම අගය සඳහා වාර 2 දීම ඇත්ත වශයෙන්ම ශිර්ෂ ලැබුණු බව දී ඇත්නම්, තෝරා ගන්නා ලද කාසිය නැඹුරු එකක් වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
4.  

X = {වාර 2 දීම ශිර්ෂ ලැබීම.}

P(X) = \frac{17}{54}

\frac13\times p\times p+\frac23\times\frac12\times\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2}=\frac{17}{54} p^2=\frac{17}{18}-\frac12

    =  \frac8{18}

    = \frac49

 p =  \frac23 ( p ˃ 0 )

Y = { තේරු කාසිය නැඹුරු වීම. } 

P(Y/X)=\frac{P(X\cap Y)}{P(X)}

             = \frac{\displaystyle\frac{\displaystyle1}{\displaystyle3}\times p\times p}{\frac{17}{54}}

             = \frac12\times\frac23\times\frac{\displaystyle2}{\displaystyle3}\times\frac{\displaystyle54}{\displaystyle17}

             = \frac8{17}

5. නිමල්, කමල්, සුනිල් හා අමල් යන සිසුන් 4 දෙනා සසම්භාවී ලෙස පෙළකට සිටීමෙන් ඡායාරූපයකට පෙනී සිටින ලදී. 

1. නිමල් යම් සැකසීමකදී අයිනක සිටීමේ 
2. නිමල් හා කමල් එකට සිටීමේ 
3. කමල්, සුනිල් හා අමල් එකට නොසිටීමේ සම්භාවිතා සොයන්න.

සිසුන් 4 දෙනාටම පෙළට සිටිය හැකි මුළු ආකාර ගණන = 4!

නිමල් යම් සැකසීමකදී අයිනක සිටීමේ සම්භාවිතාව = \frac{3!\times2}{4!}=\frac12

නිමල් හා කමල් එකට සිටීමේ සම්භාවිතාව =\frac{3!\times2}{4!}=\frac12

කමල්, සුනිල් හා අමල් එකට නොසිටීමේ සම්භාවිතාව =\frac{4!-(2!\times3!)}{4!}=1-\frac{\displaystyle2!\times3!}{\displaystyle4!}=\frac12

6. විශාල තොග වෙළදසැලකට A , B හා C නම් වූ භාණ්ඩ සපයන ආයතන 3 ක් මඟින් සපයන විදුලි බුබුළුවලින් 50% A මඟින්ද 30% B මඟින්ද 20% C මඟින්ද සපයයි. A මගින් සපයන විදුලි බුබුළුවලින් 3% සදොස් ඒවා වන අතර B හා C සපයන ඒවායින් පිළිවෙලින් 2% ක් හා 1% ක් සදොස් ඒවා බව අත්දැකීමෙන් දනියි.

1. මේ වෙළදසැලේ ඇති විදුලි බුබුළු අතරින් එකක් සසම්භාවී ලෙස තෝරා ගැනීමේදී එම විදුලි බුබුළු සදොස් එකක් වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.
2. තෝරාගත් විදුලි බුබුළු සදොස් එකක් බව දී ඇත්නම්, එය A ආයතනය සැපයූ එකක් වීමේ සම්භාවිතාව සොයන්න.

X = { තෝරන විදුලි බුබුළ සදොස් එකක් වීම. }

P(A) =  \frac{50}{100} , P(X/A) =  \frac3{100}

P(B) =  \frac{30}{100} , P(X/B) = \frac2{100}

P(C) =  \frac{20}{100} , P(X/C) =  \frac1{100}

P(X) = P(A) P(X/A) + P(B) P(X/B) + P(C) P(X/C)

        = \frac{50}{100}\times\frac3{100}+\frac{\displaystyle30}{\displaystyle100}\times\frac{\displaystyle2}{\displaystyle100}+\frac{\displaystyle20}{\displaystyle100}\times\frac{\displaystyle1}{\displaystyle100}

        = \frac{23}{1000}=0.023

P(A/X) =\frac{P\left(A\cap X\right)}{P\left(X\right)}=\frac{P\left(A\right)P\left(X/A\right)}{P\left(X\right)}=\frac{\left({\displaystyle\frac{50}{100}}\right){\displaystyle\left(\frac3{100}\right)}}{\left(\frac{23}{1000}\right)}=\frac{15}{23}

“Free yourself from the rigid conduct of  tradition and open yourself to the new forms of probability.”
-Hans Bender-

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.