02.12.01 – සංකීර්ණ සංඛ්‍යා හැඳින්වීම

• සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය)  ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න) 03 වැනි ගැටළුවෙහි හා B කොටසේ 13 වැනි ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

හැදින්වීම

\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\;x\;+\;\mathrm{iy}\\x,\mathrm y\;\in\;\mathrm R\\ i\;=\;\sqrt{-1}\end{array}

• ඉහතින් දැක්වෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක සාධාරණ  ආකාරයයි. x හා y තාත්වික වේ. i යනු \sqrt{-1} හෙවත් අතාත්වික ඒකකය වේ.

\begin{array}{rcl}\mathrm Z\;&=&\;2\;+\;\sqrt{-3}\\&=&\;2\;+\;\sqrt{-1}\times\sqrt3\\&=&2\;+\;\sqrt3\mathrm i\\&&\end{array} \begin{array}{rcl}\mathrm Z\;&=&\;\sqrt{-16}\\&=&\;\sqrt{-1}\times\sqrt{16}\\&=&\;4\mathrm i\\&&\end{array} \begin{array}{rcl}\mathrm Z\;&=&\;5\\&=&\;5\;+\;0\times\sqrt{-1}\\&=&\;5\;+\;0\mathrm i\\&&\end{array}

• අප දන්නා සියලු තාත්වික සංඛ්‍යා හා අතාත්වික සංඛ්‍යා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කුලකයට අයත් වේ.

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට තාත්වික මෙන්ම අතාත්වික කොටසක්ද ඇත.

• Z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික සංගුණකය x වන අතර එය Re Z ලෙසද, අතාත්වික සංගුණකය y වන අතර එය Im Z ලෙසද සංකේතවත් කරයි.

තාත්වික සංගුණකය         = Re Z = x

අතාත්වික සංගුණකය      = Im Z = y

තාත්වික කොටස               = Re Z = xi

අතාත්වික කොටස            = Im Z = yi

• තාත්වික කොටසක් පමණක් ඇති සංඛ්‍යා හුදෙක් තාත්වික  සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලෙසද, අතාත්වික කොටසක් පමණක් ඇති සංඛ්‍යා හුදෙක් අතාත්වික සංඛ්‍යා ලෙසද හඳුන්වයි.

හුදෙක් තාත්වික	හුදෙක් අතාත්වික
Z=3	Z=\sqrt5i
Z=-2	Z=16i
Z=0	Z=-5i
Z=15	Z=-2\sqrt3i

“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.”
-Jacques Hadamard

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කුලකය

• C = {Z / Z = x + iy, x, y ∈ R , i = \begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array} }

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක සමානතාවය 

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් සමාන වන්නේ නම් හා නම් ම පමණක් ඒවායේ තාත්වික කොටස් වෙනමද, අතාත්වික කොටස් වෙනමද, සමාන වේ.

Z₁ = Z₂ \begin{array}{l}\Leftrightarrow\\\end{array} Re Z₁ = Re Z₁ සහ

                  Im Z₁ = Im Z₂                       

1. Z₁ = p + 5i  සහ Z₂ = 9 + qi ද, 2Z₁ – 3Z₂ = 5 – 7i නම් p හා q සොයන්න.

\begin{array}{rcl}2Z_1–3Z_2&=&5–7i\\2(p+5i)–3(9+qi)&=&5–7i\\(2p-27)\;+(10–3q)i&=&5–7i\end{array} \begin{array}{rcl}&&\text{තාත්වික කොටස්}\\2p-27&=&5\\p&=&\frac{32}2\\p&=&16\end{array} \begin{array}{rcl}&&\text{අතාත්වික කොටස්}\\10-3q&=&-7\\q&=&\frac{17}3\end{array}

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සම්බන්ධ ගණිත කර්ම 

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක ඓක්‍යය

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීමේදී තාත්වික කොටස් වෙනමද අතාත්වික කොටස් වෙනමද එකතු කරනු ලැබේ.

Z₁ = x₁ + iy₁                x₁,y₁ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₂ = x₂ + iy₂                x₂,y₂ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₁ + Z₂ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

1.(5 + 6i) හා (-7 + 4i) සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කරන්න.

\begin{array}{rcl}Z_1+Z_2&=&(5+6i)+(-7+4i)\\&=&-2+10i\end{array}

2.Z₁ = 4 + 5i හා Z₂ = 10i සංකීර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කරන්න.

\begin{array}{rcl}Z_1+Z_2&=&(4+5i)+10i\\&=&4+15i\end{array}

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක අන්තරය 

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා අඩු කිරීමේදී තාත්වික කොටස් වෙනමද අතාත්වික කොටස් වෙනමද අඩු කරනු ලැබේ.

Z₁ = x₁ + iy₁                x₁,y₁ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₂ = x₂ + iy₂                x₂,y₂ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₁ – Z₂ = (x₁ – x₂) + i(y₁ – y₂)

2.Z₁ = 8 + 4i
Z₂ = 5 + 8i

\begin{array}{rcl}Z_1–Z_2&=&(8+4i)–(5+8i)\\&=&3–4i\end{array}

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම

i           = i

i²          = (\begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array})²         = -1

i³          = (\begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array})²i        = -i

i⁴          = (i²)²              = (-1)² = 1

i⁵          = (i²)²i             = i

i⁶          = (i²)³              = -1

Z^a       = Z^m±4n  , a,m,n \begin{array}{l}\in\\\end{array} Z

i ²⁰       = i⁰⁺²⁰              = i⁰ = 1

i¹⁹        = i³⁺¹⁶              = i³ = -i

i^-2         = i^2-4                = i² = -1

i^-13       = i^3-16              = i³ = -i

i^-27       = i^-28+1             = i

i¹⁸        = i¹⁶⁺²              = -1

සාමාන්‍ය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම

Z₁ = x₁ + iy₁                x₁,y₁ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₂ = x₂ + iy₂                x₂,y₂ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

 Z₁ . Z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

\begin{array}{l}1.\left(2-3i\right)\left(5+4i\right)\\=\lbrack10–(-12)\rbrack\;+\;i(8-15)\\=22–7i\end{array} \begin{array}{l}2.(1\;+\;i)^3(3\;–\;2i)^2\\=\lbrack1\;+\;3i\;+\;3i^2\;+\;i^3\rbrack\;\lbrack9\;–\;12i\;+\;4i^2\rbrack\\=\lbrack-2+2i\rbrack\;\lbrack5–12i\rbrack\\=\lbrack-10\;+\;24\rbrack\;+\;i\lbrack24\;+\;10\rbrack\\=14\;+\;34i\end{array} \begin{array}{l}3.(2\;-\;i)^3(1\;+\;2i)^4\\=(2\;-\;i)^2(2\;-\;i)\lbrack(1\;+\;2i)^2\rbrack^2\\=\lbrack4\;–\;4i\;+\;i^2\rbrack(2\;-\;i)\lbrack1\;+\;4i\;-\;4\rbrack^2\\=(3\;–\;4i)(2\;-\;i)(-3\;+\;4i)^2\\=(2\;–\;11i)(9\;–\;16\;-\;24i)\\=-278\;-29i\end{array}

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ලබ්ධිය 

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා බෙදීමේදී හරයේ ප්‍රතිබද්ධයෙන් ලවය හා හරය ගුණ කර සුළු කරනු ලැබේ.

Z₁ = x₁ + iy₁                x₁,y₁ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

Z₂ = x₂ + iy₂                x₂,y₂ \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

\begin{array}{rcl}\frac{Z_1}{Z_2}&=&\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}\\&=&\frac{\left(x_1+y_1i\right){\displaystyle\left(x_2-y_2i\right)}}{\left(x_2+y_2i\right){\displaystyle\left(x_2-y_2i\right)}}\\&=&\frac{\lbrack(x_1x_2\;+\;y_1y_2)\;+\;(x_2y_1\;–\;x_1y_2)i\rbrack\;}{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\\&=&\left[\frac{{(x_1x_2\;+\;y_1y_2)}\;}{{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\;}\right]+\left[\frac{{(x_2y_1\;–\;x_1y_2)i}\;}{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\right]\end{array} \begin{array}{l}1.\frac{(2\;+\;3i)}{(3\;–\;5i)}\\=\frac{\lbrack(2\;+\;3i)(3\;+\;5i)\rbrack}{\lbrack(3\;–\;5i)(3\;+\;5i)\rbrack}\\=\frac{(-9\;+\;19i)}{(9\;+\;25)}\\=-\frac9{34}+\frac{19}{34}i\end{array} \begin{array}{l}2.\frac{\lbrack(3\;–\;2i)^2(1\;+\;i)^3\rbrack\;}{\lbrack(4\;–\;2i)(1\;+\;2i)\rbrack}\\=\frac{\lbrack(9\;–\;4\;–\;12i)(1\;+\;2i\;-\;1)(1\;+\;i)\rbrack}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{\lbrack(5\;–\;12i)(2i\;-\;2)\rbrack}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{(14\;+\;34i)}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{(7\;+\;17i)}{(4\;+\;3i)}\\=\frac{\lbrack(7\;+\;17i)(4\;–\;3i)\rbrack}{\lbrack(4\;+\;3i)(4\;–\;3i)\rbrack}\\=\frac{(79\;+\;47i)}{25}\end{array}

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය 

• Z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මාපාංකය mod Z හෝ  |Z| ලෙස සංකේතවත් කරයි.

Z = x + iy   x,y \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

\begin{array}{rcl}\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{\mathrm x^2\;+\;\mathrm y^2}\end{array} \begin{array}{rcl}\mathrm 1.Z\;&=&\;2\;+\;3\mathrm i\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{2^2\;+\;3^2}\\&=&\;\sqrt{13}\\&&\\\mathrm2. Z\;&=&\;3\;-\;4\mathrm i\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{9\;+\;16}\\&=&\sqrt{25}\\&=&5\end{array}

• සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය හා එහි ප්‍රතිබද්ධයේ මාපාංකය සමාන වේ.

Z          = x + iy   x,y \begin{array}{l}\in\\\end{array} R

\begin{array}{l}\left|Z\right|\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2\;}\;\;\;\;\;\leftarrow\;\;\boxed1\\\overline Z\;=\;x\;-\;iy\\\left|\overline Z\right|\;=\;\sqrt{x^2\;+\;(-y)^2\;}\\=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leftarrow\;\boxed2\\\\\boxed1\;=\;\boxed2\\\left|Z\right|\;=\;\left|\overline Z\right|\end{array}

1. Z             = 5 + 6i

\begin{array}{rcl}\left|Z\right|\;&=&\;\sqrt{5^2\;+\;6^2}\\&=&\;\sqrt{61}\\&&\\\overline Z\;&=&\;5\;-\;6\mathrm i\\\left|\overline{\mathrm Z}\right|\;&=&\;\sqrt{5^2\;+\;(-6)^2}\\&=&\;\sqrt{61}\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\left|\overline{\mathrm Z}\right|\end{array}