02.12.03 – ආගන්ඩ් තලය

• තාත්වික අක්ෂය ඉදිරියෙන් අතාත්වික අක්ෂය වූ ද්විමාන තලයක් ආගන්ඩ් තලයක් නම් වේ.

පහත සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කරන්න.

  Z₁ = 3 + 4i,   Z₂ = -2 + 2i,   Z₃ = -1 – 4i,  Z₄ = 2 – 3i

පහත සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කරන්න.

1) Z₁ = 3\lbrack\cos\left(\frac{\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{\mathrm\pi}4\right)\rbrack          2) Z₂ = 2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\rbrack

ආගන්ඩ් තලයේ ජ්‍යාමිතික නිර්මාණ

• Z ඇසුරින් \overline Z නිර්මාණය

• Z ඇසුරින් -Z නිර්මාණය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ධ්‍රැවක නිරූපණය

• Z = r\lbrack\cos\left(\theta\right)\;+\;i\sin\left(\theta\right)\rbrack යනු සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ධ්‍රැවක නිරූපණය නම් වේ.
• r → Z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මාපාංකය වේ. (\left|Z\right|\;=\;r)
• θ→ Z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ විස්ථාරය වේ. (arg(Z) = \theta )

1.Z = 3\lbrack\cos\left(\frac{\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{\mathrm\pi}6\right)\rbrack

\left|Z\right| = 3 ,  arg(Z) = \frac\pi6

2.Z₁ = 5\lbrack\cos\left(\frac{7\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{7\mathrm\pi}6\right)\rbrack

 \left|Z\right| = 5 ,  arg(Z) =\frac{7\pi}6

3.Z = r\lbrack\cos\left(\theta\right)\;+\;i\sin\left(\theta\right)\rbrack

\left|Z\right|\;=\;r , arg(Z) = \theta

විස්තාරයේ ප්‍රධාන පරාසය

                                                                                                                     -\pi<\theta<\pi

                                                                                                                     -180^\circ<\theta<180^\circ

කාටිසීය නිරූපණය ධ්‍රැවක නිරූපනයක් බවට පත් කිරීම 

1.Z₁ = 1 + i , → Z₁ = \sqrt{1^{2\;}+\;1^2}(\frac1{\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}}+\frac{i1}{\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}})

\begin{array}{rcl}\left|Z\right|&=&\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}=\sqrt2\\Z_1&=&\sqrt2\lbrack\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\rbrack\end{array}

2.Z₂ = -\sqrt3\;+\;i\;\rightarrow Z_{2\;}=(\sqrt{\sqrt3^2+1^2})(\frac{-\sqrt3}{\sqrt{\sqrt3^2+1^2}}+\;\frac{1i}{\sqrt{\sqrt3^2+1^2}})

Z₂  = 2\lbrack-\frac{\sqrt3}2+\frac12i\rbrack

Z₂  = 2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\rbrack

3.Z₃  =   -1-i  → Z₃  = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\lbrack\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}-\frac i{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}\rbrack

                                Z₃            = \sqrt2\lbrack\frac{-1}{\sqrt2}+\frac{-1i}{\sqrt2}\rbrack             

                                Z₃            =   \sqrt2\lbrack\cos\left(\pi+\frac\pi4\right)\;+\;i\sin\left(\pi+\frac\pi4\right)\rbrack

                                Z₃            =  \sqrt2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}4\right)\rbrack

                                Z₃            =   \sqrt2\lbrack\cos\left(\frac{-3\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{-3\mathrm\pi}4\right)\rbrack

                                Arg Z₃   =    (\frac{-3\pi}4)

4.Z₄   = 1 – \sqrt3i\;\left|Z_4\right|=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt3\right)^2}=2

                Z₄ = 2\lbrack\frac12-\frac{\sqrt3i}2\rbrack

\begin{array}{rcl}Z_4&=&2\left[\cos\left(-\frac\pi6\right)-\sin\left(-\frac\pi6\right)\right]\end{array}

Z1 හා Z2 සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යා කරන රේඛාවට m ට l අනුපාතයෙන් අභ්‍යන්තරව බෙදෙන ලක්ෂ්‍ය සෙවීම 

Z₁ = x₁ + iy₁         Z₂ = x₂ + iy₂       \overline Z=\overline x+i\overline y                                                                                                                      

\begin{array}{rcl}&&\frac{PR}{RQ}\end{array} = \frac\mu\lambda

QRT හා QRS \triangle සමරූපි වේ

\begin{array}{rcl}\frac{PS}{RT}&=&\frac{PR}{RQ}\end{array}වේ

\frac{\overline x-x_1}{x_2-\overline x}=\frac\mu\lambda\\ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\lambda(\overline x-x_1)&=&\mu(x_2-\overline x)\\x(\lambda+\mu)&=&\mu x_2+\lambda x_1\\x&=&\frac{(\mu x_2+\lambda x_1)}{(\lambda+\mu)}\end{array}\end{array}

එලෙසම,\begin{array}{rcl}\frac{RS}{QT}&=&\frac{PR}{RQ}\end{array} අනුව ,

\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm y}\;&=&\frac{\;\left({\mathrm{μy}}_2\;+\;{\mathrm{λy}}_1\right)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\\\overline{\mathrm Z}&=&\;\left(\frac{{\mathrm{μx}}_2\;+\;{\mathrm{λx}}_1}{\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu}\right)\;+\;\mathrm i\left(\frac{{\mathrm{μy}}_2\;+\;{\mathrm{λy}}_1}{\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu}\right)\;\\\overline{\mathrm Z}&=&\frac{\mathrm\lambda({\mathrm x}_1+{\mathrm{iy}}_1)\;+\;\mathrm\mu({\mathrm x}_2+{\mathrm{iy}}_2)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\end{array}

\\\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm Z}\;&=&\frac{\;\left({\mathrm{μZ}}_1\;+\;{\mathrm{λZ}}_2\right)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\\&&\end{array}

Z ඇසුරින් \begin{array}{l}\mathrm{λZ}\\\end{array} නිරූපණය වන ලක්ෂය  නිර්මාණය \begin{array}{l}\left(\mathrm\lambda\in\mathrm R\right)\\\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\;2\left[\cos\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)\right]\;\Rightarrow\;2\mathrm Z\;=\;4\left[\cos\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)\right]\\\end{array}

ඉහත ප්‍රතිඵලය සාධනය කිරීම

\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\mathrm x\;+\;\mathrm{iy}\end{array}\\\mathrm Z'\;=\;\mathrm x'\;+\;\mathrm{iy}'\\\mathrm x,\mathrm y\;\in\;\mathrm R\;\mathrm x',\mathrm y'\;\in\;\mathrm R \begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathrm{OP}:\mathrm{OQ}\;=\;1:\mathrm\lambda\\\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OQ}}\;=\;\frac1{\mathrm\lambda}\\\mathrm{OQ}\;=\;\mathrm{λOP}\end{array}\\\mathrm{OPS}\;\triangle\;\mathrm{හා}\;\mathrm{OQR}\;\triangle\;\mathrm{සමකෝණී}\;\mathrm{වේ}.\\\mathrm{එබැවින්}\;\frac{\mathrm x'}x=\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OR}}\;\Rightarrow\mathrm x'\;=\;\mathrm{λx}\\\frac{\mathrm y'}y\;=\;\frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}\;\Rightarrow\;\mathrm x'\;=\;\mathrm{λx}\\\therefore\mathrm Z'\;=\;\mathrm x'\;+\;\mathrm y'\mathrm i\;=\mathrm{λx}\;+\;\mathrm{λyi}=\mathrm\lambda(\mathrm x+\mathrm{yi})=\mathrm{λZ}\end{array}

\begin{array}{l}{\mathrm Z'\;=\;\mathrm{λZ}}\\\\\end{array}

Z₁ හා Z₂ ඇසුරින් Z₁+Z₂ නිරූපණය වන ලක්ෂය ලබා ගැනීම

Z₁ = x₁ + iy₁     Z₂ = x₂ + iy₂     Z’ = x’ + iy’

 

නිර්මාණය

1. OP_1 හා OP_2 යා කරන්න.
2. P_{1,}P_2 ගේ මධ්‍ය ලක්ෂය N ලෙස ලකුණු කරන්න. ON යා කරන්න.
3. ON = NP වන පරිදි ON රේඛාව P තෙක් දික්කරන්න .

විකර්ණ සම්ඡේදනය වීමේ ගුණය අනුව OP_1PP_2 සමාන්තරාශ්‍රයකි.

\begin{array}{l}\mathrm{Re}(P)\;=\frac{\mathrm x'\;+\;0}2\;=\;\frac{{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2}2\\\therefore{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2\;=\;\mathrm x'\\\mathrm{Re}(P)\;=\;\frac{\mathrm y'\;+\;0}2\;=\;\frac{{\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2}2\\\therefore{\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2\;=\;\mathrm y'\\{\therefore\mathrm Z'\;=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2\;+\;\mathrm i({\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2})\\\mathrm Z'\;=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm{iy}}_2\;+\;{\mathrm x}_2\;+\;{\mathrm{iy}}_2\end{array}
Z’=Z1+Z2

Z₁ හා Z₂ ඇසුරින් Z₁ – Z₂ නිරූපණය වන ලක්ෂය ලබා ගැනීම

Z₁ = x₁ + iy₁     Z₂ = x₂ + iy₂    Z’ = x’ + iy’

නිර්මාණය

1. P_1P_2 යා කරන්න.
2. P_1P_2 ට  සමාන හා සමාන්තර රේඛාවක් O හි සිට තාත්වික අක්ෂයෙන් ඉහලට අඳින්න. (P_1P_2 = OP හා P_1P_2 // OP)

සම්මුඛ පාද සමාන හා සමාන්තර වීම අනුව OPP_1P_2 සමාන්තරාශ්‍රයකි.

\begin{array}{l}\mathrm{Re}(\mathrm P)\;=\;\frac{\mathrm x'\;+\;{\mathrm x}_2}2\;=\;\frac{x_1\;+\;0}2\\\mathrm x'\;=\;{\mathrm x}_1\;-\;{\mathrm x}_2\\\mathrm{Im}(P)\;=\;\frac{\mathrm y'\;+\;{\mathrm y}_2}2\;=\;\frac{{\mathrm y}_2\;+\;0}2\\\;\mathrm y'\;=\;{\mathrm y}_1\;-\;{\mathrm y}_2\\\begin{array}{l}\therefore P\;=\;\mathrm Z'\;=\;\mathrm x'\;+\;{\mathrm{iy}}_1\\=\;{\mathrm x}_1\;-\;{\mathrm x}_2\;+\;\mathrm i({\mathrm y}_1\;-\;{\mathrm y}_2)\\=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm{iy}}_1\;-\;({\mathrm x}_2\;+\;{\mathrm{iy}}_2)\;\end{array}\end{array}
Z’=Z1-Z2

පථ

• නිශ්චිත නියමයකට අනුව ආගන් තලයේ විචල්‍ය සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ගමන් මාර්ගය පථයක් ලෙස හැඳින්වේ.
• මූලිකව ප්‍රධාන අවස්ථා 2 ක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

1.මාපාංකය ආශ්‍රිත පථ

2.විස්තාරය ආශ්‍රිත පථ

” Pure Mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.”
-Albert Einstein-