02.12.04 – මාපාංකය ආශ්‍රිත පථ

• මාපාංකය ආශ්‍රිත පථ සෙවීමේ ප්‍රධාන ක්‍රම 2 කි.

 1.වීජීය ආකාරය

 2.ජ්‍යාමිතික ආකාරය

වීජීය ආකාරය

• \begin{array}{l}\mathrm x^2\;+\;\mathrm y^2\;=\;\mathrm r^2\\\end{array}

කේන්ද්‍රය-(0,0), අරය-r වූ වෘත්තයකි.

• (x-a)²+(y-b)²=r²

කේන්ද්‍රය-(a,b), අරය-r වූ වෘත්තයකි.

උදා:-(x+3)²+(y-2)²=4²

         කේන්ද්‍රය =(-3,2)

          අරය =4

වීජීය ආකාරයේදී z = x+iy ලෙස ගෙන පථයේ ජ්‍යාමිතික සමීකරණය සොයනු ලැබේ.

1.|z|= 5                                                                  

z = x + iy

\begin{array}{l}\left|\mathrm Z\right|\;=\;\sqrt{\mathrm x^2\;+\;\mathrm y^2}\;=\;5\\\\\end{array}

X²+y²=25

•    එම නිසා z හි පථය කේන්ද්‍රය (0,0), අරය 5 වූ වෘත්තයකි.
•    ඉන් පසු අරය 5 වූ කේන්ද්‍රය (0,0) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

2.|z-4|=2

z = x + iy

\begin{array}{l}\left|\mathrm x\;+\;\mathrm{iy}\;-\;4\right|\;=\;\sqrt{(\mathrm x\;-\;4)^2\;+\;\mathrm y^2\;}\;=2\\\\\end{array}

(x-4)²+ (y-0)² =4

•   එම නිසා z හි පථය කේන්ද්‍රය (4,0), අරය 2 වූ වෘත්තයකි.
•   ඉන් පසු අරය 2 වූ කේන්ද්‍රය (4,0) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

3.|z-3i| =2

\begin{array}{l}\left|\mathrm x\;+\;\mathrm{iy}\;-\;3\mathrm i\right|\;=\;\sqrt{\mathrm x^2\;+\;(\mathrm y-3)^2\;}\;=2\\\\\end{array}

          (x-0)²+ (y-3)² =4

•   එම නිසා z හි පථය කේන්ද්‍රය (0,3), අරය 2 වූ වෘත්තයකි.
•   ඉන් පසු අරය 2 වූ කේන්ද්‍රය (0,3) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

4.|z-5-5i| =4

\begin{array}{l}\left|\mathrm x\;+\;\mathrm{iy}\;-5\;-\;5\mathrm i\right|\;=\;\sqrt{(\mathrm x-5)^2\;+\;(\mathrm y-5)^2\;}\;=4\\\\\end{array}

      (x-5)² +(y-5)² = 4²

•   එම නිසා z හි පථය කේන්ද්‍රය (5,5), අරය 4 වූ වෘත්තයකි.
•   ඉන් පසු අරය 4 වූ කේන්ද්‍රය (5,5) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

“I tell you, with complex numbers you can do anything.”
-John Derbyshire

ජ්‍යාමිතික ආකාරය

1.|z| =5

   |z-0|=5                                                         

   |z-(0+0i)|=5  (මේ ආකාරයට සකස් කර ගැනීම මගින් පථය ඇඳීම වඩාත්  පහසු කරයි.)

  කේන්ද්‍රය= 0+0i (ඍණ ලකුණින් පසුව ඇති කොටස කේන්ද්‍රය ලෙස ගන්න.)

  අරය =5

  ඉන් පසු අරය 5 වූ කේන්ද්‍රය (0,0) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

2.|z-4| =2

   |z-(4+0i)|=2      (මේ ආකාරයට සකස් කර ගැනීම මගින් පථය ඇඳීම වඩාත් පහසු කරයි.)                                       

   කේන්ද්‍රය=4+0i

   අරය =2

  ඉන් පසු අරය 2 වූ කේන්ද්‍රය (4,0) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

3.|z+3|=4

   |z-(-3+0i)|=4                                                

   කේන්ද්‍රය= -3+0i

   අරය =4

   ඉන් පසු අරය 4 වූ කේන්ද්‍රය (-3,0) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

4.|z-3i|=2

   |z-(0+3i)|=2                                                 

  කේන්ද්‍රය= 0+3i

  අරය =2

  ඉන් පසු අරය 2 වූ කේන්ද්‍රය (0,3) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

5.|z-5-5i|=4

   |z-(5+5i)| =4                                                    

  කේන්ද්‍රය= 5+5i

  අරය =4

  ඉන් පසු අරය 4 වූ කේන්ද්‍රය (5,5) වූ වෘත්තයක් ආගන්ඩ් තලය මත අඳී.

අසමානතා ආගන්ඩ් තලයක දැක්වීම

1.\begin{array}{l}\left|\mathrm Z\;-\;3\right|\;\leq\;2\\\end{array}

•     පළමුව |z-3| =2 ලෙස ගන්න.
•     එමගින් z හි පථය නිර්මාණය කරන්න.
•    මෙහිදී සමාන අවස්ථාවද සලකන නිසා z හි පථය තනි ඉරෙන් අදින්න.
•     2 ට වඩා කුඩා නිසා ලැබෙන වෘත්තයේ ඇතුල් පැත්ත පාට කරයි.

2.|z-3| < 2

•    මෙහි සමාන අවස්ථාව නොසලකා ඇති නිසා z හි පථය කඩ ඉරි මගින් ඇදීම  සිදුකරයි.

3.\begin{array}{l}1\leq\left|\mathrm Z\;-\;2\right|\;\leq\;3\\\end{array}

    |z-2|=1               හා |z-2| =3 ලෙස ගන්න.

    කේන්ද්‍රය=(2,0)   හා කේන්ද්‍රය=(2,0)

    අරය =1                 හා අරය =3

•  දැන් z හි පථයන් එකම රූප සටහනක අදින්න.
•  අවස්ථා දෙකෙහිදීම සමානතාවය සලකා ඇති නිසා z හි පථ තනි ඉරෙන් අඳී.
•  z ,1ට වඩා වැඩි හා 3ට වඩා අඩු නිසා වෘත්ත දෙක අතර ප්‍රදේශය පාට කරයි.

4. \begin{array}{l}1<\left|\mathrm Z\;-\;1\right|\;\leq\;3\\\end{array}

      |z-1| =1                         |z-1|=3

      කේන්ද්‍රය =(1,0)          කේන්ද්‍රය =(1,0)

      අරය= 1                           අරය= 3

•  දැන් z හි පථයන් එකම රූප සටහනක අදින්න.
• පළමු අවස්ථාවේදී සමානතාවය නොසලකා ඇති නිසා එම වෘත්තය කඩ ඉරි මගින් අඳී.
• දෙවන අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා ඇති නිසා එම වෘත්තය තනි ඉරි මගින් අඳී.
• z ,1ට වඩා වැඩි හා 3ට වඩා අඩු නිසා වෘත්ත දෙක අතර ප්‍රදේශය පාට කරයි.