කලනය පිළිබද දැනුම භාවිතයෙන් පිළිතුර සෙවීමට ඔබටත් පුළුවන්ද?

9^{10} හා 10^9 සංඛ්‍යා දෙකෙන් වඩා විශාල සංඛ්‍යාව කුමක්ද? අගයන් ගණන කිරීමෙන් තොරව කලනය පිළිබද දැනුම භාවිතයෙන් පිළිතුර සෙවීමට ඔබටත් පුළුවන්ද?

 මෙම සංඛ්‍යා දෙකේ විශේෂත්වයක් ඔබට පෙනෙනවාද? දර්ශකය හා පාදය මාරු වෙලා නේද තියෙන්නේ? එවැනි සංඛ්‍යා දෙකකින් වඩා විශාල සංඛ්‍යාව හොයන පහසු විදියක් ගැන කියන්න තමයි දැන් හදන්නේ.
ඒ තමයි, a^b හා b^a කියන සංඛ්‍යා දෙකේ e\;\leq\;a\;<\;b\; නම්, a^b>b^a වේ.
දැන් අපි මේ සම්බන්ධය ගත්ත විදිය බලමු.

a^b>b^a⤇a^\frac1a>b^\frac1b

y=x^\frac1x ලෙස ගනිමු.

\begin{array}{rcl}\ln\;y&=&\ln\;x^\frac1x\\ln\;y&=&\frac1x\ln\;x\end{array}

දැන් අපි මෙම ප්‍රකාශය x විෂයයෙන් අවකලනය කරමු.

\begin{array}{rcl}\frac1y\frac{dy}{dx}&=&\frac1x.\frac1x+\ln x(-\frac1{x^2})\\\frac{dy}{dx}&=&\frac1{x^2}.\;x^\frac1x(1-\ln x)\end{array}

මෙහි, \begin{array}{rcl}x\;&\neq&0\end{array} නිසා \begin{array}{rcl}\frac{dy}{dx}&=&0\end{array} වෙන්නේ ln x = 1 වූ විටයි.එනම්, x = e වන විටයි.

එනම්, x = e වන විට ශ්‍රිතය උපරිම අගයක් ගනී .එම උපරිම අගය = \begin{array}{rcl}&&e^\frac1e\end{array} වේ.

දැන් අපි y=x^\frac1x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්තාරය නිර්මාණය කරලා බලමු.

මෙහි Aලක්ෂයෙන් පෙන්වා ඇත්තේ x = e වන ශ්‍රිතයේ උපරිම ලක්ෂයයි.

∴ \;x\;\geq\;e වන \;x^\frac1x අගය ප්‍රස්තාරයට අනුව ක්‍රමයෙන් අඩු වී යයි.

ඒ අනුව, e\;\leq\;a\;<\;b\; නම්, වන විට a^\frac1a>b^\frac1b,වන බව පැහැදිලි වේ.එනම්, a^b>b^a වේ.

එලෙසම, e\;\leq\;9\;<\;10 වන නිසා, 9^{10}>10^9 වන බව පැහැදිලි වේ.

මේ අනුව, ඉලක්කම් දෙකක් පාදය හා දර්ශකය මාරු කර දී ඇති සංඛ්‍යා දෙකකින් වඩා විශාල සංඛ්‍යාව කුමක්දැයි විමසුවහොත් ඔබ මේ ලබා ගත් දැනුම භාවිතයෙන් පාදය කුඩා වන සංඛ්‍යාව වඩා විශාල වන බව ඔබට තත්පරයක් යන්න කලින් කියන්න පුළුවන් නේද?

2020^{2021} හා 2021^{2020} සංඛ්‍යා දෙකෙන් වඩා විශාල මොකක්ද කියලා දැන් ඔයාලට ටක් ගාලා කියන්න පුළුවන් නේද?