03.05.00- නිව්ටන් නියම

 සංයුක්ත ගණිතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න)  12 a) ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ. 

හැදින්වීම

බලය

නිශ්චලතාවේ ඇති වස්තුවකට චලිතයක් අති කල හැකි හෝ චලනයක් ඇති කිරීමට යත්න දැරිය හැකි හෝ චලනය වන වස්තුවක චලිත ස්වාභාවය වෙනස් කිරීමට හෝ හැකියාව ඇත්තා වූ බාහිර කාරකය ‘ බලය ‘ ලෙස අර්ථ දක්වනු ලැබේ.

බලය මැනීමේ අන්තර්ජාතික (SI) ඒකකය ‘ නිව්ටන් (N) ‘ යි.

1 kg ස්කන්ධයක් මත යම්කිසි දිශාවකට 1 ms^-2 ක ත්වරණයක් ලබා දීමට එම දිශාවටම යෙදිය යුතු බලය නිව්ටන් එකක් ලෙස අර්ථ දක්වනු ලැබේ. මෙය බලය මැනීමේ නිරපේක්ෂ ඒකකය යි.

ස්කන්ධය

වස්තුවක් මත බලයක් ක්‍රියා කරන විට එම බලය කෙරෙහි වස්තුව විසින් දක්වන ප්‍රතිචාරයේ ප්‍රමාණය එහි ස්කන්ධය ලෙස අර්ථ දක්වනු ලැබේ.

රේඛීය ගම්‍යතාවය

චලනය වන වස්තුවක ස්කන්ධයේ සහ ප්‍රවේගයේ ගුණිතය එහි රේඛීය ගම්‍යතාවය ලෙස අර්ථ දක්වනු ලැබේ.

එනම්, m ස්කන්ධයෙන් යුත් වස්තුවක් v ප්‍රවේගයකින් චලනය වන විට එහි රේඛීය ගම්‍යතාවය mv වේ.

m අදිශයක් ද v දෛශික රාශියක් ද නිසා mv දෛශික රාශියක් වේ.

mv // v බැවින්, රේඛීය ගම්‍යතාව ප්‍රවේගයේ දිශාවට වූ දෛශිකයකි.

රේඛීය ගම්‍යතාව = ස්කන්ධය × ප්‍රවේගය

∴ රේඛීය ගම්‍යතාවයේ මාන = M×LT^-1 = MLT^-1

                    ඒකක = kgms^-1

අවස්ථිති රාමුව

පොළවට සාපේක්ෂව නිශ්චලව පවතින හෝ ඒකාකාර ප්‍රවේගයකින් චලනය වන රාමුවක් අවස්ථිතික රාමුවක් ලෙස හදුන්වනු ලැබේ.

සාමාන්‍යයෙන් පොළව මතුපිට සිදුවන චලිත සදහා පොළව අවස්ථිති රාමුව ලෙස සලකනු ලැබේ.

චලිතය පිළිබද නිව්ටන් නියම

නිව්ටන් නැමැති විද්‍යාඥයා ( 1686 ) විසින් චලිතය පිළිබඳ නිව්ටන් නියම තුනක් ඉදිරිපත් කර ඇත.

1. වස්තුවක් මත බාහිර සම්ප්‍රයුක්ත බලයක් ක්‍රියා නොකරන්නෙ නම්, එම වස්තුව නිශ්චලතාවෙහි පවතී. නැතහොත් සරල රේඛාවක් දිගේ ඒකාකාර ප්‍රවේගයකින් චලනය වේ. මෙය වෙනස් කල හැක්කේ බාහිර බලයකට පමණි.
2. වස්තුවක් මත බාහිර බලයක් ක්‍රියාකිරීම හේතුවෙන් එම වස්තුවේ ඇතිවන රේඛීය ගම්‍යතා වෙනස් වීමේ සීඝ්‍රතාවය එම බාහිර බලයට අනුලෝමව සමානුපාතික වන අතර බලය ක්‍රියා කරනු ලබන දිශාවට ගම්‍යතා පරිවර්තනය ද ඇති වේ.
3. සෑම ක්‍රියාවකටම විශාලත්වයෙන් සමාන වූ ද දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ වූ ද ප්‍රතික්‍රියාවක් ඇත.

නිව්ටන් ගේ පළමුවැනි නියමයෙන් ‘ බලය ‘ යන්නට නිශ්චිත අර්ථ දැක්වීම ලැබේ. දෙවැනි නියමයෙන් බලයක විශාලත්වය අර්ථ දැක්වේ.

නිව්ටන්ගේ දෙවෙනි නියමයේ සෛද්ධාන්තික ආකාරය

 ප්‍රවේගයෙන් චලනය වන ස්කන්ධය m වූ වස්තුවක් මත බලයක් යෙදූවිට , δt කාලයකදී ප්‍රවේගය v+ δv  දක්වා වෙනස් වේ යැයි ගනිමු.

ආරම්භක ගම්‍යතාවය  =  mv             අවසාන ගම්‍යතාවය  =  m(v+ δv )

∴ ගම්‍යතා වෙනස  =  m(v+ δv ) – mv   =  mδv  යැයි ගනිමු.

ගම්‍යතා පරිවර්ථනයේ සීඝ්‍රතාවය  =  m(δv /δt)

මෙය δt කාලයක් තුළ ගම්‍යතා පරිවර්තනයේ සීඝ්‍රතාවය යි. δt යනු ඉතා කුඩා කාලයකි. කාලය t වන මොහොතේ දී ගම්‍යතා පරිවර්තනයේ සීග්‍රතාවය

\lim_{\delta t\rightarrow0}m(\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt})=m\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}=m\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}

නිව්ටන්ගේ දෙවෙනි නියමය අනුව, F α m\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}  මෙය  F= km\frac{\operatorname dv}{\operatorname dt}  ලෙස ලිවිය හැකිය.

මෙහි k යනු සමානුපාත නියතය යි.

තව ද,  =   (වස්තුවේ ත්වරණය)  ⇒   F= kma

k = 1 වන සේ බලයේ ඒකක අර්ථ දක්වමු.

නිව්ටනයේ අර්ථ දැක්වීම අනුව, m = 1 kg ,  a= 1 ms^-2 , F = 1 N වේ.

එවිට, 1 = k × 1 × 1 ⇒  k = 1

∴F=ma  

මෙය නිව්ටන්ගේ දෙවෙනි නියමයේ සෛද්ධාන්තික ආකාරය යි.

බලයේ මාන  =  ස්කන්ධයේ මාන × ත්වරණයේ මාන  =  M × LT^-2  =  MLT^-2 වේ.

සැ.යු :-

F= ma සමීකරණය යෙදීමේ දී, බලය N, ස්කන්ධය kg හා ත්වරණය ms^-2 යන ඒකක වලින් ම යෙදිය යුතු ය.

• වස්තුවක් ඔස්සේ බල කිහිපයක් ක්‍රියා කරන විට, ඒ එක් එක් බලය එකිනෙකින් ස්වායත්තව, ගම්‍යතා පරිවර්තන ඒ එක් එක් දිශාවට ඇති කරයි. මෙම ගම්‍යතා පරිවර්ථන වල දෛශික ඓක්‍යයෙන් සම්ප්‍රයුක්ත ගම්‍යතා පරිවර්තන ලබා ගත හැකි ය.
• F=ma යනු ක්ෂණික සමීකරණය කි. යම් චලිතයකට කිසියම් මොහොතක් සදහා මෙම සමීකරණය යෙදිය හැකි ය.
• ත්වරණය ඇති වන්නේ බලය යෙදූ දිශාවට යි.
•  බලය ඕනෑම දිශාවකට විභේදනය කර සමීකරණය යෙදිය හැකි ය.
• F= ma සමීකරණය භාවිතයේදී එය යොදන්නේ කුමන වස්තුවට ද සහ කුමන දිශාවට ද යන්න සදහන් කළ යුතුය.

පොළවේ ගුරුත්වාකර්ෂණය නිසා ඕනෑ ම වස්තුවක් පොළව දෙසට ආකර්ෂණය කරන බලයක් ඇති වේ. මෙය වස්තුවේ බර ලෙස හදුන්වනු ලැබේ.ගුරුත්වාකර්ෂණය g නම්, F=ma සමීකරණය අනුව, m ස්කන්ධයක් පොළව දෙසට ආකර්ෂණය කර ගන්නා බලය mg වේ.

∴ m ස්කන්ධය සහිත වස්තුවක බර = mg

වෙනත් ස්ථානයක දී ගුරුත්වජ ත්වරණය g’ නම්, එම ස්ථානයේදී එම වසතුවේ බර  = mg’

∴ වස්තුවක ස්කන්ධය නියතයක් වන අතර එය පිහිටි  ස්ථානය අනුව එහි බර වෙනස් විය හැක.

බලය මැනීමේ නිරපේක්ෂ ඒකකය ‘ නිව්ටනය ‘ බව ඉහත සදහන් විය. බලය මැනීමේ ගුරුත්වාකර්ෂණ ඒකකය ‘ කිලෝග්‍රෑම් බර ‘ වේ. එනම් පොළවේ ගුරුත්වාකර්ෂණය නිසා ස්කන්ධයක් පොළව දෙසට ඇදගන්නා බලය යි.

සෑම ක්‍රියාවකටම විශාලත්වයෙන් සමාන හා දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රතික්‍රියාවක් ඇති බව නිව්ටන්ගේ තුන්වැනි නියමයෙන් කියැවේ.

උදා :- මේසය මත නිශ්චලව ඇති වස්තුවක්

වස්තුවක් විසින් මේසය මත ඇතිකරන බලය ක්‍රියාවද, මේසය විසින් වස්තුව වෙත ඇති කරන බල ප්‍රතික්‍රියාව ද වේ.

 

 F = m a  සමීකරණයේ භාවිත

නිදසුන 1

8 kg ස්කන්ධයක් මත 16 N බලයක් ක්‍රියාකල විට වස්තුවේ ඇති වන ත්වරණය සොයන්න.

m = 8 kg,  F= 16 N,  

F= ma  ⇒16 = 8a   ⇒   = 2

∴ ත්වරණය = 2 ms^-2

නිදසුන 2

ස්කන්ධය 60 kg වූ මිනිසෙක් ආරෝහකයක් මත සිටී. ආරෝහකය නියත ත්වරණයකින් ඉහළට ගමන් කරන විට මිනිසා හා ආරෝහකය අතර ප්‍රතික්‍රියාව 900 N නම්, ආරෝහකයේ ත්වරණය සොයන්න.

මිනිසා මත ක්‍රියා කරන බල :-

මිනිසා වෙත ↑  F= ma  යෙදීමෙන්,

  ↑  900 – 600 = 60a

                300 = 60a

                    a= 5

∴ ආරෝහකයේ ත්වරණය =  ↑ 5 ms^-2

නිදසුන 3

එන්ජිමක් ක්‍රියා විරහිත කොට ඇති විට 100 : 1 ක ආනතියකින් යුත් කන්දක් නියත ප්‍රවේගයකින් බසින දුම්රියක ස්කන්ධය 600 kg වේ.

1. කන්දේ දී දුම්රියේ චලනයට ඝර්ෂණය නිසා යෙදෙන ප්‍රතිරෝධ බලය සොයන්න.
2. සම බිමේ දී ද මෙම ප්‍රතිරෝධ බලය ම හා 100 N ක ප්‍රකර්ෂණ බලයක් යෙදේ නම්, දුම්රිය සම බිමේ ගමන් කරන ත්වරණය සොයන්න.

g = 10 ms^-2 ලෙස ගනිමු. ප්‍රකර්ෂණ බලය යනු දුම්රිය එන්ජිම මගින් යොදන බලය යි. එන්ජිම ක්‍රියා විරහිත කර ඇති බැවින් කන්දේදී ප්‍රකර්ෂණ බලය ශුන්‍ය වේ.

කන්දේදී දුම්රියේ චලනයට විරුද්ධව යොදන බලය R යැයි ගනිමු. දුම්රිය ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන් ගමන් කරන බැවින්  a = 0 වේ.

1. රථයට ලම්භක දිශාවට  F = ma  යෙදීමෙන්,

            6000 sinθ’ – R = 600 × 0

 

100 : 1 ආනතියක් යනු θ’ ආනත තලයක sinθ’අගය යි.

එනම්, sinθ’ =1/100

∴ 6000 × 1/100 – R = 0

                            R = 60 N

→  F=ma  යෙදීමෙන්

100 – 60 = 600 × a

            a =1/15

∴ සමබිමේදී ත්වරණය =\frac1{15}  ms^-2

නිදසුන 4

ස්කන්ධය 17 kg වූ වස්තුවක් තිරසට \theta කින් ආනත, රළු තලයක් මත නිශ්චලතාවයේ සිට මුදා හරිනු ලැබේ. එහි ත්වරණය 5 ms^-2 නම්, වස්තුව හා තලය අතර ඝර්ෂණ සංගුණකය සොයන්න.

F = ma  චලිත දිශාවට ලම්භක බැවින් එම දිශාවට a = 0 වේ.

R – 170 cosθ’= 0

                  R = \frac{170\times1}{\surd5}

                  R =  \frac{170\times1}{\surd5} N

 චලිත දිශාවට F= ma යෙදීමෙන්,

\begin{array}{l}170\;\sin\theta\;-\mu R\;=\;17\times5\\170\times\dfrac2{\sqrt5}-\mu\dfrac{170}{\sqrt5}=17\times5\\\dfrac{20}{\sqrt5}-\dfrac{10}{\sqrt5}\mu=5\\\mu=\dfrac{4-\sqrt5}2\end{array}

 

නිදසුන 5

• ස්කන්ධය 500 kg වන මෝටර් රථයක් 0.2 ms^-2 ත්වරණයකින් තිරසට 30° ආනත කන්දක් නම් රථයේ චලනයට විරද්ධව යොදන ප්‍රතිරෝධ බලය 1000 N නම්, දුම්රියේ ප්‍රකර්ෂණ බලය සොයන්න.

දුම්රියේ ප්‍රකර්ෂණ බලය P නම්,

      චලිත දිශාවට   F= ma  

P – 1000 – 5000 sin30° = 500 × 0.2

     P – 1000 – 5000 ×  = 100

                       P – 3500 = 100

                                   P = 3600 N

නිදසුන 6

• 20 ms^-1 ප්‍රවේගයකින් ධාවනය වන ස්කන්ධය මෙට්ට්‍රික්ටොන් 500 ක් වන දුම්රියක්, එයට යෙදිය හැකි සම්පූර්ණ තිරිංග බලය යොදා දුම්රිය පොළක නතර කිරීමට නම් දුම්රිය පොළට 200 m දුරකදී තිරිංග යෙදිය යුතුය. දුම්රියේ චලිතයට යෙදෙන ප්‍රතිරෝධී බලය මෙට්ට්‍රික් ටොන් එකට 100 N වේ. දුම්රියේ තිරිංග බලය සොයන්න.

1 මෙට්ට්‍රික් ටොන් = 1000 kg

සම්පූර්ණ තිරිංග බලය F විට,

u = 20 ms^-1, v = 0, s = 200 m

මන්දනය (-a) නම්,

     → v² = u² + 2as

0 = 400 – 2a × 200

a = 1 ms^-2

                          →  F= ma

F + (100 × 500) = 500 × 10³ × 1

                       F = 450 000 N

∴ දුම්රියේ තිරිංග බලය = 450 000 N

කප්පි හා කුඤ්ඤ

 F= ma  සමීකරණය යෙදිය හැකි වන්නේ අවස්ථිති රාමුවකට සාපේක්ෂව පමණි. එබැවින් කප්පි/කූඤ්ඤ චලිත වන අවස්ථා වලදී අංශුවල චලිතයට, කප්පිටය / කුඤ්ඤයට සාපේක්ෂව සමීකරණ යෙදිය නොහැකිය. එනම් ඒවායේ පොළවට සාපේක්ෂව චලිතය සැලකිය යුතුය.

එනම්, F= ma  සමීකරණය යෙදීමේදී a යනු පොළොවට සාපේක්ෂව ත්වරණය විය යුතුය.

උදාහරණ 1

සුමට අචල කප්පියක් මතින් ගමන් කරන සැහැල්ලු, අවිතන්‍ය තන්තුවක එක් කෙළෙවරක් m ස්කන්ධයකට ද අනෙක් කෙලවර සැහැල්ලු සුමට සචල කප්පියකටද සම්බන්ධ කර තිබේ. සචල කප්ප්පිය වටා යන තන්තුවක දෙකෙලවරට m₁ හා m₂ වන අංශු 2 ක් අමුණා ඇත.

තන්තු දෙකේ ආනති T₁ , T₂ යැයි ගනිමු.

m ස්කන්ධය a₁ ත්වරණයකින් ඉහළට චලනය වේ යැයි ගනිමු.

a_m,E = ↑ a₁

එවිට B කප්පිය a₁ ත්වරණයෙන් පහළට චලනය වේ.

 a_B,E = ↓ a₁

m₁ , m₂ අංශුවල B කප්පියට සාපේක්ෂව ත්වරණය a₂ යැයි ගනිමු.

 a_m1,B = ↑  a₂              a_m2,B =  ↓ a₂

_{සාපේක්ෂ ත්වරණ මූලධර්මයෙන්,}

 a_m1,E =  a_m1,B +  a_B,E = ↑ a₂ + ↓ a₁ = ↑ (a₂ – a₁)

 a_m2,E =  a_m2,B +  a_B,E = ↓ a₂ + ↓ a₁ = ↓ (a₂ + a₁)

උදාහරණ 2

තිරස් තලයක් මත තබා ඇති M ස්කන්ධයක් සහිත සුමට කුඤ්ඤයක තිරසට α කෝණයක් ආනත මූණත මත ස්කන්ධය m වන අංශුවක් තබා ඇති අවස්ථාව සලකමු.

අංශුව තලයට සමාන්තර දිශාවට ත්වරණය a₁ යැයි ගනිමු. මෙය කුඤ්ඤයට සාපේක්ෂව අංශුවේ ත්වරණය යි.

a_m,M = ↙ a₁

කුඤ්ඤය එය තබා ඇති තලය දිගේ චලනය වීමට නිදහස ඇත්නම් එහි ත්වරණය → a₂  යැයි ගනිමු. මෙය පොළොවට සාපේක්ෂව කූඤ්ඤයේ ත්වරණයයි.

 a_M,E = → a₂

∴  අංශුවට  F= ma  සමීකරණය යෙදීම සදහා පොළවට සාපේක්ෂව අංශුවේ ත්වරණය සොයමු.

 a_m,E =  a_m,M +  a_M,E

           = ↙a₁ + → a₂

 

කප්පි සම්බන්ධ සාපේක්ෂ ත්වරණය

කප්පි පද්ධතියක් තුල සචල කප්පියක් (චලනය වන කප්පියක්) පවතී. එවැනි කප්පි පද්ධතියක චලිතය සාපේක්ෂ ත්වරණය ඇසුරින් විස්තර කෙරේ.

f₁ – සචල කප්පියට සාපේක්ෂව 2 kg හා 3 kg අංශුවල ත්වරණය

f₂ – පොපොළවට සාපේක්ෂව 10 kg අංශුවේ සචල කප්පියේ ත්වරණය

 F= ma යෙදීම

2 kg ට   ↑ T₂ – 20 = 2( f₁ + f₂ ) →\boldsymbol①

3 kg ට   ↓ 30 – T₂ = 3( f₁ – f₂ ) →\boldsymbol②

සචල කප්පිය   ↑ T₁ – 2T₂ = 0( f₂ ) →\boldsymbol③

10 kg ට   ↓ 100 – T₁ = 10 f₂ →\boldsymbol④

f₁ = 100/37 ms^-1            f₂ = 130/37 ms^-1

T₁ = 2400/37 N              T₂ = 1200/37 N

නිදසුන 1

රූප සටහනින් නිරූපණය වන්නේ අචල සුමට තිරස් මේසයක් මත වන m ස්කන්ධයෙන් යුත් වස්තුවක් m^/ ස්කන්ධයෙන් යුත් E අංශුවක් යා කෙරෙන ABCDE ලුහු අවිතන්‍ය තන්තුව සමග කුඩා කප්පිවල සැකසුමකි. B හා D යන අචල සුමට කප්පි උඩින් තන්තුවක් යවා ඇත. C තන්තුවේ කොටස් දෙක මගින් දරා සිටින ස්කන්ධ M වන චල සුමට කප්පියකි. තන්තුවේ AB කොටස තිරස් වන අතර BC , CD හා DC කොටස් සිරස්‍ ය. t කාලයකදී පිලිවෙලින් AB, BC හා DE කොටස් වල දිග x,z හා y ද නම් m , m’ හා M ස්කන්ධ සදහා චලිත සමීකරණ ලියා තන්තුවේ අතතිය T(\frac1M+\frac1m+\frac1{m'})\;=\;3g මගින් ලැබෙන බවත් එනයින්     

\frac2M=\frac1m+\frac1{m'} නම් C කප්පිය ස්ථාවර බවත් පෙන්වන්න.

x + y + 2z + a₁ + a₂ + a₃ = L

මෙහි\ddot x  – පොළවට සාපේක්ෂව A කුට්ටියේ ත්වරණය

       ‍ ‍‍\ddot y   – පොළවට සාපේක්ෂව සචල කප්පියේ ත්වරණය

       \ddot z  – පොළවට සාපේක්ෂව m’ ස්කන්ධයේ ත්වරණය

දෙවරක් කාලයේ විෂයෙන් අවකලය

\ddot x+\ddot y+2\ddot z = 0  →\boldsymbol①

 F= ma යෙදීම.

m ට,

         →  F= ma

   T = – m\ddot x

-\frac Tm = \ddot x  →\boldsymbol②

M ට,

                  ↓  F= ma

Mg – 2T = M\ddot z

    g – \frac{2T}M =   \ddot z →\boldsymbol③

m^/ ට,

                ↓  F= ma

m’g – T = m’ \ddot y

   g – \frac T{m'} = \ddot y    →\boldsymbol④

\boldsymbol② , \boldsymbol③ , \boldsymbol④ න් \boldsymbol① ට ආදේශ කිරීම

-\frac Tm+2(g-\frac{2T}M)+(g-\frac T{m'})=0 T(\frac1M+\frac1m+\frac1{m'})\;=\;3g

C කප්පිය ස්ථාවර නම් එහි ත්වරණය ශුන්‍ය වේ.

                  ↑  F= ma

2T – Mg = 0

         2T = Mg

        2/M    =g/T

\frac{\displaystyle\;\;2\;\;\;}M\;=\frac{\displaystyle1\;}{m\;}+\frac{\displaystyle1}{m'}

නිදසුන 2

A හා B එකම තිරස් මට්ටමක පිහිටි අචල සුමට කප්පි දෙකකි. කප්පි ඔස්සේ යන සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තුවක දෙකෙළවර ස්කන්ධ m හා 2m වූ අංශු දෙකක් ඈදා ඇත. A හා B කප්පි අතර වූ තන්තු කොටස මත ස්කන්ධය M වූ C සුමට සචල කප්පියක් රදවා ඇත්තේ තන්තුවේ කප්පි සමග ස්පර්ශ නොවූ කොටස් සිරස්ව පවතින පරිදි ය. පද්ධතිය නිශ්චලත්වයෙන් මුදා හරින ලද පසු තන්තුවේ ආතතිය සොයන්න.

m හා 2m ස්කන්ධ චලිතයෙහි යෙදී ඇති විට C කප්පිය නවතී නම් M =8m/3 බව පෙන්වන්න.

↓\ddot x   – පොළවට සාපේක්ෂව m ස්කන්ධයේ ත්වරණය

↓\ddot y   – පොළවට සාපේක්ෂව සචල කප්පියේ ත්වරණය

↓ \ddot z – පොළවට සාපේක්ෂව 2m ස්කන්ධයේ ත්වරණය

තන්තුව සදහා   x + 2y + z + a + b + c = L

L – තන්තුවේ මුළු දිග

දෙවරක් කාලය විෂයෙන් අවකලනයෙන්,

\ddot x+ 2 \ddot y +\ddot z   = 0 →\boldsymbol①

 F= ma  යෙදීම

m ට,

         ↓ F= ma

mg – T = m\ddot x

  g -\frac Tm[latex] = [latex]\ddot x   →\boldsymbol②

M ට,

          ↓  F= ma

Mg - 2T = M\ddot y

    g - \frac{2T}M  =  \ddot y   →\boldsymbol③

2m ට,

          ↓  F= ma

2mg - T = 2m\ddot z

 2g - \frac{T}2m = \ddot z   →\boldsymbol④

\boldsymbol② , \boldsymbol③ , \boldsymbol④ න් \boldsymbol① ට ආදේශ කිරීම.

(g-\frac Tm)+2(g-\frac{2T}M)+(g-\frac T{2m})\;=\;0

T = (8mM/8m+3M)\frac{2mM}{8m+3m}

C කප්පිය නවතී නම්\ddot y = 0 වේ.

එවිට \boldsymbol③ න්,

2T = Mg

M\;=\;\frac{8m}3

නිදසුන 3

එක් කෙලවරක් අචල තන්තුවක් M ස්කන්ධයක් ඇති A කප්පියක් යටින්ද පසුව අචල කප්පියක් උඩින්ද ඉන්පසු m ස්කන්ධය ඇති B කප්පියක් යටින්ද යවා ඇත. තන්තුවේ අනෙක් කෙලවර A හි අග ගැටගසා ඇත. A හි ත්වරණය යටි අතට g \frac{4M-2m}{4M+m} බව පෙන්වන්න.

තන්තුවේ දිග   x + 2z = L

දෙවරක් t විෂයෙන් අවකලනයෙන්,

 \ddot x + 2\ddot z  = 0   →\boldsymbol①

එකම තන්තුව නිසා සෑම තැනකම ආතතිය T වේ.

B ට,

                 ↓  F= ma  යෙදීමෙන්,

mg - 2T = m\ddot z  →\boldsymbol②

A ට,

Mg - 2T + T = M\ddot x

        Mg - T = M  \ddot x  →\boldsymbol③

\boldsymbol① න්,

\ddot z = -\ddot x/2

∴ \boldsymbol② න්,

  mg - 2T = m ( -\ddot x/2 )

2mg - 4T = -m\ddot x →\boldsymbol④

   Mg - T = M\ddot x →\boldsymbol③

\boldsymbol④ – \boldsymbol③ × 4 න්,

2mg - 4Mg = -m\ddot x - 4M\ddot x

             \ddot x    = g \frac{4M-2m}{4M+m}

\therefore\;A\;\text{හි ත්වරණය g (}\frac{4M-2m}{4M+m}\text{) වේ.}

 

 

Video Links :