03.09.00 - සරල අනුවර්තී චලිතය - Advanced Level Science Stream – LearnSteer

සංයුක්ත ගණිතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ 13 වැනි ගැටළුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
අනුවර්තීය චලිතයක සරලම අවස්ථාව මෙය වේ.

අචල O ලක්ෂයක සිට දුරින් පිහිටන ස්කනිධයක් මත O දෙසට යෙදවූ නම් බලයකට එරෙහිව ඇති වන චලිතය සරල අනුවර්තී චලිතයකි.

$\omega\;-\;නියතයකි\;$ – නියතයකි

O – සරල අනුවර්තී චලිතයේ කේන්ද්‍රය

F =ma
-m

\omega^2

=m

\ddot x

$\ddot x$ =- $\omega^2$ x

මෙය සරල අනුවර්තී චලිතයක ලාක්ෂණික සමීකරණය වේ.

සරල අනුවර්තී චලිතයක් සඳහා වූ සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කිරීම

$\ddot x$ =- $\omega^2$ x

2 $\dot x$ $\ddot x$ =- $\omega^2$ x 2 $\dot x$ (දෙපසම 2 $\dot x$ වලින් ගුණ කිරීම)

t විශයෙන් වරක් අනුකලනයෙන්,

$\dot x^2=-\omega^2x^2+C$ ; C යනු නියතයකි.

x=a විට $\dot x$ =0 යැයි ගනිමු.

0=-\omega^2a^2+C[/latex:[latex]C=\omega^2a^2

① න් $\dot x^2=-\omega^2x^2+\omega^2a^2$

\dot x^2=\omega^2(a^2-x^2)

x^2\geq0

\omega^2(a^2-x^2)\geq0

a^2-x^2\geq0\;\;\;;\omega^2>0

x^2-a^2\leq0

(x-a)(x+a)\geq0

-a\leq0\leq a

;

එනම් O ලක්ෂයේ දෙපසට අංශුව දෝලනය විය හැකි දුර වේ. මෙය විස්ථාරය වේ.

\dot x^2=\omega^2(a^2-x^2)

\dot x=\pm\omega\surd((a^2-x^2))

O ලක්ෂය දෙපස සරල අනුවර්තීය චලිතය සමමිතික බැවින් (+) ලකුණ පමණක් සැලකීම ප්‍රමාණවත් ය.

\dot x=dx/dt=\omega\surd((a^2-x^2))

\int dx/\surd((a^2-x^2))=\int\omega dt

$sin^(-1)(x⁄a)=\omega t+\alpha$ ; (α නියතයකි.)

x/a=\sin(\omega t+\alpha)

x=a\sin(\omega t+\alpha)

\begin{array}{l}\;-1\;\leq\;\;\sin(\omega t+\;\alpha)\;\;\leq1\;\\;-1\;\leq\;\;x⁄a\;\;\leq1\;\\;-a\;\leq x\;\leq a\end{array}

මේ අනුව ද විස්ථාරය a බව ලැබේ.

x=a\sin(\omega t+\alpha)

t විශයේ වරක් අවකලනය

\begin{array}{l}\;\dot x=a\omega\;\;\cos(\omega t+\;\alpha)\\;x=a\;\sin(\omega t+\;\alpha)\;\\;x=a\;(\sin\omega t\;\;\cos\alpha+\;\cos\omega t\;\sin\alpha\;)\;\;\;\;\;\\;x=\;(a\;\cos\alpha\;)\;\;\sin\omega t+\;(a\;\sin\alpha\;)\;\;\cos\omega t\\;x=A\;\;\sin\omega t+B\;\cos\omega t\;\end{array}

t විශයේ වරක් අවකලනය

\dot x=A\omega\cos\omega t+(-B\omega)\;\sin\omega t

x˙=A^/cos\omega t+B^/sin\omega t

සාරාංශය

\begin{array}{l}\ddot x=-\omega^2x\\dot x^2=\omega^2(a^2-x^2)\x=asin(\omega t+\alpha)\\dot x=a\omega cos(\omega t+\alpha)\x=Asin〖\omega t+Bcos\omega t〗\\dot x=A^/cos\omega t+B^/sin\omega t\end{array}

සරල අනුවර්තී චලිතය ඒකාකාර වෘත්ත චලිතය මඟින් විවරණය

කාලය සෙවීම (සරල අනුවර්තී චලිතයේ යෙදෙන අංශුව ගන්නා කාලය සෙවීම)

\begin{array}{l}t_PQ=t_MN\t_PQ=\alpha⁄\omega\end{array}

තිරස් තලයේ සරල අනුවර්තී චලිතය

A සිට චලිතයට,

\begin{array}{l}\rightarrow\;\;\;\;F=ma\;\\;\;\;\;-\;T=m\ddot x\;\\;\;\;\;-\;-\lambda x/l=m\ddot x\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ddot x=\;\frac{-\lambda x}{ml}\end{array}

මෙය $\ddot x=-\omega^2x$ ආකාරය වේ. එම නිසා සරල අනුවර්තී චලිතයකි.

ශක්ති සංස්ථිති නියමයෙන්,

\begin{array}{l}1/2mu^2=1/2m\dot x^2+1/2\frac{(\lambda x^2)}a\\ddot x^2+\frac\lambda{ma}x^2=u^2\end{array}

දෙපසම t විශයෙන් අවකලනය

\begin{array}{l}\;2\dot x.\ddot x+\;\;\frac{(2\lambda x\dot x)}{ma}=0\;\\;2\ddot x+\;\;\frac{2\lambda}{ma}\;x=0\;\\;\ddot x\;\frac{-\lambda}{ma}\;\;x\end{array}

මෙය $\ddot x=-\omega^2x$ වේ. එනිසා සරල අනුවර්තීය චලිතයකි.

ප්‍රථ්‍යස්ථතාව පිළිබඳ හුක්ගේ නියමය

ඇදි ප්‍රථ්‍යස්ථ තන්තුවක ඇතිවන ආතතිය විතතියට අනුලෝමව සමාන වන අතර මුල් දිගට ප්‍රතිලෝමව සමානුපාත වේ.

ස්වභාවික දිග වන තන්තුවක විතතිය e නම්,

\begin{array}{l}T\;\propto e\;-\;①\;\T\;\propto\;\;1⁄l\;\;-\;②\;\;\end{array}

① හා ② න්

\begin{array}{l}\;T\;\propto\;\;e⁄l\;\\;T\;=\;\;\frac{\lambda e}l\end{array}

$\;\lambda$ ; ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය

ඇදි තන්තුවක ගබඩා වන වික්‍රියා ශක්තිය

ගබඩා වන යාන්ත්‍රික ශක්තිය = T මඟින් සිදුකරන කාර්යය

E =

\frac12\frac{(\lambda e^2)}l

උදා :- (1.) ස්වභාවික දිග a සහ ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය 2mg වන ලුහුතන්තුවක එක් කෙළවරක් සුමට තිරස් මේසයක් මත වන අචල O ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කර අනෙක් කෙළවරට ස්කන්ධය m වන අංශුවක් සම්බන්ධ කර තන්තුව යන්තමින් තදව පිහිටන සේ අංශුව මේසය මත තබා O ගෙන් ඉවතට $\;\surd2ga\;\;$ වේගයෙන් ප්‍රක්ෂේප කෙරේ.

තන්තුවේ විතතිය x වන විට අංශුවේ චලිත සමීකරණය $\ddot x+\frac{2g}a\;\;x=0\;$ බව පෙන්වන්න.

එහි විසඳුම $\dot x^2=\omega^2(A^2-x^2)$ බව දී ඇත. මෙහි $\omega^2=\frac{2g}a$ වන අතර A යනු විස්ථාරයයි. A හි

අගය සොයන්න.

තන්තුවේ දිග 3a/2 වන විට අංශුවේ ප්‍රවේගය සොයා එවිට ගතව ඇති කාලය $\frac{\pi\;}{/6}\;\surd\frac a{2g}$ බව පෙන්වන්න.

එම අවස්ථාවේදී, අංශුව මත එහි චලිත දිශාවට ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙසට යෙදෙන ආවේගයක් මඟින් අංශුවේ ප්‍රවේගය හරි අඩක් අඩු කෙරේ. නව චලිතයේ විස්ථාරය සොයා අංශුව ප්‍රථම වරට නිශ්චල වන විට ආරම්භයේ සිට ගතව ඇති කාලය $\surd\frac a{2g}\left[\frac\pi6+cos^(-1)〖\frac2{\surd7}〗\right]$ බව පෙන්වන්න

.

m ට F=ma යෙදීමෙන්,

\begin{array}{rcl}\;1/2\;\;\surd(3ga/2)\;\;&=&\;\surd(2g/a)\;\;QC\\\;QC\;&=&\;\;(\surd3\;a)/4\\QB&=&\surd((3a^2)/16+a^2/4)\\t_CQ&=&t_QP\\\;\cos\alpha&=&\;\;(a⁄2)/((\surd7\;a)⁄4)\;\;\\&&\end{array}

\begin{array}{l}\;\;-\;T=m\ddot x\\end{array}

\;-\;\frac{\;2mg}a\;\;x=m\ddot x

$\ddot x+\;\;\frac{2g}a\;\;x=0$ ; මෙය අංශුවේ චලිත සමීකරණයයි.

මෙය $\ddot x+\omega^2x=0$ ආකාරයකි.

$\dot x^2=\omega^2\lbrack A^2-x^2\rbrack$ අනුව,

B හිදී, $\dot x=\;\surd2ga$ හා x = 0

2ga=\frac{2g}a\lbrack A^2-0^2\rbrack

0=A^2-a^2

A>0 නිසා වේ. A=a

\sin\theta=\;\;\frac{(a⁄2)}a=\;\;1/2\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\therefore\;\;\theta=30^\circ

t_BC=t_DE=\frac\theta\omega=\frac{(\pi⁄6)}{\surd(2g⁄a)}

t_BC=\frac\pi6\surd\frac a{2g}

න්තන්තුවේ දිග 3a/2 වන විට ප්‍රවේගය =Vc

එව්ට x=a/2

V_C^2=\frac{2g}a(a^2-\frac{a^2}4)

V_C=\surd\frac{3ga}2

//Voice 03.09.04//

ආවේගයෙන් පසු ප්‍රවේගය = $\frac{V_C}2=\frac12\surd\frac{3ga}2$

ආවේගයෙන් පසු ප්‍රවේගය = $\begin{array}{rcl}V_C^'&=&\omega QC\\1/2\surd(3ga/2)&=&\surd(2g/a)QC\\QC&=&(\surd3a)/4\\QB&=&\surd((3a^2)/16+a^2/4)=(\surd7a)/4\\&&\end{array}$

\begin{array}{l}t_CQ=t_QP=\alpha/\omega\cos\alpha=\frac{(a⁄2)}{\surd7a⁄4)}=\frac2{\surd7}\\alpha=cos^(-1)〖\frac2{\surd7}〗\\t_CP=\frac{\cos^(-1)〖{\displaystyle\frac2{\surd7}}〗}{\surd(2g⁄a)}=\surd(\frac a{2g})cos^(-1)〖\frac2{\surd7}〗\end{array}

මුළු කාලය =

=

උදා :- (2.) සුමට තිරස් මේසයක් මත එකිනෙකට a දුරින් පිහිටන ලක්ෂ්‍යය දෙකක් A හා B වෙයි. ස්වභාවික දිග a සහ ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය mg වන ලුහු තන්තුවක දෙකෙළවර A සහ B ට සම්බන්ධ කර ඇත. AC : CB = 1 : 2 වන සේ වූ C ලක්ෂ්‍යයට ස්කන්ධය m වන P අංශුවක් සම්බන්ධ කර එය B දෙසට u ප්‍රවේගයෙන් ප්‍රක්ෂේප කරනු ලබන්නේ B හිදී නිශ්චලතාවයට එළැඹෙන පරිදි ය. u හි අගය g සහ a ඇසුරින් සොයන්න.

$\;AP=\;\;\frac a3+x\;(x\;\geq0)\;$ වන විට අංශුවේ චලිත සමීකරණය $\ddot x+\frac{3g}a\;x=0$ බව පෙන්වන්න.

අංශුව B වෙත පැමිණීමට ගතවන කාලය $\frac\pi2\surd\frac a{3g}$ බව පෙන්වන්න.

ආපසු සිදුවන චලිතයේ දී, $BP=\frac{\;2a}3+y\;(y\;\geq0)\;$ වන විට අංශුවේ චලිත සමීකරණය $\ddot y+\;\frac{\;3g\;}{2a}y=0\;$ බව පෙන්වන්න.

එම සමීකරණයේ විසඳුම $\dot y^2=\omega^2(k^2-y^2)$ බව දී ඇත. මෙහි $\omega=\;\surd\frac{3g}{2a}$ වන අතර k යනු විස්ථාරයයි. k හි අගයත්, අංශුව A වෙත පැමිණෙන ප්‍රවේගයත් සොයන්න. අංශුව A වෙත පැමිණෙන විට ගතව ඇති සම්පූර්ණ කාලය $\surd(\frac a{3g})\lbrack\pi+\surd2sin(-1)〖\frac1{2\surd2}〗\rbrack$ බව පෙන්වන්න.

//Voice 03.09.01//

ශක්ති සංස්ථිති නියමය අනුව,

\frac{(mg(2a⁄3)^2)}{2a⁄3}+0=1/2mu^2+0

g.\frac{2a}3=\frac{u^2}2

u^2=\frac43ga

u>0 නිසා , $u=2\;\surd\frac{ga}3$

C හිදී, $\begin{array}{c},\dot y=u,y=0\\\dot y^2=\omega^2(k^2-y^2)\\u^2=\frac{3g}{2a}(k^2-0)\\\frac4{3ga}=\frac{3g}{2ak^2}\end{array}$

අනුව, (මෙහි k යනු CA චලිතයේ විස්තාරයයි.)

k > 0 නිසා , k= $\begin{array}{c}\frac{2\surd2\;a}3\end{array}$

චලිත කේන්ද්‍රයේ දී, $\begin{array}{c}y\;\"=0\;\\\;\therefore\;\frac{\displaystyle\;3g}{2a}\;\;y=0\;\;\;\;=>\;\;\;\;y=0\end{array}$

CA චලිතය සලකමු.

A හිදී ප්‍රවේගය = $\begin{array}{rcl}V_A&=&AF.\omega^'\\&=&\surd(\frac{8a^2}9-\frac{a^2}9).\surd\frac{3g}{2a}=\surd\frac{7ga}6\\sin\theta&=&\frac{a⁄3}{\displaystyle\frac{2\surd2a}3}=\frac1{2\surd2}\\\theta&=&sin(-1)\frac1{2\surd2}〗\end{array}$

සැ. යු. - සමීකරණ මඟින් ද V සෙවිය හැකිය.

=

අංශුව A වෙත පැමිණෙන විට ගතව ඇති සම්පූර්ණ කාලය T නම්,

//Voice 03.09.03//

උදා :- (3.) අචල සුමට තිරස් තලයක් මත A ලක්ෂ්‍යයක ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 4mg වන දිග a වන සර්පිල දුන්නක එක්

කෙළවරක් සවිකර ඇත. දුන්නේ අනෙක් කෙළවර m වූ අංශුවකට සවිකර ඇත. A සිට 4a දුරින් වන B ලක්ෂ්‍යයෙන් අංශුව මුදාහරිනු ලැබේ. A සිට අංශුවට දුර x වන විට අංශුවේ චලිත සමීකරණය ලබා ගන්න. චලිතයේ විස්තාරය, දෝලන කේන්ද්‍රය සොයන්න.

A සිට 3a දුරින් වන පිහිටීමට කාලය,
A සිට a දුරින් වන පිහිටීමට කාලය සොයන්න.

( $x=A\;\cos\omega t+B\;\sin\omega t$ ) සමීකරණය භාවිතා කරන්න.

//Voice 03.09.16//

අවස්ථාවට,

හුක්ගේ නියමය යෙදීමෙන්,

\begin{array}{rcl}T^'&=&\lambda e/l=(4mg(x-a))/a\\&&\end{array}

F = ma යෙදීමෙන්,

\begin{array}{rcl}&\rightarrow&F=ma\\-T^'&=&m\ddot x\\-{(4mg(x-a))/a}&=&m\ddot x\\\ddot x+4g/a(x-a)&=&0\\&&\end{array}

//Voice 03.09.17//

x-a=y ආදේශ කිරීමෙන්,

t විශයෙන් දෙවරක් අවකලනයෙන් ;

\begin{array}{rcl}\ddot x&=&\ddot y\\\ddot y+4g/ay&=&0\\\ddot y+(\surd(4g/a))^2y&=&0\\&&\end{array}

මෙය $\begin{array}{rcl}\ddot x+\omega^2x&=&0\\&&\end{array}$ ආකාරයේ බැවින් සරල අනුවර්තී චලිතයකි.

දෝලන කේන්ද්‍රය ;

y=0

x-a=0

x=0

\begin{array}{rcl}\;\omega&=&\;\surd(4g/a)\\A&=&3a\\&&\end{array}

//Voice 03.09.18//

B ලක්ෂ්‍යය සැලකීමෙන්,

\begin{array}{rcl}\;y&=&A\;\cos\omega t+B\;\sin\omega t\;\\\;\;\;\;\;3a&=&A\;\;\cos0+B\;\;\sin0\;\\\;\;A&=&3a\;\\\;\;y&=&A\;\cos\omega t+B\;\sin\omega t\;\;\;\;\\&&\end{array}

වරක් t විශයෙන් අවකලනයෙන්,

\begin{array}{rcl}\;y\;.&=&\;-\omega A\;\;\sin\omega t+\;\omega B\;\;\cos\omega t\;\\\;0&=&\;-\omega A\;\;\sin0+\;\omega B\;\;\cos0\\\;\;B&=&0\;\;\\\;\therefore\;\;\;y&=&3a\;\;\cos\omega t\;\;\\&&\end{array}

//Voice 03.03.19//

E ලක්ෂ්‍යය සැලකීමෙන්,

A සිට 3a දුරින් වන පිහිටීමට කාලය =

//Voice 03.09.20//

D ලක්ෂ්‍යය සැලකීමෙන්,

A සිට a දුරින් වන පිහිටීමට කාලය =

උදා :- (4.) ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් සුමට තිරස් තලයක් මත තබා එයට a දිග, ප්‍රත්‍යස්ථතා මාපාංකය 2mg වන සර්පිල

දුන්නක එක් කෙළවරක් සවිකර ඇත. දුන්නේ අනෙක් කෙළවර රූපයේ පරිදි සිරස් බිත්තියේ A ට සවි කර ඇත.

ස්කන්ධය M වන අංශුවක් u ප්‍රවේගයෙන් සුමට තලය මත චලිත වී m හා ගැටී බද්ධ වේ. ඉන්පසු චලිතයේ ආවර්ත කාලය, M = 2m හා $\begin{array}{rcl}u&=&\;\surd ag\;\;\\&&\end{array}$ විට සොයන්න.
M = m හා $\begin{array}{rcl}u&=&\;3\surd ag\;\;\\&&\end{array}$ විට සංයුක්ත අංශුව බිත්තියේ වැදීමට ගත වන කාලය සොයන්න.

//Voice 03.09.05//

① හා ② අවස්ථාවන් සලකා, ගම්‍යතා සංස්ථිති නියමය යෙදීමෙන්;

\begin{array}{rcl}&\leftarrow&Mu=(M+m)V_B\\V_B&=&Mu/((M+m))\\&&\end{array}

② හා ③ ට ශක්ති සංස්ථිති නියමය යෙදීමෙන්;

\begin{array}{rcl}1/2(M+m)V^2&=&1/2(2mg/a)x^2+1/2(M+m)x˙^2\\&&\end{array}

t විශයෙන් වරක් අවකලනයෙන්;

\begin{array}{rcl}0&=&(2mg/a).2\dot xx+(M+m).2\dot{x\ddot x}\\(M+m)\ddot x&=&-(2mg/a)x\\0&=&\ddot x+(\left{\surd(2mg/(a(M+m)\right})^2x\\&&\end{array}

මෙය ආකාර බැවින් සරල අනුවර්තී චලිතයකි.

දෝලන කේන්ද්‍රය, x = 0

\begin{array}{rcl}\;\;\omega&=&\;\surd(2mg/(a(M+m)))\\&&\end{array}

B ලක්ෂ්‍යය සැලකීමෙන්,

\begin{array}{rcl}\dot x^2&=&\omega^2(A^2-x^2)\\(V_B)^2&=&{2mg/(a(M+m))}(A^2-0)\\(M^2u^2)/(M+m)^2&=&2mg/(a(M+m)).A^2\\A&=&Mu\surd(a/(2mg(M+m)))-④\\&&\end{array}

//Voice 03.09.06//

M = 2m හා $\begin{array}{rcl}u&=&\;\surd ag\\&&\end{array}$ ④ සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන්,
$\begin{array}{rcl}A^'&=&(2m)\surd ag\surd\left{(a/(2mg.3m))\right}\\A^'&=&a\surd(2/3)\\&&\end{array}$

M = 2m හා විට,

\begin{array}{rcl}\omega&=&\surd(2mg/(a.3m))\\\omega&=&\surd(2g/3a)\\&&\end{array}

ආවර්ත කාලය =

\begin{array}{rcl}&=&2\pi/\omega^'\\&=&2\pi/\surd(2mg⁄(a.3m))=\pi\surd(3a/2g)\\&&\end{array}

=

//Voice 03.09.16//

$\begin{array}{rcl}M&=&mහාu=3\surd agවිට,\\A^''&=&m.3\surd ag\surd(a/(2mg.2m))\\A^''&=&3a/2\\\omega^''&=&\surd(2mg/(a.2m))\\\omega^''&=&\surd(g/a)\\&&\end{array}$

බිත්තියේ වැදීමට ගතවන කාලය = $\begin{array}{rcl}&&\alpha/\omega^'\\&=&sin^(-1)(2/3)/\surd(g⁄a)\\&=&sin^(-1)(2/3)\surd(a/g)\\&&\end{array}$

සිරස් තලයේ සරල අනුවර්තී චලිතය

උදා :- (1.) O දෘඪ ලක්ෂ්‍යයක කෙළවරක් ගැට ගසා ඇති දිග සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවකින් ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් එල්ලූ කල තන්තුව l/2 දුරකින් ඇදේ. එම අංශුව O ලක්ෂ්‍යයේ යන්තමින් වැදෙන සේ සිරස් ලෙස පහළට ප්‍රක්ෂේපණය කළ යුතු ප්‍රවේගය $\begin{array}{rcl}&&\surd(5gl/2)\;\;\end{array}$ බව පෙන්වන්න.

I ක්‍රමය

//Voice 03.09.07//

2 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}\;&\downarrow&\;\;\;F=ma\;\;\\mg-T&=&0\;\;\\\;mg&=&\;\;(\lambda\;.\;\;l⁄2)/l\\\;\;\lambda&=&2mg\end{array}

3 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}&\downarrow&F=ma\mg-T_1&=&m\ddot x\\mg-\lambda/2(l/2+x)&=&m\ddot x\\mg-mg-2mgx/l&=&m\ddot x\\\ddot x&=&-2g/lx\end{array}

මෙය ස. අ. චලිතයේ සමීකරණය වේ.

\begin{array}{rcl}\therefore\omega^2&=&2g/l\end{array}

II ක්‍රමය - ස්වභාවික දුරේ සිට දුර මැනීම

2 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}\;&\downarrow&\;\;\;F=ma\\\;\;mg-T&=&0\;\;\;\\mg&=&\;\;(\lambda\;.\;\;l⁄2)/l\\\;\;\lambda&=&2mg\end{array}

3 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}&\downarrow&F=ma\\mg-T_1&=&m\ddot x\\mg-2mgx/l&=&m\ddot x\\\ddot x&=&g-2gx/l\\\ddot x&=&-2g/l(x-l/2)-①\\X&=&x-l/2\\\dot X&=&\dot x\\\ddot X&=&\ddot x\\\ddot X&=&-2g/lX\end{array}

මෙය ස. අ. චලිතයේ සමීකරණය වේ.

\begin{array}{rcl}\therefore\omega^2&=&2g/l\end{array}

නාභියේ දී,

\begin{array}{rcl}\;X\;.&=&0\;\\\;x-\;\;l/2&=&0\;\;\;\;=>\;\;\;\;x=\;\;l/2\end{array}

III ක්‍රමය - O දුරේ සිට දුර මැනීම

2 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}\;&\downarrow&\;\;\;F=ma\;\\\;mg-T&=&0\;\;\mg&=&\;\;\lambda l/2l\\\;\;\lambda&=&2mg\end{array}

3 සටහනට, m ට,

\begin{array}{rcl}\;&\downarrow&F=ma\\mg-T_1&=&m\ddot x\\mg-2mg/l(x-l)&=&m\ddot x\\\ddot x&=&g-2g/lx\\ddot x&=&3g-2g/lx\\\ddot x&=&-2g/l(x-3l/2)-①\\①&\rightarrow&\ddot X=-2g/lX\end{array}

මෙය ස. අ. චලිතයේ සමීකරණය වේ.

\begin{array}{rcl}\therefore\omega^2&=&2g/l\end{array}

නාභියේ දී,

\begin{array}{rcl},\;\;\dot X&=&0\;\;\;\;,\;\;\;x=\;\;3l/2\;\end{array}

B හිදී V₁ ප්‍රවේගයක් ලබා දුන් පසු A දක්වා ස. අ. චලිතයෙන් චලිත වී V₂ ප්‍රවේගයක් ලබා ගනියි යැයි සිතමු. අනතුරැව A හිදී V₂ ප්‍රවේගයෙන් ගුරුත්වය යටතේ චලිත වී O හිදී ප්‍රවේගය 0 වේ.

I ක්‍රමය

B සිට A දක්වා ස. අ. චලිතයට,

\begin{array}{rcl}V^2&=&\omega^2(a^2-x^2)\\(V_1)^2&=&2g/la^2\\a&=&V_1/\omega;\omega=\surd(2g/l)\end{array}

A හිදී,

\begin{array}{rcl}(V_2)^2&=&\omega^2(a^2-(l/2)^2)\\(V_2)^2&=&\omega^2(〖V_1〗^2/\omega^2-l^2/4)\\(V_2)^2&=&(V_1)^2-(l^2\omega^2)/4\end{array}

A සිට O දක්වා ගුරුත්ව චලිතයට,

\begin{array}{rcl}V^2&=&u^2+2as\\0&=&(V_2)^2-2gl\\(V_1)^2-(l^2\omega^2)/4&=&2gl\\(V_1)^2&=&2gl+l^2/4.2g/l\\(V_1)^2&=&5gl/2\\V_1&=&\surd(5gl/2)\end{array}

II ක්‍රමය

m ට

\begin{array}{rcl}&\downarrow&\;\;F=ma\;\;\mg-T&=&0\\\;\;mg&=&\;\;\lambda l/2l\;\\\;\lambda&=&2mg\\&&\end{array}

B සිට O දක්වා චලිතයට ශක්ති සංස්ථිති නියමය යෙදීමෙන්,

\begin{array}{rcl}1/2mV^2+1/2\lambda(l/2)^2.1/l+0&=&0+mg(l+l/2)\\1/2mV^2+1/2.2mg.l/4&=&mg.3l/2\\V^2/2&=&3gl/2-mgl/4\\V^2&=&5gl/2\\V&=&\surd(5gl/2)\\&&\end{array}

උදා :- (2.) අක්ෂය සිරස්ව පිහිටන සේ කෙළවරක් දෘඪ ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කොට ඇති සැහැල්ලු සර්පිල දුන්නක්

මත අංශුවක් තැබූ විට දුන්න d දුරකින් සම්පීඩනය වේ. මෙම අංශුව h උසක සිට දුන්න මත පතිත වූ විට දුන්න සම්පීඩනය වන කාලය $\begin{array}{rcl}&&\surd(d/g)\left{\pi-\tan^(-1)\surd(2h/d)\right}\end{array}$ බව පෙන්වන්න.

//Voice 03.09.09//

② ට,

\begin{array}{rcl}\;\;&\downarrow&\;\;F=ma\;\\\;T&=&mg\\\;\;\lambda\;d/l&=&mg\;\\\;\;\lambda&=&\;\;lmg/d\end{array}

③ ට,

\begin{array}{rcl},&\downarrow&F=ma\\mg-T_1&=&m\ddot x\\mg-\lambda/l(d+x)&=&m\ddot x\\mg-mg/(l.d)(d+x)&=&m\ddot x\\g-g-gx/d&=&\ddot x\\\ddot x&=&-g/dx\end{array}

මෙය ස. අ. චලිතයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයයි.

\begin{array}{rcl}\omega^2&=&g/d\end{array}

ශක්ති සංස්ථිති නියමයෙන්,

\begin{array}{rcl}mgh&=&1/2mV^2\\V&=&\surd2gh\\V^2&=&\omega^2(a^2-x^2)\\x&=&-dවිටV2=2gh\\2gh&=&g/d(a^2-d^2)\\2dh&=&a^2-d^2\\a^2&=&d^2+2dh\\t&=&(\pi-\theta)/\omega=(\pi-tan^(-1)(\surd2dh⁄d))/\surd(g⁄d)\&=&\surd(d/g)\\left{\pi-\tan^(-1)\surd(2h/d)\right}\end{array}

උදා :- (3.) ස්වභාවික දිග ද ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය ද වූ සැහැල්ලු ප්‍රථ්‍යස්ථ තන්තුවක් සිරස් ලෙස ඇදී පවතින සේ A

හා B ලක්ෂ්‍ය 2 කට සම්බන්ධ කොට තිබේ. ස්කන්ධය m වූ අංශුවක් තන්තුවේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට යා කොට තිබේ. පද්ධතිය ස්වල්ප වශයෙන් සිරස් විස්තාපනයකට භාජනය කළ විට අංශුව කාලාවර්තය $\pi\;\surd(ml/\lambda)$ වූ සරල අනුවර්තී චලිතයක් දක්වන බව පෙන්වන්න.

//Voice 03.09.10//

① ට,

\begin{array}{rcl}&\downarrow&F=ma\\mg+T_1-T_2&=&0\mg+\lambda.(-e)/(l⁄2)-\lambda e/(l⁄2)&=&0\\2\lambda e/(l⁄2)&=&mg\\e&=&mgl/4\lambda\end{array}

③ ට,

\begin{array}{rcl},&\downarrow&F=ma\\mg+T_3-T_4&=&m\ddot x\\mg+\lambda(-e-x)/(l⁄2)-\lambda(e+x)/(l⁄2)&=&m\ddot x\\mg-2{\lambda(e+x)/(l⁄2)}&=&m\ddot x\\-4\lambda/ml(x+mgl/4\lambda-mgl/4\lambda)&=&\ddot x\\\ddot x&=&-4\lambda/mlx\end{array}

මෙය ස. අ. චලිතයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයයි.

\begin{array}{rcl}\omega^2&=&2\surd(\lambda/ml)\;\\T&=&2\pi/\omega=2\pi/2\surd(ml/\lambda)\end{array}

උදා :- (4.) ස්කන්ධය m හා 2m වන අංශූ 2 ක් දිග වූද, ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය mgl/a වූද, සැහැල්ලු ප්‍රථ්‍යස්ථ

තන්තුවකින් දෘඪ ලක්ෂ්‍යයක එල්ලා තිබේ. හදිසියේම ඉවත් කළ විට m අංශුව නැවත නිශ්චලතාවයට පත් වීමට ගත වන කාලය $\begin{array}{rcl}&&\surd(a/g)\left{2\pi/3+\surd3\right}\end{array}$ බව පෙන්වන්න.

//Voice 03.09.11//

m ට, $\begin{array}{rcl},&\downarrow&F=ma\\mg-T^'&=&m\ddot x\\mg-mgl/a.x/l&=&m\ddot x\\\ddot x&=&g-gx/a\\\ddot x&=&-g/a(x-a)\x-a&=&yවිට\ddot x=\ddot y\\\therefore\ddot y&=&-g/ay\end{array}$

මෙය ස. අ. චලිතයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයයි.

\begin{array}{rcl}\omega&=&\surd(g/a)\end{array}

දෝලන කේන්ද්‍රයට,

y=0

x-a=0

x=a

විස්ථාරය A නම්,

② රූපය, 3mg ට, $\begin{array}{rcl}&\downarrow&F=ma\\3mg-T&=&0\\3mg&=&\lambda e/l\\3mg&=&e/l.mgl/a\e&=&3a\\x&=&3aවිටV=0\\x&=&3aවිටy=2a\\0&=&\omega^2(A^2-4a^2)\\A&=&2a\end{array}$

//Voice 03.09.12//

t₁ සෙවීම

\begin{array}{rcl}cos\theta&=&a/2a\\\theta&=&cos^(-1)(1/2)=\pi/3\\t_1&=&\theta/\omega=(\pi-\pi⁄3)/\omega\\&=&2\pi/3\surd(a/g)\end{array}

t₂ සෙවීම

\begin{array}{rcl}V^2&=&\omega^2(A^2-y^2)\\x&=&0විටV=v\\x&=&0විටy=-a\\V^2&=&g/a(4a^2-a^2)\\V&=&\surd3ga\\&\uparrow&V=U+at\\0&=&\surd3ga-gt_2\\t_2&=&\surd(3a/g)\end{array}

නිශ්චල වීමට ගත වන කාලය = t₁ + t₂

\begin{array}{rcl}&=&2\pi/3\surd(a/g)+\surd(3a/g)\\&=&\surd(a/g){2\pi/3+\surd3}\end{array}

උදා :- (5.) ස්වභාවික දිග a ද ප්‍රථ්‍යස්ථතා මාපාංකය mg ද වන සැහැල්ලු ප්‍රත්‍යස්ථ තන්තුවකින් ස්කන්ධය m වන A

අංශුවක් O දෘඪ ලක්ෂ්‍යයක එල්ලා තිබේ. තන්තුව බුරුල්ව පවතින සේ තබා අංශුව O හිදී v ප්‍රවේගයෙන් සිරස් ලෙස ඉහළට ප්‍රක්ෂේපණය කරන ලද නම් අංශුවේ චලනය විස්තර කරන්න.

$\begin{array}{rcl}\;v\;&<&\;\surd2ga\end{array}$ වන විටද $\begin{array}{rcl}\;v\;&>&\;\surd2ga\end{array}$ සිදු වන දෑ එකිනෙකින් වෙන් කොට පහදා දෙන්න.

$\begin{array}{rcl}\;v\;&=&\;\surd2ga\end{array}$ වන විට අංශුවේ චලනයේ කාලාවර්තය සොයන්න.

//Voice 03.09.13//

ශක්ති සංස්ථිති නියමයෙන්,

\begin{array}{rcl}1/2mv^2&=&1/2m(v_1)^2+mga\\(v_1)^2&=&v^2-2ga\\v_1&<&0නම්\\v^2-2ga&<&0\\v&<&\surd2ga\end{array}

මෙවිට අංශුව a ට වඩා අඩු දුරක් ඉහළට ගමන් කර නැවතත් ගුරුත්වය යටතේ O සිට a දුරක් සරස්ව පහළට ගමන් කර එතැන් සිට ස. අ. චලිතයේ යෙදේ.

\begin{array}{rcl}v_1&>&0නම්v<\surd2gaවේ.\end{array}

මෙවිට අංශුව O සිට a දුරක් සිරස්ව ඉහළට ගමන් කර ඉහළ ස. අ. චලිතයට බඳුන් වී m අංශුව සිරස්ව ගුරුත්වය යටතේ 2a දුරක් ගමන් කර පහළදී ස. අ. චලිතයට බඳුන් වේ.

$\begin{array}{rcl}v_1&=&0නම්v=\surd2gaවේ.\end{array}$

මෙවිට අංශුව සිරස්ව a දුරක් ඉහළට ගමන් කර එහිදී වේගය 0 වී නැවතත් ගුරුත්වය යටතේ 2a දුරක් පහළට ගමන් කර පහළදී ස. අ. ච. ට බඳුන් වේ.

m ට, $\begin{array}{rcl}\;\;&\downarrow&\;\;F=ma\\\;\;mg-T&=&0\\\;\;mg\;d/a&=&mg\;\\\;d&=&a\end{array}$

m ට, $\begin{array}{rcl}&\downarrow&F=ma\\mg-T_1&=&m\ddot x\\mg-mg/a(a+x)&=&m\ddot x\\\ddot x&=&-g/ax\end{array}$

මෙය ස. අ. චලිතයේ ලාක්ෂණික සමීකරණයයි.

\begin{array}{rcl}\omega^2&=&g/a\end{array}

\begin{array}{rcl}&\downarrow&v^2=u^2+2as\\v^2&=&0+2g.2a\\v&=&2\surd ga\\v^2&=&\omega^2(A^2-x^2)\\4ga&=&g/a(A^2-a^2)\\A&=&\surd5a\\cos\theta&=&a/(\surd5a)=>\theta=cos^(-1)(1/\surd5)\\T&=&(\pi-\theta)/\omega=\surd(a/g){\pi-cos^(-1)(1/\surd5)}\end{array}

උදා :- (6.) ස්වභාවික දිග 2a ද වූ ලුහු දුන්නක පහළ කෙළවර අචල ලෙස සවි කරනු ලදුව සිරස් ලෙස නැගී සිටී. m

ස්කන්ධයෙන් යුතු අංශුවක් එහි ඉහළ කෙළවරට සවි කළ විට දුන්න a/4 ප්‍රමාණයකින් සම්පීඩනය වේ. මේ අංශුව සමතුලිතතාවයෙන් යුතුව නිශ්චලතාවයේ පවත්නා විට එම m ස්කන්ධයම ඇති දෙවන අංශුවක් ඊට 3a/8 උසක නිශ්චලතාවයේ තබා ගෙන පහළට හෙලනු ලැබේ. ගැටීමේදී අංශු දෙක හා වෙයි නම් අනතුරුව සිදු වන චලිතයේ කාලාවර්තය $2\pi\surd(a/2g)$ බවත් විස්තාරය $a/8\;\;\surd10$ බවත් පෙන්වන්න.