වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.
O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය C වේ. OC හා AB ලම්භක වේ. එවිට වෘත්තයහි O\widehat{C}A = O\widehat{C}B = 90° වේ.
උදාහරණ –
මෙම රූපයේ දී ඇති දත්ත ඇරසුරෙන් පහත ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු සපයන්න. A යනු වෘත්ත කේන්ද්‍රය ද Q යනු PR ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය ද වේ. PR = 8cm කි.
I) AQR හි අගය සොයන්න.
II) PQ හා RQ හි දිග සොයන්න.
III) සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණ නම් කරන්න.
IV) ඉහත එක් ත්‍රිකෝණයකට පෛතගරස් සම්බන්ධය යොදන්න. වෘත්තයේ අරය සොයන්න.
පිළිතුරු
I)90° (වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.)
II) PQ = 4cm , QR = 4cm
III) APQ, ARQ
IV) ARQ ත්‍රිකෝණයට පෛතගරස් සම්බන්ධය යෙදීමෙන්,
AR2 = AQ2 + RQ2
AR = 32 + 42
= 9 + 16
= 25
AR = √25
= 5cm
වෘත්තයේ අරය = 5cm
අභ්‍යාස
1. රූපයේ O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය M වේ.
I) AB,OM රේඛා අතර සම්බන්ධය ලියන්න.
II) OMB කෝණය හි අගය සොයන්න.
III) සෘජුකෝණික ත්‍රිකෝණ දෙකක් නම් කරන්න.
IV) AMO ත්‍රිකෝණයේ පාද අතර පහත සම්බන්ධතවයට ගැලපෙන සේ හිස්තැන් පුරවන්න.
AO2 = OM2 + …..
2. පහත රූප සටහන්වල දී ඇති තොරතුරු ඇසුරෙන්
a) එක් එක් රූප සටහන සඳහා පෛතගරස් සම්බන්ධය යොදන්න.
b) එම සම්බන්ධතාව භාවිතකර x හි අගය සොයන්න. ( C යනු වෘත්ත කේන්ද්‍රයයි.)
I)
II)
III)
IV)
3. අරය 10cm වන වෘත්තයක කෙන්ද්‍රයේ සිය ජ්‍යායේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයට ඇඳි රේඛාවේ දිග 6cm කි.
I) දී ඇති දත්ත වලට ගැලපෙන රූප සටහනක් අඳින්න.
II) ජ්‍යායේ දිග සොයන්න.
4. රූපයේ දක්වා ඇත්තේ O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයක AC විශ්කම්භය වූ ABC ත්‍රිකෝණයකි. එහි AB,BC ජ්‍යායන් පිළිවෙලින් 6cm,8cm වේ.
I) OEB කෝණය හා ODB කෝණය හි අගය සොයන්න.
II) EOD කෝණය හි අගය සොයන්න.
III) BE දිග කීය ද?
IV) BD දිග කීය ද?
V) ODBE චතුරස්‍රයේ පරිමිතිය සොයන්න.
5. පහත දක්වා ඇති O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තවල වීජීය සංකේත මගින් දක්වා ඇති කෝණවල අගය සොයන්න.
I)
II)
III)
පිලිතුරු
1.
I) AB හා OM ලම්භකය. (වෘත්තයක කේන්ද්‍රයත් ජ්‍යායක මධ්‍ය ලක්ෂයත් යා කරන රේඛාව ජ්‍යායට ලම්භ වේ.)
II) 90°
III) AOM , BOM
IV) AO2 = OM2 + AM2
| 2. I) a) x2 + 42 = 52 b) x2 + 16 = 25 x2 = 25-16 x2 = 9 x = √9 x = 3cm |
| II) a) x2 + 62 = 102 b) x2 + 36 = 100 x2 = 100-36 x2 = 64 x = √64 x = 8cm |
| III) a) x2 = 52 + 122 b) x2 = 25+144 x2 = 169 x = √169 x = 13cm |
| IV ) a) x2 + 122 = 152 b) x2 + 144 = 225 x2 = 225-144 x2 = 81 x = √81 x = 9cm |
3.
I)
II)
62 + BC2 = 102
36 + BC2 = 100
BC2 = 100-36
BC2 = 64
BC = √64
BC = 8 cm
ජ්‍යාය = AC = 2BC
ජ්‍යාය = 2 × 8
= 16cm
4.
I) 90°
II) 90°
III) BE = 4cm
IV) BC = 3cm
V) ODBE පරිමිතිය = 14cm
| 5. I) O\widehat{B}C = 90° x + 90° + 30° = 180° x + 120° = 180° x = 180°- 120° x = 60° II) O\widehat{B }A = 90° O\widehat{A}B = A\widehat{O}B (ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් ඒ පාදවලට සම්මුඛ කෝණ ද සමාන වේ.) x+ x + 90° = 180° 2x + 90° = 180° 2x = 180°- 90° 2x = 90° x = 45° |
| III) O\widehat{B}A= 90° y + 90° + 20° = 180° y + 110° = 180° y = 180°- 110° y = 70° , B\widehat{A}D = z ලෙස ගනිමු 20 + z =x (OA = OD, ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකක් සමාන නම් ඒ පාදවලට සම්මුඛ කෝණ ද සමාන වේ.) z = x – 20° AOD ත්‍රිකෝණයේ 70°+20° + z+ x = 180° x + z = 90° x + x – 20° = 90° x = 55° |
| වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායට අඳිනු ලබන ලම්බයෙන් ජ්‍යාය සමච්ඡේදනය වේ. |
O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායකි. OC හා AB ලම්ම්භක වේ. නම් AC = BC වේ.
උදාහරන –
O කේන්ද්‍රය වූ වෘත්තයේ AB ජ්‍යායකි. OC හා AB ලම්භක වේ. OC = 6cm, AB = 16 cm ද වේ.
I)BC දිග සොයන්න
II) වෘත්තයේ අරය සොයන්න.
| පිලිතුරු I) BC = AB/2 = 8cm II) OB2 = OC2 + BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 OB = √100 OB = 10cm වෘත්තයේ අරය = 10cm |
1. රූපයේ දැක්වෙන P කේන්ද්‍රය වන වෘත්තයේ CD ජ්‍යායකි. E යනු P සිට ජ්‍යායට ඇඳි ලම්භයේ අඩියයි. DE හා EC අතර සම්බන්ධතාවක් ගොඩනගන්න.
2. අරය 5cm වන වෘත්තයක කේන්ද්‍රයේ සිට ජ්‍යායකට ඇඳි ලම්භයේ දිග 3cm කි. ජ්‍යායේ දිග ගණනය කරන්න.
3. PQR යනු O කේන්ඩ්‍රය වූ වෘත්තයේ සමපාද ත්‍රිකෝණයකි. SQ = 8cm නම් ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය සොයන්න.
4. O කේන්ද්‍රය වූ ඒක කේන්ද්‍රික වෘත්ත දෙකක් රූපයේ දැක්වේ. කුඩා වෘත්තයේ අරය 5cm ද විශාල වෘත්තයේ අරය 13cm වේ. AB ජ්‍යායේ දිග සොයන්න.
පිළිතුරු
1. DE = EC
2.
OB2 = OC2 + BC2
52 = 32 + BC2
BC2 = 25 – 9
BC2 = 16
BC = √16
BC = 4cm
ජ්‍යායයේ දිග = 2BC
= 8cm
3.
SQ = PS = 8cm
PQ = 2 × 8
ත්‍රිකෝණයේ පාදයක දිග = 16cm
ත්‍රිකෝණයේ පරිමිතිය = 16 + 16 + 16
= 48 cm
4.
OB2 = OC2 + BC2
132 = 52 + BC2
169 = 25 + BC2
BC2 = 169 – 25
BC2 = 144
BC = √144
BC = 12 cm
AB = 2BC
= 24 cm
ජ්‍යායයේ දිග = 24 cm
ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.
