පාඩම් අංකය – සමීකරණ

වීජීය භාග සහිත ඒකජ සමීකරණ

සමගාමී සමීකරණ

භාග සංගුණක සහිත සමගාමී සමීකරණ

වර්ගඡ සමීකරණ

සාධක භාවිතයෙන් වර්ගඡ සමීකරණ විසඳීම

වර්ග පූර්ණයෙන් වර්ගඡ සමීකරණ විසඳීම

සූත්‍රය භාවිතයෙන් වර්ගඡ සමීකරණ විසඳීම

(1)

a.විසඳන්න

\frac x{(x-1)}+\frac{3x}{2(x-1)}=\frac54

b.රූපයේ දැක්වෙන ආකාරයට ඉඩමක ඍජුකෝණාස්‍රාකාර කොටසෙහි කම්බි වැටක් බැඳ වෙන්කර ඇත.

I.මුළු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කොටසෙහි වර්ගඵලය 30cm²  නම් 2x²+ x = 10 මගින් තෘප්ත කරන බව පෙන්වන්න

II.ඉහත සමීකරණය විසඳා x හි අගය සොයන්න.

III.සම්පූර්ණ ඉඩමෙහි වර්ගඵලය සොයන්න.

(2)

a).විසඳන්න.

b)

\;\frac3x+\frac2y=\frac58

\;\frac2x+\frac1y=\frac18

c).ඇපල් ගෙඩියක මිල දොඩම් ගෙඩියක මිල මෙන් 4 ගුණයකට වඩා රුපියල් දෙකකින් වැඩිය. දොඩම් ගෙඩි තුනක් හා ඇපල් ගෙඩි දෙකක් ගත් විට මිල 114 කි. දොඩම් ගෙඩියක මිල x ලෙස ගෙන

I.ඇපල් ගෙඩියක මිල x ඇසුරෙන් ලියන්න

II.x හි සමීකරණයක් ගොඩනඟා එය විසඳන්න.

III.ඇපල් ගෙඩියක මිල සොයන්න

(3) 2017 සා.පෙළ උපකාරක සම්මන්ත්‍රණය – ගණිතය II)

රූපයේ දැක්වෙන්නේ PQR සෘජුකෝණි ත්‍රිකෝණාකාර ලෑලි කැබැල්ලකි. එහි PST සෘජු කෝණී ත්‍රිකෝණාකාර කොටස කපා ඉවත් කරයි. SP දිග ඒකක a වේ. ST දිග SP දිගට වඩා ඒකක තුනක් වැඩිය. SQ දිග SP දිග මෙන් දෙගුණයකි. QR දිග ඒකක 3a+9 වේ. කපා ඉවත් කළ කොටස හැර ඉතිරි කොටසේ වර්ගඵලය වර්ග ඒකක 28කි. වර්ගජ සමීකරණයක් ගොඩනඟා විසඳීමෙන් SP = ඒකක\frac{(\sqrt{37}-3)}2බව පෙන්වා කපා ඉවත් කළ කොටසේ වර්ගඵලය වර්ග ඒකක 3 ඉක්මවන බව පෙන්වන්න.

(4)එක්තරා සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කාමරයක දිග x+3 හා පළල y ලෙස වන විට පරිමිතිය ඒකක 40 කි. පසුව කාමරයේ පළල එලෙසම තබා දිග පස් ගුණයකින් වැඩි කළ විට ලැබෙන පරිමිතිය ඒකක 104 කි.

I.ඉහත තොරතුරු දක්වීමට සමගාමී සමීකරණ යුගලයක් ගොඩනගන්න

II.එය විසඳා x හා y සොයන්න.

III.කාමරයේ නව වර්ගඵලය සොයන්න.

IV.දිග ඒකක 6 හා පළල ඒකක 5 වන ටයිල් කැට ඇතිරීමට අවශ්‍ය නම් ඒ සඳහා ටයිල් කැට කොපමණක් උවමනා වේද?

(5)(2015 සා.පෙළ උපකාරක සම්මන්ත්‍රණය – ගණිතය II)

රූපයේ දැක්වෙන්නේ පාදයක දිග (x+3) cm වන රොම්බසයක් හැඩති ආස්තරය කි. D සිට AB ට     ලම්බ දුර (x-1) cm වේ

I.රොම්බසයේ වර්ගඵලය සඳහා x ඇසුරෙන් ප්‍රකාශනයක් ලබාගන්න

II.රොම්බසය වර්ගඵලය 9cm² නම් x මගින් x^2+2x-12=0 සමීකරණය සපුරාලනු බව පෙන්වන්න.

III. වර්ග පූර්ණයෙන් හෝ අන් ක්‍රමයකින් ඉහත සමීකරණය විසඳා රොම්බසයේ පැත්තක දිග සොයන්න.

(6) (2016 සා.පෙළ උපකාරක සම්මන්ත්‍රණය – ගණිතය II)

සෘජුකෝණි ත්‍රිකෝණයක කර්ණයේ දිග එහි කුඩාම පාදයේ දිග මෙන් දෙගුණයකට වඩා 1cm කින් අඩුවේ.

I. කුඩාම පාදයේ දිග x\;cm නම් කර්ණ්යේ දිග ඇසුරෙන් සොයන්න.

II.ඉතිරි පාදයේ දිග කුඩාම පාදයට වඩා  කින් වැඩි නම් පයිතගරස් ප්‍රමේයය ඇසුරෙන් පාද වල දිගෙහි වර්ග අතර සම්බන්ධය ලියන්න.

III. ඉහත සම්බන්ධය සුළු කිරීමෙන් සුළු කිරීමෙන් x^2-5x=4  සමීකරණය ලැබෙන බව පෙන්වන්න.

IV වර්ග පූර්ණයෙන් හෝ සූත්‍රය භාවිතයෙන් හෝ සමීකරණය විසදා කර්ණයේ දිග සොයන්න.

(\surd41\;හි අගය 6.4 ලෙස ගන්න.)

පිළිතුරු

(1)

a.

\frac x{(x-1)}+\frac{3x}{2(x-1)}=\frac54

\frac{2x}{2(x-1)}+\frac{3x}{2(x-1)}=\frac54

\frac{5x}{2(x-1)}=\frac54

\frac x{(x-1)}=\frac12

2x=x-1

x=-1

b.

මුළු දිග = (6x+3) cm

සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කොටසෙහි වර්ගඵලය =x(6x+3)\;=\;6x2\;+\;3x\;

\therefore6x^2+3x=30 \therefore2x^2+x=10

II.2x^2+x=10

2x^2+x-10=0

2x^2-4x+5x-10=0

2x(x-2)+5(x-2)=0

(2x+5)(x-2)=0

\therefore x=\frac{-5}2,\;\;x=2

දිග සෘණ විය නොහැකි නිසා;

x=2

III.සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කොටසේ වර්ගඵලය==30cm2

අර්ධ වෘත්තයේ වර්ගඵලය\frac12\mathrm\pi(\frac{\mathrm x}2)^2=\frac12\times3.14\times(\frac12)^2=1.54\mathrm{cm}^2

මුළු වර්ගඵලය= 1.54+30 = 31.54cm²

(2)

a.

\frac3x+\frac2y=\frac58\rightarrow(1) \frac2x-\frac1y=\frac18\rightarrow(2)

(2)x2

\frac4x-\frac2y=\frac28\rightarrow(3)

(1)+(3)

\frac3x+\frac2y+\frac4x-\frac2y=\frac58+\frac28 \frac7x=\frac78 \frac1x=\frac18

x=8

X හි අගය (1) ට ආදේශ කිරීමෙන්

\frac38+\frac2y=\frac58

\frac38+\frac2y=\frac58

\frac2y=\frac28

Y=8

\therefore x=8\;\;\;\;\;\;\;y=8

b.

I.4x+2 = 2(2x+1)

II.දොඩම් ගෙඩි තුනක මිල  = 3x

ඇපල් ගෙඩි දෙකක මිල  = 4(2x+1)

මුළු මිල                         = 3x + 4(2x+1)

                                     = 11x+ 4

\therefore11x+4=114

                           11x = 114-4

                            11x = 110

                            X = 10

III.ඇපල් ගෙඩියක මිල= 2(2x+1)

                               = 2{(2\times10)+1}

                               = රුපියල් 42

(3)

PQR ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය=\frac12\times(3a+9)\times3a

=\frac12\times3(a+3)\times3a =\frac{9a}2(a+3)

PST ත්‍රිකෝනයේ වර්ගඵලය =\frac12\times(3a+9)\times3a

=\frac{9a}2(a+3)

PST ත්‍රිකෝනයේ වර්ගඵලය =\frac12\times(a+3)\times a

STRQ  ත්‍රපීසියමේ වර්ගඵලය = PQR ව.ඵ – PST ව.ඵ

28=\frac{9a}2(a+3)-\frac a2(a+3)

28=\frac{9a}2(a+3)-\frac a2(a+3)

28=\frac a2(a+3)\times8

28=a(a+3)×4

\frac{28}4=a(a+3)\times\frac44

7=a^2+3a

a^2+3a-7=0

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-3\pm\sqrt{9-4\times1\times(-7)}}{2\times1}

x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}2

x=\frac{-3\pm\sqrt{37}}2

SP=\;\;\frac{\sqrt{37}-3}2 (දිග සෘණ විය නොහැකි බැවින්)

PST ව.ඵ =\frac12a(a+3)

=\frac12\times\frac{(\surd37-3)}2\times(\frac{(\surd37-3)}2+3)

=\frac12\times\frac{(6.08-3)}2\times(\frac{(6.08-3}2+3)

=\frac12\times\frac{3.08}2\times(\frac{3.08}2+3)

=\frac12\times1.54\times4.54

=1.54×2.27

=3.5158 වර්ග ඒකක

 PST ත්‍රිකෝනයේ වර්ගඵලය වර්ග ඒකක  3 ඉක්මවයි

(4)

i)2(x+3)+2y=40\;\rightarrow(1)

2\times5(x+3)+2y=104\rightarrow(2)

ii) (2)-(1)

10(x+3)+2y-2(x+3)-2y=104-40

8(x+3)=64

\frac{8(x+3)}8=\frac{64}8

x+3=8

x=5

X හි අගය (1) ට ආදේශ කිරීමෙන්

2(5+3)+2y=40

16+2y=40

2y=24

y=12

එමනිසා x=5 y=12

iii)

නව දිග =5(5+3)=40 ඒකක

නව වර්ගඵලය =40×12

(5)

(i) (x + 3)(x – 1)cm²

(ii) (x + 3)(x – 1) = 9

x^2+2x-3=9

x^2+2x-12=0

(iii) x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4\times1(-12)}}{2\times1}

x=\frac{-2\pm\sqrt{52}}2

x=\frac{-2\pm2\sqrt{13}}2

x=-1\pm\surd13

x=-1\pm\surd13

x=-1\pm\;3.6

දිග සෘණ විය නොහැකි බැවින් x = 2.6 cm

පැත්තක දිග  = 2.6 + 3 =5.6cm

(6)

i. 2x – 1

ii. ඉතිරි පාදේ දිග  = x + 3

\therefore(2x-1)^2=x^2+(x+3)^2

4x^2-4x+1=x^2+x^2+6x+9

2x^2-10x-8=0

x^2-5x-4=0

iv.x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-5\pm\sqrt{(-5)^2-4\times1(-4)}}{2\times1}

x=\frac{5\pm\sqrt{25+16}}2

x=\frac{5\pm\sqrt{41}}2

x=\frac{5\pm6.4}2

දිග සෘණ විය නොහැකි බැවින් \therefore x=5.7cm

කර්ණයේ දිග =2\times5.7-1

x=10.4cm

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.