සමූහිත සංඛ්යාත ව්යාප්ති
නිදසුන 1 :
එක්තරා පාසලක 10 ශ්රේණියේ සහ 11 ශ්රේණියේ පන්ති 20 ක සිටින ළමුන් සංඛ්යාව පහත දැක්වේ.
31, 34, 33, 36, 38, 36, 37, 32, 31, 33,
34, 39, 37, 36, 31, 32, 35, 35, 37, 35,
32, 35, 34, 34, 34, 37, 38, 39, 36, 31
ඉහත දත්ත ව්යාප්තියේ වැඩිම අගය 39 වන අතර අඩුම අගය 31 වේ.
\boxed{\text{පරාසය = වැඩිම අගය - අඩුම අගය}}
ඉහත දත්තවල පරාසය = 39 – 31 = 8
දත්ත වල පරාසය අඩු අගයක් ගන්නා මෙවැනි තොරතුරු පහත ආකාරයට වගුගත කළ හැකිය. එවැනි වගුවකට සංඛ්යාත ව්යාප්තියක් යැයි කියනු ලැබේ.
| පන්තියක සිටින ළමුන් ගණන | පන්ති ගණන |
| 31 | 4 |
| 32 | 3 |
| 33 | 2 |
| 34 | 5 |
| 35 | 2 |
| 36 | 4 |
| 37 | 4 |
| 38 | 2 |
| 39 | 2 |
නිදසුන 2 :
වාර පරීක්ෂණයකදී ළමුන් 40 ක් සිටින පන්තියක විද්යාව විෂයට ලබා ගත් ලකුණු පිළිබඳ තොරතුරු පහත දැක්වේ.
43, 56, 78, 92, 32, 77, 09, 32, 65, 89,
21, 20, 62, 89, 45, 76, 90, 45, 49, 80,
44, 07, 51, 70, 68, 43, 76, 88, 42, 77,
18, 24, 19, 67, 71, 66, 72, 35, 56, 85
මෙහි වැඩිම අගය 94 වන අතර අඩුම අගය 07 වේ.
ඒ අනුව දත්තවල පරාසය = 94 – 07= 87
දත්ත පරාසය විශාල නිසා වගුගත කිරීම අපහසුය.
එබැවින් පන්ති ප්රාන්තර වලට බෙදා සකස් කළ සංඛ්යාත ව්යාප්තියක් සැලකිය හැක.
| පන්ති ප්රාන්තරය | සංඛ්යාතය |
| 7 – 17 | 2 |
| 18 – 28 | 5 |
| 29 – 39 | 3 |
| 40 – 50 | 7 |
| 51 – 61 | 3 |
| 62 – 72 | 8 |
| 73 – 83 | 6 |
| 84 – 94 | 6 |
- මෙම ව්යාප්තියේ (07 – 17) පන්ති ප්රාන්තරයේ සංඛ්යාතය යනු, 07 ත් 17 ත් අතර එම අගයන් ද ඇතුළත්ව දත්ත 2ක් ඇති බවයි.
- මෙම ව්යාප්තිය වැඩිම සංඛ්යාතය 8 කි
- එය අයත් වන පන්ති ප්රාන්තරය (62 – 72) වේ
- එම (62 – 72) පන්ති ප්රාන්තරය මෙම ව්යාප්තියේ මාත පන්තිය ලෙස හැඳින්වේ
- මෙවැනි පන්ති ප්රාන්තර සහිත සංඛ්යාත ව්යාප්තියක ට සමූහිත සංඛ්යාත ව්යාප්තියක් යැයි කියනු ලැබේ
එනම් ඉහත සංඛ්යාත ව්යාප්තියේ,
තරම = 8 – 1 = 7
පන්ති ප්රාන්තරයක තරම යනු,
\begin{array}{rcl}&&{\begin{array}{l}\boxed{\mathrm{තරම}\;=\;\mathrm{පන්ති}\;\mathrm{ප්}\mathrm{රාන්තර}\;\mathrm{ගණන}\;-\;1}\\\end{array}}\end{array}
පන්ති ප්රාන්තරයක මධ්ය අගය (x)
පන්ති ප්රාන්තරයක මධ්යන්යය සෙවීමට නම් එහි මධ්ය අගය ලබා ගත යුතුයි.
\begin{array}{rcl}&&\boxed{\text{මධ්ය අගය}\;\;=\frac{\;\text{පන්ති ප්රාන්තරයේ මුල් අගය + පන්ති ප්රාන්තරයේ අවසන් අගය}\;}2}\\&&\end{array}එනම් ඉහත (07 – 17) පන්ති ප්රාන්තරයේ,
\begin{array}{rcl}\mathrm{මධ්}\mathrm ය\;\mathrm{අගය}\;&=&\frac{7+17}2=12\\&&\end{array}
(51 – 61) පන්ති ප්රාන්තරයේ,
\begin{array}{rcl}\mathrm{මධ්}\mathrm ය\;\mathrm{අගය}\;&=&\frac{51+61}2=56\\&&\end{array}
- ඉහත, පන්තියක සිටින ළමුන් ගණන, පන්තියක ළමුන් විද්යා විෂයට ලබාගත් ලකුණු ගණන වැනි දත්ත නිශ්චිත පූර්ණ අගයක් ගනී.
- නමුත් එසේ නිශ්චිත පූර්ණ අගයක් පමණක් නොගන්නා, යම් පරාසයක් තුළ වූ ඕනෑම අගයක් ගත හැකි දත්ත ද ඇත.
- ඒවා සන්තතික දත්ත නම් වේ
උදාහරණ :- උස, වයස, දිග, ස්කන්ධය
නිදසුන 3 :
පන්තියක ළමුන් ගේ උස ආසන්න සෙන්ටිමීටරයට (cm) මැනගත් විට පහත දත්ත ලැබේ.
| පන්ති ප්රාන්තරය | සංඛ්යාතය (f) | මධ්ය අගය (x) |
| 140 – 145 | 3 | 142.5 |
| 145 – 150 | 4 | 147.5 |
| 150 – 155 | 15 | 152.5 |
| 155 – 160 | 8 | 157.5 |
| 160 – 165 | 9 | 162.5 |
| 165 – 170 | 3 | 167.5 |
මෙවැනි ව්යාප්තියක (140 – 145) පන්ති ප්රාන්තරයක ගැනෙන්නේ උස 140 cm ට වැඩි නමුත් 145 cm ට අඩු ළමුන් ගණනයි. එවිට උස 145 cm වන ළමයෙකු එම පන්ති ප්රාන්තරයට නොගැනේ. ඔහු අයත් වන්නේ (145 – 150) යන පන්ති ප්රාන්තරයටයි
සමූහිත දත්ත වල මධ්යන්යය ගණනය කිරීම
\begin{array}{rcl}\mathrm{මධ්}\mathrm{යන්}\mathrm{යය}\;&=&\frac{\sum\;\mathrm{මධ්}\mathrm ය\;\mathrm{අගය}\;\times\;\mathrm{සංඛ්}\mathrm{යාතය}}{\sum\;\mathrm{සංඛ්}\mathrm{යාතය}}\\&&\\&=&\frac{\sum fx}{\sum f}\end{array}
මෙහි ∑ ලකුණෙහි අර්ථය ‘එකතුව’ යන්නයි
එනම්, ∑fx යනු මධ්ය අගය (x) × සංඛ්යාතය (f) හි මුළු එකතුවයි
∑f යනු සංඛ්යාත තීරයේ මුළු එකතුවයි
නිදසුන 4 :
පන්තියක ළමුන් 20 දෙනෙකු එක්තරා ඇගයීමකට ලබාගත් ලකුණු පහත දැක්වේ.
| පන්ති ප්රාන්තරය | සංඛ්යාතය (f) | මධ්ය අගය (x) | fx |
| 1 – 10 | 3 | 5.5 | 16.5 |
| 11 – 20 | 2 | 15.5 | 31 |
| 21 – 30 | 8 | 25.5 | 204 |
| 31 – 40 | 5 | 35.5 | 177.5 |
| 41 – 50 | 2 | 45.5 | 91 |
| ∑ f = 20 | ∑ fx = 520 |
\begin{array}{rcl}\text{මධ්යන්යය}\;&=&\frac{\sum fx}{\sum f}\;\\&=&\frac{520}{20}\\&=&26\end{array}
උපකල්පිත මධ්යනය (A)
මධ්යන්යය සෙවීම සඳහා ඇතැම් අවස්ථාවල හමුවන සංඛ්යාත ව්යාප්ති වල දත්තයන්ගේ මධ්ය අගය විශාල සංඛ්යාවන් ගෙන් යුක්ත විය හැක.
එවිට උපකල්පිත මධ්යන්යයක් ඇසුරෙන් මධ්යන්යය ගැනීම වඩාත් පහසුයි.
වාර පරීක්ෂණයකදී සිසුන් 300 ක් ලබා ගත් ලකුණු මෙසේය.
| පන්ති ප්රාන්තරය | සංඛ්යාතය | මධ්ය අගය |
| 10 – 20 | 14 | 15.5 |
| 21 – 30 | 28 | 25.5 |
| 31 – 40 | 52 | 35.5 |
| 41 – 50 | 42 | 45.5 |
| 51 – 60 | 60 | 55.5 |
| 61 – 70 | 18 | 65.5 |
| 71 – 80 | 52 | 75.5 |
| 81 – 90 | 22 | 85.5 |
| 91 – 100 | 12 | 95.5 |
| ∑f = 300 |
ඉහත වගුවට අපගමන තීරුවක් එකතු කළ විට,
\begin{array}{rcl}&&\boxed{\text{අපගමනය = මධ්ය අගය - උපකල්පිත මධ්යන්යය}}\end{array}
| f | x | අපගමනය (d) | fd | |
| 10 – 20 | 14 | 15.5 | – 40 | -560 |
| 21 – 30 | 28 | 25.5 | – 30 | -840 |
| 31 – 40 | 52 | 35.5 | -20 | -1040 |
| 41 – 50 | 42 | 45.5 | -10 | -420 |
| 51 – 60 | 60 | 55.5 | 0 | 0 |
| 61 – 70 | 18 | 65.5 | +10 | +180 |
| 71 – 80 | 52 | 75.5 | +20 | +1040 |
| 81 – 90 | 22 | 85.5 | +30 | +660 |
| 91 – 100 | 12 | 95.5 | +40 | +480 |
| ∑ f = 300 | ∑ fd = -500 |
ඉහත වගුවේ (51 – 60) පන්ති ප්රාන්තරයට අදාල මධ්ය අගය උපකල්පිත මධ්ය අගය (A) ලෙස ගනිමු.
ඒ අනුව දත්ත වගුව සම්පූර්ණ කළ හැක.
ඉන්පසු සංඛ්යාතය × අපගමනය (fd) තීරය සඳහා අගයන් ලබා ගන්න.
\begin{array}{c}\boxed{\text{සැබෑ මධ්යන්යය = උපකල්පිත මධ්ය අගය + අපගමන වල මධ්යන්යය}}\end{array}
\begin{array}{c}\text{සැබෑ මධ්යන්යය}\;=\;A+\frac{\sum fd}{\sum f}\end{array}
ඉහත ගැටළුවේ,
\begin{array}{rcl}\text{සැබෑ මධ්යන්යය}\;&=&\;A+\frac{\sum fd}{\sum f}\\\text{සැබෑ මධ්යන්යය}\;&=&\;55.5+-\frac{500}{300}\;\;\;\;\\\;\;&=&\;55.5\;–\;1.67\;\\&=&\;53.8\end{array}උපකල්පිත මධ්යන්යය ලෙස මාත පන්තියේ හෝ මධ්යස්ථ පන්තියේ මධ්ය අගය තෝරා ගැනීමෙන් අපගමනය සෙවීම වඩාත් පහසු වේ.
ඉදිරියේදී ප්රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.
