ලඝුගණක

\boxed{\mathrm a^{\mathrm x\;}=\;\mathrm N\;\mathrm{නම්}\;\log_{\mathrm a}\mathrm N=\mathrm x\;\mathrm{වේ}}

\begin{array}{l}උදා:\\2^3\;=\;8\;‍යන්න\;ලඝුගණක\;ආකාරයෙන්\;\log_28=3\end{array}

\begin{array}{l}\boxed{\begin{array}{l}a^1=a\;a^1=a\;බැවින්,\\\log_aa\;=1\;\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\\boxed{\log_am^{r\;}=\;r\;\log_am}\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\boxed{\log_am\times n\;=\;\log_am\;+\;\log_an\;}\\\\උදා\;:\\\;\;\log_432\;+\;\log_42\\=\log_4\left(32\times2\right)\\=\log_464\\=3\;\;\;\;\;\;\left(64=4^3\;බැවින්\right)\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\boxed{\log_a\left(\frac mn\right)=\log_am\;-\;\log_an}\\\\උදා\;:\\\;\;\;\;\;\;\log_515\;+\;\log_53\\\;\;=\log_5\left({\textstyle\frac{15}3}\right)\\\;\;=\log_55\\\;\;=1\\\\\\\end{array}

\begin{array}{l}උදා\;:\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;507.5\;=\;5.075\times10^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;50750\;=\;5.075\times10^4\\\;\;\;\;\;\;\;\;5.075\;=5.075\times10^0\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}507.5=2.7050\\\log_{10}50750=4.7050\\\log_{10}5.075=0.7050\end{array}

\begin{array}{l}\overline2.5143+\overline1.2375\;=\;-2+0.5143+(-1)+0.2375\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(-2-1)+(0.5143+0.2375)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-3+0.7518\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\overline3.7518\\\end{array}

\begin{array}{l}3.8753+1.3475\;=\;-3+0.8753+1+0.3475\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(-3+1)+(0.8753+0.3475)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2+1.2228\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2+1+0.2228\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\overline1.2228\\\end{array}

\begin{array}{l}\overline2.5143-1.3143\;=\;-2+0.5134-(1+0.3143)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2+0.5143-1-0.3143\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2-1+0.5143-0.3143\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-3+0.2000\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\overline3.2000\\\end{array}

\begin{array}{l}\overline2.5143-\overline1.9143\;=\;-2+0.5143-(-1+0.9143)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2=0.5143+1-0.9143\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2+1+0.5143-0.9143\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-1-0.4000\\මෙහිදී\;දශමාංශය\;ලෙස\;සෘණ\;අගයක්\;ලැබේ,\;නමුත්\;දශමාංශය\;සෘණ\;විය\;නොහැකිය.\;ඒ\;අනුව\;පහත\;පරිදි\;උපක්‍රමයක්\;භාවිත\;කරයි\\-1-0.4\;=\;-1-1+1-0.4\;(-1+1=0\;නිසා\;අගය\;වෙනස්\;නොවේ)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-2+0.6\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\overline2.6\\\end{array}

\begin{array}{l}ගුණ\;කිරීම\;:\\\;\;2.8111\;\times\;2\;=\;5.6222\\\\\;\;\;2.\;7512\;\times\;3\;\\=\;3\;(-\;2\;+\;0.7512)\;\\=\;-\;6\;+\;2.2536\;\\=\;-\;6\;+\;2\;+\;0.2536\;\\=\;-\;4\;+\;0.2536\;\\=\;4.\;2536\end{array}

\begin{array}{l}බෙදීම\;:\\\;\;\;2.5142\;\div\;2\;=\;1.2571\\\\\;\;\;3.5001\;\div\;3\;\\=\;(-\;3\;+\;0.5001)\;\div\;3\;\\=\;-\;1\;+\;0.1667\;\\=\;1.1667\\\\\;\;\;1.5412\;\div\;2\;\\=\;(-\;1\;+\;0.5412)\;\div\;2\;\\=\;(-\;2\;+\;1\;+\;0.5412)\;\div\;2\;\\=\;(-\;2\;+\;1.5412)\;\div\;2\;\\=\;1\;.7706\end{array}

\begin{array}{l}P=\frac{7.543\times0.987^2}{\sqrt{0.875}}\;ලෙස\;ගනිමු\\\\එවිට\;\\\log_{10}P=\log_{10}\left(\frac{7.543\times0.987^2}{\sqrt{0.875}}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\log_{10}7.543+\log_{10}0.987^2-\log_{10}0.875^\frac12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\log_{10}7.543+2\log_{10}0.987-\frac12\times1.9420\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8776+2\times1.9943-\frac{2+1.9420}2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8776+1.9886-(1+0.9710)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8776+1.9886-1.9710\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8662-1.9710\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8952\\\therefore P\;=\;anti\log\;0.8952\\\;\;\;\;\;\;\;=\;7.855\end{array}

\frac{44.56\times8.37^2}{\sqrt{35.47}}

\frac{44.56\times0.1632}{\sqrt{15.42\times6.18}}

\frac{6.519\times\sqrt[3]{0.0782}}{0.9821}

\begin{array}{l}V=\frac43\;\mathrm{πr}^3\\\mathrm r\;=\;0.64\;\mathrm{cm}\;\mathrm{හා}\;\mathrm\pi=\;3.142\;\mathrm{ලෙස}\;\mathrm{ගෙන}\;\mathrm{ගෝලයේ}\;\mathrm{පරිමාව}\;\mathrm{ගණනය}\;\mathrm{කරන්න}\end{array}

\log_{10}\frac1{256}-\log_{10}\frac{125}4-3\log_{10}\frac1{20}

\frac{6.892\times8.341^2}{1.862^4\times\sqrt{7.31}}

\begin{array}{l}i.\;\log_464\;=\;\log_44^3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;3\log_44\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;3\times1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;3\\\\ii.\;\;\;\;\;\log_{10}\;75\;+\;\log_{10}\;8\;–\;\log_{10}\;6\;\\\;\;\;=\log_{10}\frac{(75\;\times\;8)}6\;\\\;\;\;=\;\log_{10}100\\\;\;\;=\;\log_{10}10^2\\\;\;\;=\;2\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}8\;=\;\log_{10}2^3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=3\log_{10}2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=3x\end{array}

\begin{array}{l}x=\frac{44.56\times8.37^2}{\sqrt{35.47}}\;ලෙස\;ගනිමු,\\\log_{10}x\;=\;\left(\frac{44.56\times8.37^2}{\sqrt{35.47}}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}44.56+\log_{10}8.37^2+\log_{10}35.47^\frac12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.6490+2\times0.9227-\frac12\times1.5499\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.6490+1.8454-0.7749\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2.7195\\\;\;\;\;\;\;x\;\;=\;anti\log\;2.7195\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;524.2\end{array}

\begin{array}{l}i.\;\log_{10}64\;+\;\log_{10}25\;+\;\log_{10}16\\\;=\;\log_{10}\left(\frac{64\times25}{16}\right)\\\;=\;\log_{10}100\\\;=\;2\\\\ii.\;\log_64\;+\;\log_69\;+\;\log_66\\\;=\;\log_6\left(4\times9\times6\right)\\\;=\;\log_6\left(36\times6\right)\\\;=\;\log_66^3\\\;=\;3\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}\left(x^2y\right)\;=\;\log_{10}x^2\;+\;\log_{10}y\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2\log_{10}x^2\;+\;\log_{10}y\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2a+b\end{array}

\begin{array}{l}x\;=\frac{44.56\times0.1632}{\sqrt{15.42\;}\times6.18}\;ලෙස\;ගනිමු,\\\log_{10}x\;=\;\log_{10}\left(\frac{44.56\times0.1632}{\sqrt{15.42\;}\times6.18}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}44.56\;+\;\log_{10}0.1632\;-\;\log_{10}\left(15.42\right)^\frac12\;-\;\log_{10}6.18\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.6490\;+\overline{\;1}.2127\;-\;\frac12\times1.1881\;-\;1.7910\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.6490\;+\;\overline1.2127\;-\;0.5940\;-\;1.7910\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2.5767\\\;\;\;\;\;\;x\;=\;anti\log\;\overline2.5767\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.03774\end{array}

\begin{array}{l}\;\;\;\;\log_3(\log_28)\\=\log_3(\log_22^3)\\=\log_3(3\times\log_22)\\=\log_3(3\times1)\\=\log_3(3)\\=1\end{array}

\begin{array}{l}2\log_{10}x\;+\;\log_{10}3\;=\;\log_{10}75\\\log_{10}x^{2\;}+\;\log_{10}3\;=\;\log_{10}75\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\log_{10}\left(3x^2\right)\;=\;\log_{10}75\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2\;=\;75\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2\;=\;25\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\;=\;5\end{array}

\begin{array}{l}x\;=\;\frac{6.519\times\sqrt[3]{0.0782}}{0.9821}\;ලෙස\;ගනිමු,\\\log_{10}x\;=\;\log_{10}\left(\frac{6.519\times\sqrt[3]{0.0782}}{0.9821}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}6.519\;+\;\log_{10}0.0782^\frac12\;-\;\log_{10}0.9821\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.8142\;+\;\frac13\times\overline2.8932\;-\;\overline1.9921\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.8142\;+\;\frac13\times(3+\overline1.8932)\;-\overline1.9921\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.8142+1+\overline0.6316-\overline1.9921\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.4537\\\;\;\;\;\;\;x\;=\;anti\log\;0.4537\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2.843\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}7.5\;=\;\log_{10}\left(\frac{15}2\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}\left(\frac{3\times5}2\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}3\;+\;\log_{10}5\;-\;\log_{10}2\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}470\;=\;\log_{10}(4.7\times10^2)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}4.7\;+\;\log_{10}10^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.6721\;+\;2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2.6721\\\\\log_{10}0.0470\;=\;\log_{10}(4.7\times10^{-2})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}4.7\;+\;\log_{10}10^{-2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.6721\;+\overline{\;2}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\overline2.6721\end{array}

\begin{array}{l}යකඩයේ\;පරිමාව\;=\;5.4m\times\;0.36m\;\times\;0.22m\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(5.4\times0.36\times0.22)m^3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;(5.4\times0.36\times0.22)\times10^6cm^3\\\\යකඩ\;බාල්කයේ\;ස්කන්ධය\;(M)\;=\;5.4\;\times\;0.36\;\times\;0.22\;\times\;10^{6\;}\;\times7.86g\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;5.4\;\times\;0.36\;\times\;0.22\;\times\;7.86\;\times\;10^3Kg\\\\\log_{10}M\;=\;\log_{10}(\;5.4\;\times\;0.36\;\times\;0.22\;\times\;7.86\;\times\;10^3)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\log_{10}\;5.4\;\times\;\log_{10}\;0.36\;\times\;\log_{10}\;0.22\;\times\;\log_{10}\;7.86\;\times\;\log_{10}\;10^3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.7324\;+\;1.5563\;+\;1.3424\;+\;0.8954\;+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;3.5265\\\;\;\;\;\;\;M\;=\;anti\log\;3.5265\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;3362\\\\\therefore යකඩ\;බාල්කයේ\;ස්කන්ධය\;(M)\;=\;3362Kg\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\therefore539\;=\;7^2\times11\\\\\log_a539\;=\;\log_a(7^2\times11)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_a7^2+\log_a11\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2\log_a7+\log_a11\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2x+y\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}6.25\;=\;\log_{10}(2.5^2)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2\;\log_{10}2.5\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;2\times0.3979\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.7958\\\\\end{array}

\begin{array}{l}V\;=\;\frac43\mathrm{πr}^3\\\;\;\;\;=\;\frac43\times3.142\times0.64^3\\\\\log_{10}\mathrm V\;=\;\log_{10}(\frac43\times3.142\times0.64^3)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}4\;+\;\log_{10}3.142\;+\;\log_{10}0.64^3\;+\;\log_{10}3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.6021\;+\;0.4972\;+\;3\times(\overline1.8072)\;-\;0.4771\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.6021\;+\;0.4972\;+\overline{\;1}.4186\;-\;0.4771\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.0363\\\;\;\;\;\;\;\mathrm V\;=\;\mathrm{antilog}\;0.0363\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.097\\\\\therefore\mathrm{පරිමාව}(\mathrm V)\;=\;1.097\;\mathrm{cm}^3\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\;\;\;\;\log_{10}\frac1{256}+\log_{10}\frac{125}4-3\log_{10}\frac1{20}\\=\left(\log_{10}\frac1{256}\times\frac{125}4\times20\times20\times20\right)\\=\log_{10}1\\=\log_{10}10^{10}\\=0\\\\\end{array}

\begin{array}{l}\log_{10}12\;=\;\log_{10}(4\times3)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}\;(2^2\times3)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\log_{10}2^2\;\;+\;\log_{10}3\\1.0792\;\;=\;2\times0.3010+\log_{10}3\\\;\;\;\log_{10}3=1.0792\;-\;0.6020\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;0.4772\\\\\end{array}

\begin{array}{l}x\;=\;\frac{6.892\times8.431^3}{1.862^4\times\sqrt{7.31}}\;ලෙස\;ගනිමු,\\\\\log_{10}x\;=\;\log_{10}\left(\frac{6.892\times8.431^3}{1.862^4\times\sqrt{7.31}}\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\log_{10}6.892\;+\;\log_{10}8.431^3-\log_{10}1.862^4-\log_{10}7.31^\frac12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8383+3\times0.6968-4\times0.2670-\frac12\times0.8639\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0.8383+2.0904-1.0680-0.4319\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1.4288\\\;\;\;\;\;\;\;x\;=\;anti\log\;1.4288\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=26.84\\\\\end{array}