සම්භාවිතාවය

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

සිද්ධියක\;සම්භාවිතාව = \frac{සිද්ධියේ\;අවයව\;ගණන}{නියැදි\;අවකාශයේ\;අවයව\;ගණන}

 

                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                           

 

• එකවිට සිදුනොවන සිද්ධි අන්‍යොන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර සිද්ධි වේ.
  එනම් A⋂B = ∅ නම්, A හා B අන්‍යොන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර වේ.

 

උදා :-

 

1 සිට 5 තෙක් අංක ලියා ඇති කාඩ්පත් කට්ටලයකින් අහඹු ලෙස ඉවතට ගන්නා කාඩ්පතක ලියා ඇති සංඛ්‍යාව නිරීක්ෂණය කිරීමේ සසම්භාවී පරීක්ෂණයේ,

A = {2,4}

B = {1,3,5}

ඒ අනුව A⋂B = ∅ බැවින්,
A හා B අන්‍යොන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර සිද්ධි වේ.

• A හා B අන්‍යොන්‍ය වශයෙන් බහිෂ්කාර සිද්ධි වේ නම්,

P(A\cup B)\;=\;P(A)\;+\;P(B)

 

• සසම්භාවී පරීක්ෂණයකදී එක් සිද්ධියක සිදුවීම වෙනත් සිද්ධියක සිදුවීම කෙරෙහි බලපෑමක් ඇති නොකරයි නම්, එම සිද්ධි ස්වායක්ත වේ.

එවිට,

P(A⋃B) = P(A).P(B) වේ.

උදා :-

කාසියක් දෙවරක් උඩ දමා , වතාවල් 2හිදීම සිරස ලැබීමේ සිද්ධිය සලකමු.

පළමු අවස්තාවේ ලැබෙන ප්‍රතිඵලය , දෙවන අවස්ථාවේ ප්‍රතිඵලයට බල පාන්නේ නොමැති බැවින්,

දෙවරම\;සිරස\;ලැබීමේ\;සම්භාවිතාවය = \frac12\times\frac12=\frac14

• යම්කිසි ප්‍රතිඵලයක් ලැබීමේ සිද්දිය A නම්, එම ප්‍රතිඵලය නොලැබීමේ සිද්දිය A හි අනූපූරක සිද්ධිය නම් වේ. එය A’ ලෙස අංකනය කරයි.

උදා:-

S = {1,2,3,4,5} විට A = {1,3,5} නම්,

A’ = {2,4}

          තවද A⋂A’ = ∅ බැවින්,
                        P(A')\;=\;1\;–\;P(A) වේ.

 

නියැදි අවකාශය කොටු දැලක නිරූපණය

සමබර කාසියක් හා 1 සිට 4 තෙක් අංකනය කර ඇති චතුස්තලාකාර දාදු කැටයක් උඩ දමනු ලැබේ. නියැදි අවකාශය  ලෙස ලැබුණු ප්‍රතිඵල පටිපාටිගත යුගල් ලෙස පහත දැක්වේ.

(1,H)\;,\;(2,H)\;,\;(3,H)\;,\;(4,H)\;,\;(1,T)\;,\;(2,T)\;,\;(3,T)\;,\;(4,T)

 

මෙහි ප්‍රතිඵල සියල්ල සමසේ භව්‍ය බව පැහැදිලිය.

 

ඉහත කොටුදැලේ ආකාර පෙදෙසට අයත් වන්නේ දාදු කැටයේ 1 ලැබෙන සිද්ධියට අදාල අවයවයි. එහි අවයව 2ක් ඇත. නියදි අවකාශයේ මුළු අවයව ගණන 8කි.

∴ දාදු කැටයේ 1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = \frac28=\frac14

කොටු දැලේ  \square ආකාර පෙදෙසට අයත් වන්නේ දාදු කැටයේ ඉරට්ට සංඛ්‍යාවක් හා කාසියේ අගය ලැබීමේ සිද්දියට අයත් අවයවයි

ඉහත කොටු දැලේ  \bigcirc ආකාර පෙදෙසට අයත් වන්නේ දාදු කැටයේ 2 හා කාසියේ සිරස ලැබීමේ සිද්ධියට අයත් අවයවයි.

රුක් සටහන්

සමබර කාසියක් දෙවතාවක් උඩ දමීමේදී ලැබෙන ප්‍රතිඵල පහත පරිදි රුක් සටහනක නිරූපණය කල හැකිය.

 

 

මෙහිදී අදාල සම්භාවිතා රුක් සටහනෙහි අතු මත දක්වා ඇත. පළමු හා දෙවන උඩ දමීමේදී ලබෙන ප්‍රතිඵල ස්වායක්ත වන නිසා එම සම්භාවිතාවය \frac12බැගින් වේ. මෙම සටහනේ මුල් ශීර්ෂයෙන් පටන් ගෙන කෙලවර දක්වා යා හැකි මාර්ග හතරක් ඇත.

1. මුල් උඩ දැමීමේදී සිරස හා දෙවන උඩ දැමීමේදී සිරස
2. මුල් උඩ දැමීමේදී සිරස හා දෙවන උඩ දැමීමේදී අගය
3. මුල් උඩ දැමීමේදී අගය හා දෙවන උඩ දැමීමේදී සිරස
4. මුල් උඩ දැමීමේදී අගය හා දෙවන උඩ දැමීමේදී අගය

මේවායින් නියදි අවකාශයේ අවයව සියල්ල නිරූපණය වේ.
පළමු උඩ දැමීම හා දෙවන උඩ දැමීම යන අවස්ථා දෙක දැක්වෙන සිද්ධි දෙකම ස්වායක්ත බැවින් එක් එක් ප්‍රතිඵලයේ සම්භාවිතාව සෙවීමට ගුණ කිරීම යොදාගත හැකිය.
එනම්,

\begin{array}{l}P\;(සි\;,සි)\;=\;P\;(\;අවස්ථා\;දෙකේදිම\;සිරස\;)\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;P\;(\;පළමු\;අවස්ථාවෙ\;සිරස\;)\;.\;P\;(\;දෙවන\;අවස්ථාවේ\;සිරස\;)\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac12\;\times\;\frac12\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac14\end{array}

 

සම්භාවිතාව ආශ්‍රිත ගැටලු විසඳීම

1. දක්ෂතා එළි දක්වීමේ ප්‍රසංගයකට ඉදිරිපත් වීමේ අනුපිළිවෙල තෝරා ගැනීම සඳහා ගායන හා වාදන හකියාවන් දෙකම ඇති පිරිමි ළමුන් හතරදෙනෙකුට 1, 2, 3, 4 ලෙසද , ගැහැණු ළමුන් දෙදෙනෙකුට 5, 6 ලෙසද අංක ලබා දී ඇත. එක සමාන කාඩ්පත් 6ක එම එක් එක් අංකය බැගින් සටහන් කර ඒවා සියල්ල පෙට්ටියකට දමා අහඹු ලෙස එකක් ඉවතට ගනු ලැබේ. එම කාඩ්පත් අංකයට අදාල ළමයා ගායනයක් ඉදිරිපත් කල යුතුය.
   a)
      i) දී ඇති අසම්පූර්ණ රුක් සටහන සම්පූර්ණ කරන්න

     ii)පළමුව ඉවතට ගත් කාඩ් පත පෙට්ටියට දමා නැවත අහඹු ලෙස කාඩ්පතක් ඉවතට ගනී. දෙවන වර ගන්නා කාඩ්පතේ අංකයට අදාල ළමයා වාදනයක් ඉදිරිපත් කළ යුතුය. ඉහත රුක් සටහන සුදුසු පරිදි දීර්ඝ කර එක් එක් අවස්ථාවක් පිරිමි ළමයෙකුටද , අනෙක් අවස්තාව ගැහැණු ළමයෙකුට ද ලැබීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.

b)දැන් වෙනත් කාර්යයක් පැවරුණූ බැවින් අංක 1 ලැබූ පිරිමි ළමයා ඉවත් විය. එවිට අංක 1 කාඩ්පත ඉවත් කර ඉතිරි කාඩ්පත් වලින් ගායනය හා වාදනය සඳහා පෙර පරිදිම ළමුන් තෝරා ගන්නේ නම්
   i)ගායනය හා වාදනය සඳහා ළමුන් තෝරගැනීමට අදාල නියැදි අවකාශය කොටු දැලක නිරූපණය කරන්න.
   ii)ගායනය හා වාදනය එකම ළමයෙකුට නොලැබීමේ සිද්ධිය කොටු දැලෙහි ලකුණු කර එහි සම්භාවිතාවය සොයන්න.

2)
a) A හා B යනු S නියැදි අවකාශයට අයත් සසම්භාවී සිද්ධි දෙකකි. P(A) මඟින් A සිද්ධිය සිදුවීමේ සම්භාවිතාවය දක්වෙයි. P(A), P(B), P(A⋃B) සහ P(A⋂B) අතර සම්බන්ධතාවය ලියා දක්වන්න.
b) වට දෙකකින් සමන්විත තරගයකින් දෙවන වටයට යා හැකි වන්නේ පළමුවන වටය ජයගන්නා අයට පමණි. තරගය සඳහා ඉදිරිපත්වන තරඟකරුවන් පළමුවන වටයෙන් පරාජය වීමේ සම්භාවිතාවය \frac13 කි. තරගකරුවකු දෙවන වටයෙන් ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය \frac35 කි.

1. තරගයේ පළමුවන වටයට අදාල තොරතුරු දැක්වීමට රුක් සටහනක් ඇඳ එහි ශාඛා මත අදාල සම්භාවිතා ලකුණු කරන්න.
2. දෙවන වටයට අදාල තොරතුරු දක්වීමට ඉහත රුක් සටහන දීර්ඝ කර එහි අදාල සම්භාවිතා ලකුණු කරන්න.
3. තරඟය සදහා ඉඳිරිපත් වන අයකු අහඹු ලෙස තෝරා ගතහොත් ඔහු වට දෙකෙන්ම ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
4. තරඟය සඳහා තරඟකරුවන් 120 දෙනෙකු ඉදිරිපත් වුවහොත් දෙවන වටයෙන් කොපමණ තරඟකරුවන් සංඛ්‍යාවක් පරාජය ලබන්නේදැයි අපේක්ෂා කළ හැකිද ?

3)
    a) පෞද්ගලික අංශයේ රැකියාවක් සදහා සුදුසුකම් ලැබීම සඳහා පළමුව ඉංග්‍රීසි භාෂා පරීක්ෂණයෙන් සමත්ව, දෙවනුව සම්මුඛ පරීක්ෂණයක් සඳහා මුහුණ දිය යුතු වේ. ඉංග්‍රීසි භාෂා පරීක්ෂණය සඳහා පෙනී සිටින පුද්ගලයෙකු ඉන් සමත් වීමේ සම්භාවිතාවය \frac35 කි.

1. ඉහත තොරතුරු දැක්වීමට ඇඳි අසම්පූර්ණ රුක් සටහනක් පහත දැක්වේ. එහි ශාඛා මත අදාල සම්භාවිතා සටහන් කරන්න.
2. සම්මුඛ පරීක්ෂණය සඳහා මුහුණ දුන් පුද්ගලයෙකු ඉන් අසමත් වීමේ සම්භාවිතාවය \frac13 ක් වූයේ නම් සම්මුඛ පරීක්ෂනයෙන් සමත් / අසමත් බව දැක්වීමට ඉහත රුක් සටහන දීර්ඝ කර අදාල සම්භාවිතා සඳහන් කරන්න.
3. ඉංග්‍රීසි භාෂා පරීක්ෂණයට පෙනී සිටි අය අතුරින් සසම්භාවී ලෙස ගත් පුද්ගලයෙක් රැකියාව සඳහා සුදුසුකම් ලැබූ පුද්ගලයෙක් වීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න
4. ඒ අනුව පුද්ගලයින් 100 දෙනෙකු රැකියාවට බඳවා ගැනීම සඳහා ඉංග්‍රීසී භාෂා පරීක්ෂණයට පෙනී සිටිය යුතු යැයි අපේක්ෂා කරන පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාව කීයද?

b) පෙට්ටියක එකම හැඩයෙන් හා තරමින් යුතු රතු පාට බොත්තම් දෙකක්ද කහ පාට බොත්තමක්ද ඇත. ඉන් අහඹු ලෙස බොත්තමක් ඉවතට ගෙන ආපසු නොදමා තවත් 1 ක් ගනු ලැබේ.

1. ඉහත පරීක්ෂණයට අදාල නියැදි අවකාශය කොටු දැලක් මත ලකුණු කරන්න
2. ඉවතට ගන්නා බොත්තම් දෙක වෙනස් වර්ණ වලින් යුක්ත ඒවා වීමේ සම්භාවිතාවය කීයද ?

4) 1,2,3,4,5 යන ඉලක්කම බැගින් ලියූ හැඩයෙන් හා ප්‍රමාණයෙන් සමාන කාඩ්පත් 5ක් පෙටියක ඇත. සිසුවෙක් අහඹු ලෙස පෙට්ටියෙන් කාඩ්පතතක් ඉවතට ගනී.

1. එම කාඩ්පතෙහි සඳහන් ඉලක්කම ඔත්තේ හෝ ඉරට්ටේ වීම දැක්වෙන රුක් සටහනක් සම්භාවිතා සහිතව අඳින්න.
2. පළමුව ගත් කාඩ්පත පෙට්ටියට ආපසු නොදමා තවත් කාඩ්පතක් අහඹු ලෙස ඉවතට ගනු ලැබේ. දෙවනුව ගත් කාඩ්පතෙහි ඇති ඉලක්කම ඔත්තේ හෝ ඉරට්ටේ වීමේ සිද්දි දැක්වෙන සේ ඉහත රුක් සටහන දීර්ඝ කරන්න.
3. ඉවතට ගත් කාඩ්පත් දෙකෙහි ඇති ඉලක්කම් වලින් එකක් ඉරට්ටේද, අනෙක ඔත්තේද වීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
4. ඉහත පෙට්ටියෙන් කාඩ්පත් ඉවතට ගැනීමේ අහඹු පරීක්ෂණයේ නියැදි අවකාශය දී ඇති කොටුදැල මත ලකුණු කරන්න.
5. ඉවතට ගත් කාඩ්පත් දෙක මගින් ඉලක්කම් දෙකක සංඛ්‍යාවක් සකසයි නම් (පළමු ගැනීමේදී ලැබුණු ඉලක්කම පලමු ඉලක්කම ලෙසට, දෙවන ගැනීමේදී ලැබුණු ඉලක්කම දෙවන ඉලක්කම ලෙසද ගෙන) ,එම සංඛ්‍යාව තුනෙන් ඉතිරි නැතිව බෙදෙන සංඛ්‍යාවක් වීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.

5) ප්‍රතිවිරුද්ධ මුහුණත් වල රතු, නිල්, සුදු පාට යොදා ඝනාකාර දාදු කැටයක් උඩ දමයි, 

     දෙවනුව සාමාන්‍යය දාදු කැටයක් උඩ දමයි

 

1. නියැදි අවකාශය දැක්වීමට පහත කොටු දැල සම්පූර්ණ කරන්න
2. එක දාදු කැටයක නිල් වර්ණයද අනෙක් දාදු කැටයේ අංක 6ද ලැබීමේ සිද්ධිය කොටු දැලේ සටහන් කර එම සිද්ධියේ සම්භාවිතවය සොයන්න.
3. එක් දාදු කැටයක රතු හෝ සුදු වර්ණය සමඟ අනෙක් දාදු කැටයේ සමචතුරස්‍ර සංඛ්‍යාවක් ලැබීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
4. දාදු කැටයේ රතු වර්ණය ලැබුණහොත් ලකුණු 3ද , නිල් වර්ණය ලැබුණහොත් ලකුණු 2ද, සුදු වර්ණය ලැබුණහොත් ලකුණු 1ද, අංක සඳහන් කැටයේ ලැබෙන පැත්තේ අංකයට සමාන ලකුණු ගණනම ලබා දේ නම් , එකතුව ලකුණු 5ක් ලබාගත හැකිවීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.

 

6) ක්‍රිකට් තරඟයකට එක් ක්‍රීඩකයෙක් සහභාගී වීමේ සම්භාවිතාවය \frac45 කි. එම ක්‍රීඩකයා එම තරගයට ක්‍රීඩා කලහොත් තරඟයෙන් ඔහු අයත් කණ්ඩායම ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය \frac23 කි. ක්‍රීඩා නොකලහොත් ජය පරාජය ලැබීම සමසේ භව්‍ය වේ. මෙම තරගයන් ජය පරාජයෙන් තොරව නිම නොවේ.

1. ක්‍රීඩකයා මෙම තරගයට ක්‍රිඩා නොකිරීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
2. මොහු තරගයට ක්‍රීඩා නොකලහොත් ජය ලැබීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
3. ක්‍රීඩකයා ක්‍රීඩා කිරීම හා නොකිරීම පළමු කොටසටද, තරඟයෙන් ජය ගැනීම හා පරාජය වීම දෙවන කොටසටද ගෙන නියැදි අවකාශය රුක් සටහනකින් දක්වන්න.
4. කණ්ඩායම තරගයෙන් ජය ලැබීමේ සම්භාවිතාවය සොයන්න.
5. උක්ත ක්‍රීඩකයා මෙම තරඟයට ක්‍රීඩා කිරීම වාසි දායක වන්නේ දැයි හේතු සහිතව දක්වන්න

 

 

පිළිතුරු
1)

     a)

          (i)

 

 

           (ii)  P(පි,ගැ)\;+\;P(ගැ,පි)\;=\;\frac23\;\times\;\frac13+\;\frac13\;\times\;\frac23=\frac49

   b)

            (i)

 

               (ii) සිද්දි 25ක් අතුරින් 20ක් පමණක් මෙයට අදාල වේ,
ஃ අනුරූප සම්භාවිතාවය = \frac{20}{25} = \frac45

2)

        a) P(A\cup B)\;=\;P(A)\;+\;P(B)\;–\;P(A\cap B)

        b)

             (i)

             (ii)

 

(iii) P(ජ,ජ)\;=\;\frac23\;\times\;\frac35\;=\;\frac25

(iv) දෙවන වටයෙන් පරාජය වීමේ සම්භාවිතාවය = \frac23\;\times\;\frac25\;=\;\frac4{15}
ஃ පරාජය ලබන ප්‍රමාණය    = 120\times\frac45

=          32

3)

     i)

     ii)

iii) රැකියාවට සුදුසුකම් ලැබීමට පරීක්ෂණ දෙකම සමත් විය යුතුය,
ஃ අනුරූප සම්භාවිතාවය = P(ජ,ජ)\;=\;\frac23\;\times\;\frac35\;=\;\frac25

iv) 100\times\frac52=250
ඒ අනුව 250 දෙනෙකු පෙනීසිටිය යුතුය.

b)

     i)

 

ii)  \frac46 (කොටු දැල ඇසුරින්)

4)

     i)

     ii)

 

iii)  P(ඔ,ඉ)\;+\;P(ඔ,ඉ)\;=\;\frac35\;\times\;\frac12\;+\;\frac25\;\times\;\frac34\;=\;\frac35

 

iv)

 

 

 

v)  අදාල සංඛ්‍යා වන්නේ 12,15,21,24,42,45,51,54 පමණි.
ஃ අනුරූප සම්භාවිතාවය = \frac8{20}

5)

   i)

 

කොටු දැල ඇසුරින්,
ii) \frac2{36}=\frac1{18}( \square මඟින් කොටු කර ඇති සිද්ධි )

iii) \frac8{36}=\frac29 (\bigcirc මඟින් කොටු කර ඇති සිද්ධි )

iv) \frac6{36}=\frac16 ( ▱මඟින් කොටු කර ඇති සිද්ධි )

 

6)
i) \begin{array}{l}ක්‍රීඩා\;නොකිරීමේ\;සම්භාවිතාවය\;=\;1\;-\;ක්‍රීඩා\;කිරීමේ\;සම්භාවිතාවය\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;1\;-\;\frac45\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\;1}5\end{array}

ii)  මෙවිට ජය පරාජය ලැබීම සමසේ භව්‍ය බැවින් ,
ජය ලැබීමේ සම්භාවිතාවය = \frac12

iii) 

 

iv)  කණ්ඩායම තරගයෙන් ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය,
= සහභාගී වී ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාව + සහභාගී නොවී ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය
\begin{array}{l}=\;\frac45\;\times\;\;\frac23+\;\frac15\;\times\;\frac12\;\\=\;\frac8{15}\;+\;\frac1{10}\;\\=\;\frac{19}{30}\end{array}

v)  ක්‍රීඩකයා සහභාගී වූ විට තරඟය ජය ගැනීමේ සම්භාවිතාවය \frac23 වන අතර නැතිනම් ජය ගැනීමෙහි සම්භාවිතාවය \frac12 කි. ඒ අනුව ක්‍රීඩකයා සහභාගී වීම වඩා වාසි දායකය.