සමාන්තරාස්‍ර

සමාන්තරාස්‍රයක ලක්ෂණ

• සම්මුඛ පාද සමාන වේ.
• සම්මුඛ් කෝණ සමාන වේ.
• එක් එක් විකර්ණය මගින් සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සමච්ඡේදනය කරයි.
• සමාන්තරාස්‍රයේ විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේදනය වේ.

සාධනය

දත්තය : ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි

සාධනය කළ යුත්ත :

1. AB = DC හා AD = BC බව
2. B\widehat AD= B\widehat CD හා A\widehat DC = A\widehat BC බව,
3. ABD\triangle යේ වර්ගඵලය = BCD\triangle යේ වර්ගඵලය බව හා ACD\triangle යේ වර්ගඵලය = ABC\triangle යේ වර්ගඵලය බව

නිර්මාණය : BD විකර්ණය ඇඳීම

සාධනය :

 ABD හාBCD ත්‍රිකෝණ දෙකෙහි,

A\widehat DB = C\widehat BD(ඒකාන්තර කෝණ, AD//BC)  

A\widehat BD = B\widehat DC ( ඒකාන්තර කෝණ, AB//DC) 

BD පොදු පාදය

එම නිසා ABD\triangle\equiv BCD\triangle (කෝ. කෝ. පා.)

අංගසම ත්‍රිකෝණ වල අනුරූප අංග සමාන බැවින්,

AB = DC   හා   AD = BC   ද

B\widehat AD = B\widehat CD   ද වේ.

එලෙසම AC විකර්ණය ඇඳීමෙන්, A\widehat DC = A\widehat BC බව ද සාධනය කළ හැකිය.

තවද,   ABD\triangle යේ වර්ගඵලය = BCD\triangle යේ වර්ගඵලය (ABD\triangle \equiv BCD\triangle නිසා.)

එම නිසා DB විකර්ණයෙන් සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සමච්ඡේදනය වේ.

එලෙසම AC විකර්ණය ඇඳීමෙන් AC විකර්ණයෙන් සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සමච්ඡේදනය වන බව පෙන්විය හැකිය.

චතුරස්‍රයක් සමාන්තරාස්‍රයක් වීමට අවශ්‍යතා

1. චතුරස්‍රයක සම්මුඛ පාද සමාන නම් එය සමාන්තරස්‍රයකි.

2. චතුරස්‍රයක සම්මුඛ කෝණ සමාන නම් එය සමාන්තරස්‍රයකි.

3. චතුරස්‍රයක විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේද වේ නම් එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

4. චතුරස්‍රයක එක් සම්මුඛ පාද යුගලයක ඇති පාද දෙක සමාන හා සමාන්ත්‍ර වේ නම් එය සමාන්තරාස්‍රයකි.

වැදගත් කරුණු

සමාන්තර සරල රේඛා දෙකක් තීර්යක් සරල රේඛාවකින් ඡේදනය වීමේදී සෑදෙන,

• අනුරූප කෝණ සමානයි
• ඒකාන්තර කෝණ සමානයි
• මිත්‍ර කෝණ පරිපූරකයි

නිදසුන I

ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ,

1. B\widehat CD
2. A\widehat DC කෝණ වල අගය සොයන්න

මෙහිදී අගය නොදන්නා කෝණ වීජීය පද වලින් දැක්විය හැකිය.

ප්‍රමේයය භාවිතයෙන්,

D\widehat AB = y

y = 75˚= B\widehat CD

 AD // BC නිසා මිත්‍ර කෝණ යුගලය 180˚   කි.

75⁰ + X = 180⁰

X = 105⁰

නිදසුන II

සමාන්තරාස්‍ර පිළිබඳ ඔබ උගත් තොරතුරු ඇසුරින් EF හා AF පාද වල දිග සොයන්න.

මෙහිදී ABEF යනු සමාන්තරාස්‍රයක් බව හඳුනාගත යුතුයි.

මෙහි AF // BE  හා  AB // FE වේ.

සම්මුඛ පාද යුගල දෙක සමාන්තර නිසා ABEF යනු සමාන්තරාස්‍රයකි.

\therefore AB = FE   හා   BE = AF   වේ.

\thereforeEF = 7 cm

AF = 8 cm

නිදසුන III

ABC ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය 24 cm² වේ. ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සොයන්න.

ප්‍රමේයය භාවිතයෙන්,

AC විකර්ණය මඟින් වර්ගඵලය සමාන කොටස් දෙකකට බෙදේ.

\thereforeADC\triangle යේ වර්ගඵලය = 24 cm²

 සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය = 24 + 24  = 48 cm²

අභ්‍යාසය 01

PQRS සමාන්තරාස්‍රයකි. දී ඇති තොරතුරු ඇසුරෙන් x හි අගය සොයන්න.

I.

 

II.

III.

අභ්‍යාසය 02

1. PQ හා RQ දිග සොයන්න.

2. XYZ + BCZ හි අගය සොයන්න.

අභ්‍යාසය 03

1. ABCE සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය 100 cm² වේ. AEDB ත්‍රිපීසියමේ වර්ගඵලය සොයන්න.

2. ABFE සමාන්තරාස්‍රයේ AB = 5 cm වේ.

I. EF දිග සොයන්න

II. සමාන්තරාස්‍ර දෙකක් නම් කරන්න

3. සමාන්තරාස්‍ර වල ගුණ ප්‍රයෝජනයට ගෙන පහත දැක්වෙන එක් එක් රූපවල අඥාත පද වලින් දැක්වෙන පාද හා කෝණ වල විශාලත්වයන් සොයන්න.

 

 I.

II.

අභ්‍යාසය 04

1. ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි. AB හා CD පාද අතර සම්බන්ධතාවයක් ලියන්න.

2. x හා y හි අගයන් සොයන්න.

3. රූපයේ දී ඇති දත්ත අනුව AB හා CD අතර සම්බන්ධයක් ලියන්න.

4. x හි අගය සොයන්න.

5. ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි. ABC ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය 30 cm² කි. සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලය සොයන්න.

6. ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි. E යනු AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයයි. ABCD සමාන්තරාස්‍රයේ වර්ගඵලයත්, ADE ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලයත් අතර සම්බන්ධය ලියන්න.

7. ABCD සමාන්තරාස්‍රයකි. OA = 5 cm නම් AC සොයන්න.

විශේෂ ලක්ෂණ සහිත සමාන්තරාස්‍ර

1. ඍජුකෝණාස්‍රය

• ශීර්ෂ කෝණ සියල්ලම ඍජුකෝණ වේ.
• විකර්ණ දිගින් සමාන වේ.

2. සමචතුරස්‍රය

• සියලුම පාද දිගින් සමාන වේ.
• විකර්ණ ඍජුකෝණීව එකිනෙක සමච්ඡේද වේ.
• ශීර්ෂ කෝණ විකර්ණ මගින් සමච්ඡේද වේ.

3. රොම්බසය

• සියලුම පාද දිගින් සමාන වේ.
• විකර්ණ ඍජුකෝණීව එකිනෙක සමච්ඡේද වේ.
• ශීර්ෂ කෝණ විකර්ණ මගින් සමච්ඡේද වේ.

පිලිතුරු

අභ්‍යාසය 01

I. x = 60˚(සමාන්තරාස්‍රයක සම්මුඛ පාද)

II. x = 120˚(මිත්‍ර කෝණ)

III. x = 70˚(ඒකාන්තර කෝණ)

අභ්‍යාසය 02

PQ = 6 cm, RQ = 3 cm

XYZ + BCZ = 120˚+ 130˚ = 250˚

අභ්‍යාසය 03

1.

 

ABC ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = ACE ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = 50 cm² (AC විකර්ණය)

ACE ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = DCE ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය = 50 cm² (EC විකර්ණය)

ABDE ත්‍රිපීසියමේ වර්ගඵලය = 150 cm²

2.

 

I. EF = 5 cm (AB=DC=EF)

II. ABCD, DCFE, ABFE

3.

I.          b = 70˚       a = 80˚

II.        y = 7 cm      x = 6 cm

අභ්‍යාසය 04

1. AB = CD, AB//CD
2. X = 65^°, y = 115^°
3. AB = CD, AB//CD
4. X = 110^°
5. 60 cm
6. සමාන්තරස්‍රයේ වර්ගඵලය ADE මෙන් 4 ගුණයකි.
7. AC = 10cm

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.