පරිගණකය සොයා ගැනීමට පෙර ගණනය කිරීම් සඳහා ලඝු ගණක වගු බහුලව භාවිතා විය. විද්යාඥයන්, ඉංජිනේරුවන්, තාරකාවිද්යාඥයන් ට ගණනය කිරීම් සඳහා ලඝු ගණක බෙහෙවින් ප්රයෝජනවත් විය. ලොව පලමු ලඝු ගණක වගුව මුද්රණය කලේ 1677දී Henry Briggs විසිනි.
දර්ශක
c=a^n
c = සංඛ්යාව, ɑ = පාදය, n = දර්ශකය
- a,c\in\mathbb{R}\;-\;\left\{0\right\}\;\;\;\;b\in\mathbb{R}
- ඉහත පරිදි n = 0 වන සෑමවිටම c = 1 වේ.
දර්ශක නීති
ɑ,b\;\in\;\mathbb{R}\; සහ m,n\;\in\;\mathbb{Z}\; විට,
- \begin{array}{c}a^n\times\;a^m\;=\;a^{n+m}\end{array}
පාද සමාන විට ගුණ කිරීමේදී දර්ශක එකතු වේ. - \begin{array}{c}\frac{a^n}{a^m}\;=\;a^{n-m\;}\;\;\;,\;\;\;a=0\end{array}
පාද සමාන විට බෙදීමේදී දර්ශක අඩුවේ. - \begin{array}{c}(a^n{)^m\;}=\;a^{nm}\end{array}
බලයක බලය ගන්නා විට බල දෙක ගුණවේ. - \left(a^{-n}\right)=\frac1{a^n}\;a\neq0
පරස්පරය ගන්නා විට දර්ශකයේ ලකුණ ඍණෙන් ගුණ වේ. - \begin{array}{c}(ab{)^n\;}=\;a^n\times\;b^n\end{array}
සමාන දර්ශක සහිත බලවල ගුණිතය ගුණිතයන්ගේ බලයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\left(\frac ab\right)^n=\;\frac{a^n}{b^n}\;\;\;,\;\;\;b\neq0\end{array}
බලවල බෙදීම බෙදීමේ බලයට සමාන වේ.
ɑ,b\;\in\;\mathbb{R}\; සහ \;m,n\;\in\;\mathbb{Z}^+
- \begin{array}{c}\sqrt[n]{a^m}\;=\;\left(\sqrt[n]a\right)^m\end{array}
කිසියම් බලයක n වන මූලය, n වන මූලයේ බලයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\sqrt[n]a\;\times\;\sqrt[n]{b\;}\;=\;\sqrt[n]{ab}\end{array}
කිසියම් සංඛ්යා දෙකක n වන මූලයන්ගේ ගුණිතය එම සංඛ්යාවල ගුණිතයේ n වන මූලයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}\;=\;\sqrt[n]{\frac ab}\;\;\;,\;\;\;b\neq0\end{array}
සංඛ්යා දෙකක n වන මූලයන්ගේ බෙදීම එම සංඛ්යාවල බෙදීමේ n වන මූලයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\sqrt[m]{\sqrt[n]a}\;=\;\sqrt[mn]a\end{array}
සංඛ්යාවක n වන මූලයේ m වන මූලය, එම සංඛ්යාවේ nm මූලයට සමාන වේ. - n ඉරට්ටේ විට \left(\sqrt[n]a\right)^n\;=\;\left|a\right|
- n ඔත්තේ විට \sqrt[n]{a^n}\;=\;a
සංඛ්යාවක n වන මූලයේ n වන බලය, එම සංඛ්යාව ඔත්තේ නම්, එම සංඛ්යාවමද, ඉරට්ටේ නම්, එම සංඛ්යාවේ මාපාංකයටද සමාන වේ.
පුළුවන්ද
x හි සියලු තාත්වික අගයන් සඳහා මේ සමීකරණය විසදන්න.
(x^{2\;}-7x\;+11)^{x^2-13x+42}\;=\;1
ලඝුගණක
c=a^b\;\leftrightarrow\;\log_ac=b
- a\neq1\;\;\;\;\;a,c\in\mathbb{R}^+
- ඍණ සංඛ්යාවල හෝ ඍණ පාදවල ලඝුගණක අර්ථ නොදැක්වේ.
උදා: \;\;log_{10}(98+\sqrt{x^2-12x+36})=2\;\; විසදන්න.
\begin{array}{rcl}10^2&=&98+\sqrt{x^2-12x+36}\\2&=&\sqrt{x^2-12x+36}\\x^2-12x+36&=&4\\x^2-12x+32&=&0\\(x-8)(x-4)&=&0\end{array}
\;\;\;\;x=4\;\;හෝ\;\;\;x=8 - ලඝුගණක ශ්රිත ප්රධාන ආකාර දෙකකි.
- ධන පාදයේ සාමාන්ය ලඝුගණක ශ්රිතය
\begin{array}{c}y=\log_a\vert x\vert\;\;\;\;\;a\in\mathbb{R}^+,\;x\in\mathbb{R}\\log_{10}\vert x\vert=\text{lg}\vert x\vert\end{array} - ප්රකෘති ලඝුගණක ශ්රිතය
\begin{array}{ccc}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y&=&\log_e\vert x\vert\\\;\;\;\;\;\;\;\log_e\vert x\vert&=&\ln{\vert x\vert}\end{array}
- ධන පාදයේ සාමාන්ය ලඝුගණක ශ්රිතය
ලඝුගණක නීති
\begin{array}{c}ɑ,b,c\;\in\;\mathbb{R}^+\end{array}- \begin{array}{c}\log_ɑb+\log_ɑc=\log_ɑbc\end{array}
පාද සමාන විට ලඝු එකතු කිරීමේදී සංඛ්යා ගුණ වේ. - \begin{array}{c}\log_ɑb-\log_ɑc=\log_ɑ\frac bc\end{array}
පාද සමාන විට ලඝු අඩු කිරීමේදී සංඛ්යා බෙදේ. - \begin{array}{c}\log_ɑb^c=c\;\log_ɑb\end{array}
කිසියම් සංඛ්යාවක කිසියම් බලයක ලඝු අගය එම සංඛ්යවේ ලඝු අගය හා එම බලය අතර ගුණිතයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\log_ab=\frac1{\log_ba}\end{array}
කිසියම් පාදයක කිසියම් සංඛ්යාවක ලඝු අගය, පාදය හා සංඛ්යාව අතුරු මාරු කළ ලඝු අගයේ පරස්පරයට සමාන වේ. - \begin{array}{c}\frac{\log_ab}{\log_ac}=\log_cb\end{array}
කිසියම් පාදයකට කිසියම් සංඛ්යා දෙකක ලඝු අගයන්හි බෙදීම, හරයේ වූ සංඛ්යාවේ පාදයට, ලවයේ වූ සංඛ්යාවේ ලඝු අගයට සමාන වේ.
ලඝුගණක නීති සාධනය
- \begin{array}{c}\log_ab=p\;\end{array} යැයිද \;\log_ac=q\; යැයිද ගනිමු.
\;\;\;b=a^p සහ c=a^q වේ.
\begin{array}{rcl}\;\;\;bc&=&a^pa^q\\bc&=&a^{p+q}\\\log_abc&=&p+q\\\log_abc&=&\log_ab+\log_ac\end{array} - \begin{array}{c}\log_ab=p\;\end{array} යැයිද \;\log_ac=q\; යැයිද ගනිමු.
\;\;\;b=a^p සහ c=a^q වේ.
\begin{array}{rcl}\frac bc&=&\frac{a^p}{a^q}\\[4px]\frac bc&=&a^{p-q}\\[4px]\log_a\frac bc&=&p-q\\[4px]\log_a\frac bc&=&\log_ab-\log_ac\end{array} - \begin{array}{c}\log_ab=p\;\end{array} යැයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}b&=&a^p\\b^c&=&\left(a^p\right)^c\\b^c&=&a^{pc}\\\log_ab^c&=&pc\\\log_ab^c&=&c\;\log_ab\end{array} - \begin{array}{c}\log_ab=p\;\end{array} යැයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}b&=&a^p\\b^\frac1p&=&\left(a^p\right)^\frac1p\\b^\frac1p&=&a\\\log_ba&=&\frac1p\\\log_ba&=&\frac{1}{\log_ab}\end{array} - \begin{array}{c}\log_ab=p\;\end{array} යැයිද \;\log_ac=q\; යැයිද ගනිමු.
\;\;\;b=a^p සහ c=a^q වේ.
\begin{array}{rcl}c^\frac1q&=&a\\\therefore\;b&=&\left(c^\frac1q\right)^p\\b&=&c^\frac pq\\\log_cb&=&\frac pq\\\frac{\log_a{ b}}{\log_a{c}}&=&\log_cb\end{array}
උදා:
- \begin{array}{c}\log_cb\;\log_ac\;\log_ba\end{array} හි අගය සොයන්න.
\begin{array}{rcl}&=&\log_cb\;\frac1{\;\log_ca}\;\log_bɑ\\&=&\log_ab\;\log_ba\\&=&\log_ab\;\frac1{\log_ab}\\&=&1\\\end{array}
\\ - \begin{array}{c}\log_2x+\log_4x+\log_{16}x=\frac{21}4\end{array} විසදන්න.
\begin{array}{rcl}\log_2x+\frac1{\log_x4}+\frac1{\log_x16}&=&\frac{21}4\\\log_2x+\frac1{2\;\log_x2}+\frac1{4\;\log_x2}&=&\frac{21}4\\4\;\log_2x+\frac2{\log_x2}+\frac1{\log_x2}&=&21\\4\;\log_2x+2\;\log_2x+\log_2x&=&21\\7\;\log_2x&=&21\\\log_2x&=&3\\x&=&2^3=8\\\end{array}
\\ - \begin{array}{c}x^2+y^2=z^2\end{array} නම් \frac1{\log_{y+z\;}x}+\frac1{\log_{z-y}{\displaystyle\;}{\displaystyle x}}=2 බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}L.H.S&=&\frac1{\log_{y+z\;}x}+\frac1{\log_{z-y}{\;}{ x}}\\&=&\log_x\left(y+z\right)+\log_x\left(z-y\right)\\&=&\log_x\left(y+z\right)\left(z-y\right)\\&=&\log_x\left(z^2-y^2\right)\\&=&\log_x\left(x^2\right)\\&=&2\\\end{array}
\\ - \begin{array}{c}3^{2x+1}-11\left(3^x\right)-4=0\end{array} විසදන්න.
\begin{array}{rcl}3^{2x}.3^1-11(3^x)-4&=&0\\(3^x)^2.3^1-11(3^x)-4&=&0\\3^x=t\;\text{යැයි ගනිමු.}\\3t^2-11t-4&=&0\\(3t+1)(t-4)&=&0\\t=-\frac13\;\text{හෝ}\;t=4\\t\;\text{ධන නිසා,}\;t=4\\3^x&=&4\\x&=&\log_34\\\end{array}
\\ - \begin{array}{c}3^{x+3}=9^{2-y}\;\text{සහ }\left(\frac13\right)^y=9^{x-4}\end{array} විසදන්න.
\begin{array}{rcl}3^{x+3}&=&3^{2\left(2-y\right)}\\x+3&=&4-2y\\x+2y&=&1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leftarrow(1)\end{array} \begin{array}{rcl}3^{-y}&=&3^{2\left(x-4\right)}\\-y&=&2x-8\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x+y&=&8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leftarrow(2)\\\end{array}
(1)\;හා\;(2)\;විසදිමෙන්,\\x=5\;,\;y=-2
\\ - \begin{array}{c}\frac1{1+\log_xyz}+\frac1{1+\log_yzx}+\frac1{1+\log_zxy}=1\end{array} බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{l}=\frac1{\log_xx+\log_xyz}+\frac1{\log_yy+\log_yzx}+\frac1{\log_zz+\log_zxy}\\=\frac1{\log_xxyz}+\frac1{\log_yxyz}+\frac1{\log_zxyz}\\=\log_{xyz}x+\log_{xyz}y+\log_{xyz}z\\=\log_{xyz}xyz\\=1\\\end{array}
\\ - \begin{array}{c}xy=64\;\text{සහ}\;\log_xy+\log_yx=\frac52\end{array} විසදන්න.
\begin{array}{l}\log_xy+\frac1{\log_xy}=\frac52\\[4px]\log_xy=t\;\text{යැයි ගනිමු.}\end{array}
\begin{array}{rcl}t+\frac1t&=&\frac52\\2t^2-5t+2&=&0\\\left(2t-1\right)\left(t-2\right)&=&0\end{array}
\begin{array}{rcl}t&=&\frac12\;&\text{හෝ}&\;t&=&2\\[2px]\log_xy&=&\frac12\;&\text{හෝ}&\;\log_xy&=&2\\[2px]x^\frac12&=&y\;&\text{හෝ}&\;x^2&=&y\\[4px]xy=64\;\text{නිසා,}\\y^3&=&64\;&\text{හෝ}&\;x^3&=&64\\[4px]y&=&4\;&\;&\;x&=&4\\x&=&16\;&\text{හෝ}&\;y&=&16\end{array}
“We cannot solve our problems with the same thinking we used when we created them.”
Albert Einstein
