ඒකාකාර ස්පර්ශීය ප්රවේගයෙන් වෘත්ත චලිතයේ යෙදෙන අංශුවක ත්වරණ සෙවීම.
- කේන්ද්රය O හා අරය r වු වෘත්තයක පරිධිය මත V ඒකාකාර ස්පර්ශීය ප්රවේගයෙන් චලිත වන අංශුවක් P ලක්ෂ්යයක සිට t කාලයකදී θ කෝණික විස්ථාපනයක් සහිතව A ලක්ෂ්යයටද, δt කාලයකට පසුව B ලක්ෂ්යයටද ගමන් කර ඇති අවස්ථාවක් සලකමු.
කේන්ද්රීය දිශාවට වු ත්වරණය සෙවීම.
\begin{array}{l}A\;හිදී\;කේන්ද්රය\;දිශාවට\;ප්රවේගය=V\\\delta t\;කාලයකට\;පසු\;B\;හිදී\;AO\;දිශාවට\;ප්රවේගය=V\;\sin(\delta\theta)\\\therefore\;\delta t\;කාලයකදී\;කේන්ද්රය\;දිශාවට\;(AO)\;ප්රවේග\;වෙනස=V\;\sin(\delta\theta)-0\\\therefore\;කේන්ද්රය\;දිශාවට\;ප්රවේගය\;වෙනස්\;වීමේ\;සීග්රතාවය=\frac{(V\;\sin(\delta\theta)-0)}{\delta t}\\\therefore\;A\;හිදී\;කේන්ද්රය\;දිශාවට\;ත්වරණය\;=\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{v\;\sin\delta\theta}{\delta t}\\a=V\;\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{v\;\sin\delta\theta}{\delta\theta}\times\frac{\delta\theta}{\delta t}\\=\;V\;\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{v\;\sin\delta\theta}{\delta\theta}\times\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{\delta\theta}{\delta t}\\=V\times1\times\dot\theta\\=V\dot\theta\\a=V\dot\theta\;\;\;\;\;\;\;\end{array} \begin{array}{l}\;කෝණික\;ප්රවේගය\;(\dot\theta)\;ඇසුරින්,\\a=\left(r\dot\theta\right)\dot\theta\;\;\;\;;\;\;\;\left(\because\;V=r\dot\theta\right)\\=r\dot\theta^2\end{array} \begin{array}{l}\;ස්පර්ශීය\;ප්රවේගය\;(V)\;ඇසුරින්,\\a=V\left(\frac Vr\right)\\=\frac{V^2}r\end{array}ස්පර්ශීය දිශාවට වු ත්වරණය සෙවීම.
\begin{array}{l}A\;හිදී\;ස්පර්ශීය\;දිශාවට\;ප්රවේගය=V\\\delta t\;කාලයකට\;පසුA\;හි\;ස්පර්ශීය\;දිශාවට\;ස්පර්ශීය\;ප්රවේගය=Vcos(\delta\theta)\\\therefore\delta t\;කාලයකදී\;ස්පර්ශීය\;දිශාවට\;ප්රවේග\;වෙනස=Vcos(\delta\theta)-V\\\therefore ස්පර්ශීය\;දිශාවට\;ප්රවේගය\;වෙනස්\;වීමේ\;සීග්රතාවය=\frac{(V\cos(\delta{\theta)-V)}}{\delta t}\\\therefore A\;හිදී\;ස්පර්ශීය\;දිශාවට\;ත්වරණය=\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{V(\cos(\delta{\theta)-1)}}{\delta t}\\=V\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{-(1-\cos(\delta{\theta))}}{\delta t}\\=-V\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{2\sin^2\left({\displaystyle\frac{\delta\theta}2}\right)}{\delta t}\\=-2V\lim_{\delta t\rightarrow0}\left[\frac{\sin\left({\displaystyle\frac{\delta\theta}2}\right)}{\frac{\delta\theta}2}\right]^2\times\frac{\left(\frac{\delta\theta}2\right)^2}{\delta t}\\\delta t\rightarrow0\;විට\;\delta\theta\rightarrow0\;වේ.\\=-2\times\frac14V\lim_{\frac{\delta\theta}2\rightarrow0}\left[\frac{\sin\left({\displaystyle\frac{\delta\theta}2}\right)}{\frac{\delta\theta}2}\right]^2\times\lim_{\delta t\rightarrow0}\frac{\delta\theta}{\delta t}\times\lim_{\delta\theta\rightarrow0}\delta\theta\\=-\frac12V\times12\times\dot\theta\times0\\=0\end{array}තිරස් වෘත්ත චලිතය සම්බන්ධ ගැටලු විසඳීම.
- තිරස් වෘත්ත චලිතයේ යෙදෙන අංශුවක් එම චලිතය නියතව පවත්වා ගැනීමට නම්, එහි ස්පර්ශීය ප්රවේගය ඒකාකාරව පවත්වා ගත යුතු බැවින්, ඒකාකාර ස්පර්ශීය ප්රවේගයෙන් වෘත්ත චලිතයේ යෙදෙන අංශූන්ගේ භෞතික රාශි අතර සම්බන්ධයන් මේ සඳහා යොදා ගත හැක.
- ලක්ෂ්යයෙන් ලක්ෂ්යයට ස්පර්ශීය ප්රවේගයේ දිශාව වෙනස් වන බැවින් රේඛීය චලිත සමීකරණ භාවිතා කළ නොහැක.
- චලිතයේ සාධාරණ අවස්ථාව සලකා F=ma (නිව්ටන් නියමය) භාවිතා කළ හැකිය.
- ගුරුත්වජ ත්වරණය g ලෙස ගනු ලබයි.
1. සැහැල්ලු අවිතන්ය තන්තුවක එක් කෙළවරක් අචල ලක්ෂ්යයකට ගැට ගසා ඇති විට එම අංශුවේ සුමට තිරස් තලයක් මත චලිතය.
උදා: (01) සුමට මේසයක් මත වු A ඇණයකට ගැට ගැසූ දිග a වන අවිතන්ය තන්තුවක කෙළවර m ස්කන්ධයක් සහිත අංශුවක් සම්බන්ධ කර ඇත. අංශුව ඒකාකාර ω කෝණික ප්රවේගයෙන් චලිත වෙයි නම් තන්තුවෙ ආතතියත්, මේසයේ ප්රතික්රියාවත් සොයන්න.
m අංශුවට කේන්ද්රය දෙසට,
\begin{array}{l}\leftarrow F=ma\\T=m(a\omega^2)\\T=ma\omega^2\end{array}m අංශුවට සිරස්ව,
\begin{array}{l}\uparrow F=ma\\R-mg=m\times0\\R=mg\end{array}උදා:(02) සුමට තිරස් තලයක O ලක්ෂ්යයට h ඉහළින් A ලක්ෂ්යය ඇත. l දිග අවිතන්ය තන්තුවක එක් කෙළවරක් A ටද අනෙක් කෙළවර මේසය මත m අංශුවකට සවිකර ඇත. තන්තුව යන්තමින් ඇදී ඇත. m අංශුව O කේන්ද්රය වු තිරස් වෘත්තයක ω කෝණික ප්රවේගයෙන් චලිත වනසේ තන්තුවට ලම්බව තිරස්ව ප්රක්ෂේප කෙරේ.
- \omega>\sqrt{\frac gh} නම්, අංශුව ආරම්භයේ දීම තලයෙන් ඉවත් වන බව පෙන්වන්න.
- \omega<\sqrt{\frac gh} නම්, අංශුව තලය ස්පර්ශව තිරස් වෘත්තයක චලිත වන බව පෙන්වා තන්තුවේ ආතතිය mlω2 බව පෙන්වන්න.
m අංශුවට කේන්ද්රය දෙසට,
\begin{array}{l}\leftarrow F=ma\\T\;sin\;\alpha=ml\;sin\;\alpha\;\omega^2\\T=ml\omega^2\end{array}m අංශුවට සිරස්ව,
\begin{array}{l}\uparrow F=ma\\R+Tcos\alpha-mg=m\times0\\cos\alpha=\frac hl\;හා\;T\;ආදේශයෙන්,\\R+ml\omega^2\times\frac hl-mg=0\\R=m\left(g-h\omega^2\right)\end{array}- අංශුව තලයෙන් ඉවත් වීමට R<0 විය යුතුය.
- \therefore\omega>\sqrt{\frac gh} නම්, අංශුව ආරම්භයේ දීම තලයෙන් ඉවත් වේ.
- අංශුව තලයෙන් ඉවත් නොවීමට R>0 විය යුතුය.
එවිට,
\omega<\sqrt{\frac gh} වේ.
- \therefore\omega<\sqrt{\frac gh} නම්, අංශුව තලය ස්පර්ශව තිරස් වෘත්තයක චලිත වීම සිදු වේ.
2. කේතු අවලම්භය.
- අචල ලක්ෂ්යයකින් තන්තුවක් මගින් අංශුවක් එල්ලා අංශුව තිරස් වෘත්තාකාර මාර්ගයක චලිත කිරීමේදී තන්තුවෙන් කේතුවක් ජනිත කරයි නම් එවැනි පද්ධතියක් කේතු අවලම්භය ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
- O අචල ලක්ෂ්යයෙන් l දිග අවිතන්ය තන්තුවකින් ස්කන්ධය m වන අංශුව එල්ලා ඇත. අංශුව, C කේන්ද්රය අරය r වන තිරස් වෘත්තයක චලිත වේ. කේතුවේ උස h ද, අඩ සිරස් කෝණය α ද වේ. අංශුවේ ස්පර්ශීය වේගය V ද, කෝණික ප්රවේගය ω ද වේ. අංශුව තිරස් වෘත්තයේ චලිත වන නිසා සිරස් දිශාවට ත්වරණයක් නොමැත. කේන්ද්රය දිශාවට \frac{v^2}r හෝ [/latex]r\omega^2[/latex] ත්වරණයක් පවතී යැයි සලකමු.
m ට සිරසට,
\begin{array}{l}\uparrow F=ma\\T_1cos\alpha-mg=0\\T_1cos\alpha=mg\xrightarrow[\;]{}\boxed1\end{array}m ට කේන්ද්රය දෙසට,
\begin{array}{l}\leftarrow F=ma\\T_1sin\alpha=mr\omega^2\xrightarrow[\;]{}\boxed2\\T_1sin\alpha=\frac{mv^2}r\xrightarrow[\;]{}\boxed3\\\boxed2ට\;r=l\;sin\alpha\;ආදේශයෙන්,\\T_1sin\alpha=ml\;sin\alpha\;\omega^2\\T_1=ml\omega^2\\\frac{\boxed3}{\boxed1}න්,\\\frac{T_1\sin\alpha}{T_1cos\alpha}=\frac{mv^2}{rmg}\\rg\;tan\alpha=V^2\\V=\sqrt{rg\tan\alpha}\\\frac{\boxed2}{\boxed1}න්,\\\frac{T_1\;\sin\alpha}{T_1cos\alpha}=\frac{mr\omega^2}{mg}\\\omega^2=\frac{g\tan\alpha}r\\\omega=\sqrt{\frac{g\tan\alpha}r}\\tan\alpha=\frac rh\;බව\;ආදේශයෙන්,\\\omega=\sqrt{\frac gr\times\frac rh}\\=\sqrt{\frac gh}\end{array}- පූර්ණ වෘත්තයක චලිත වීමට අංශුවට ගත වන කාලය T නම්,
- \begin{array}{l}T=\frac{\;කෝණික\;විස්ථාපනය}{කෝණික\;ප්රවේගය}\\T=\frac{2\pi}\omega\;\\=\frac{2\pi}{\sqrt{\displaystyle\frac gh}}\\=2\pi\sqrt{\frac hg}\end{array}
උදා:(03) ස්කන්ධය m වන අංශුවක් සුමට තිරස් තලය මත ඇත. අංශුවට ඈදූ දිග a අවිතන්ය තන්තුවක අනෙක් කෙළවර සුමට තිරස් තලයේ අචල O ලක්ෂ්යයකට h (a>h) ඉහළින් C අචල ලක්ෂ්යයකට සවි කර ඇත. තන්තුවේ ආතතිය සොයන්න. අංශුව මත තලයෙන් ප්රතික්රියාව R නම්, R=m(g-hω2) බව පෙන්වන්න. චලිතය සිදු වීමට \omega\leq\sqrt{\frac gh} බව පෙන්වා ω හි උපරිම අගය අපෝහනය කරන්න.
අංශුවේ කෝණික ප්රවේගය \sqrt{\frac{5g}h} දක්වා වැඩි කළ විට කුමක් සිදුවේ දැයි පෙන්වා දෙන්න. අංශුවේ දෙවන වෘත්ත චලිතයේ කේන්ද්රය O1 නම්, OO1 =4h/5 බව පෙන්වන්න.
m ට කේන්ද්රය දෙසට,
\begin{array}{l}\leftarrow F=ma\\Tsin\alpha=ma\;sin\alpha\;\omega^2\\T=ma\omega^2\xrightarrow[\;]{}\boxed1\end{array}m ට සිරසට,
\begin{array}{l}\uparrow F=ma\\R+Tcos\alpha-mg=0\\R=mg-Tcos\alpha\xrightarrow[\;]{}\boxed2\\\boxed2න්\;ආදේශය,\\R=mg-(ma\omega^2)cos\alpha\\=m(g-a\omega^2cos\alpha)\\cos\alpha=\frac ha\;බව\;ආදේශයෙන්,\\R=m\left(g-a\omega^2\times\frac ha\right)\\R=m\left(g-h\omega^2\right)\end{array}චලිතය මෙම ආකාරයට සිදු වීමට නම්, අංශුව තලය හා ස්පර්ශව තිබිය යුතුය.
එනම්, R\geq0 විය යුතුය.
එවිට,
\begin{array}{l}m(g-h\omega^2)\geq0\\\omega^2\leq\frac gh\\\omega\leq\sqrt{\frac gh}වේ.\\\therefore\omega_{උපරිම}=\sqrt{\frac gh}\end{array}- කෝණික ප්රවේගය \sqrt{\frac{5g}h} දක්වා වැඩි කළ විට අංශුවේ කෝණික ප්රවේගය, උපරිම කෝණික ප්රවේගයට වඩා විශාල වේ. එවිට අංශුව තලයෙන් ඉවත් වී වෙනත් තිරස් වෘත්තයක චලිත වේ.
එවිට,
m ට සිරසට,
\begin{array}{l}\uparrow F=ma\\Tcos\theta-mg=0\\Tcos\theta=mg\xrightarrow[\;]{}\boxed1\\mට\;කේන්ද්රය\;දෙසට,\\\leftarrow F=ma\\Tsin\theta=masin\theta\left(\sqrt{\frac{5g}h}\right)^2\\T=\frac{5mag}h\xrightarrow[\;]{}\boxed2\\\boxed2\;න්\;\boxed1\;ට\;ආදේශය,\\5\left(\frac{mag}h\right)cos\theta=mg\\5a\;cos\theta=h\\CO^1=a\;cos\theta\;ආදේශයෙන්,\\CO^1=\frac h5\\\therefore OO^1\;උස=h-\frac h5=\frac{4h}5\end{array}
