a, b, හා c ත්‍රිකෝණයක එක් එක් පාදයේ දිගවල් යැයි සලකමු. ab + bc + ca = 1 ලෙස දී ඇත.
( a +1 )(b +1 )(c +1 ) < 4 වන බව පෙන්වන්න.
මෙවැනි ගැටළුවක් විසඳන ආකාරය අපි දැන් බලමු.
මුලින්ම ( a +1 )(b +1 )(c +1 ) ප්‍රසාරණය කරලා ලියා ගමු.
( a +1 )(b +1 )(c +1 ) = abc + ( ab + bc + ac ) + a +b + c + 1
ab + bc + ca = 1 නිසා,
= abc + 1 + a + b + c + 1
= abc + a + b + c + 2
ඊලඟට ( a – 1 )( b -1 )(c -1 ) ප්‍රසාරණය කරලා ලියා ගමු.
\begin{array}{rcl}(\;a\;-\;1\;)(\;b\;-1\;)(c\;-1\;)\\&=&\;abc\;-\;(\;ab\;+\;bc\;+\;ac\;)\;+\;a\;+b\;+\;c\;–\;1\\&=&\;abc\;-\;1\;+\;a\;+\;b\;+\;c\;–\;1\\&=&\;abc\;+\;a\;+\;b\;+\;c\;–\;2\\(\;a\;-\;1\;)(\;b\;-1\;)(c\;-1\;)\;&=&\;(\;a\;+1\;)(b\;+1\;)(c\;+1\;)\;–\;4\end{array}
ඒ අනුව , ( a +1 )(b +1 )(c +1 ) < 4 වීමට නම්, ( a – 1 )( b -1 )(c -1 ) < 0 විය යුතුය.
a, b, c ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිගවල් වන නිසා a, b, c > 0 වේ.
( a – 1 )( b -1 )(c -1 ) < 0 වීමට නම් තවදුරටත්, a, b, c < 1 වන බව පෙන්විය යුතුයි.
ත්‍රිකෝණයක එක් පාදයක දිග අනෙක් පාද දෙකේ එකතුවට වඩා කුඩා වන නිසා,
0 විය යුතුය.
a, b, c ත්‍රිකෝණයක පාදවල දිගවල් වන නිසා a, b, c > 0 වේ.
\begin{array}{rcl}c\;\;&<&\;\;a\;\;+\;\;b\\c^2&<&ac\;+\;bc\\c^2&<&1\;–\;ab\end{array}
ab ගුණිතය + අගයක් වන නිසා , 1 – ab < 1 වේ. ∴ c < 1 වේ.
එලෙසම, b < 1 හා a < 1 වන බව පෙන්විය හැක.
ඒ අනුව, 0 < a,b,c < 1 වන නිසා, ( a +1 )(b +1 )(c +1 ) < 4 වන බව පෙන්විය හැක.
