පරාසය
දත්ත කුලකයක විශාලතම සංඛ්‍යාව හා කුඩාම සංඛ්‍යාව අතර වෙනස එම දත්ත කුලකයේ පරාසය වේ.
පස් දෙනෙකුගෙන් යුත් ශිෂ්‍ය කණ්ඩායමක බර පිලිබඳ විස්තර පහත දැක්වේ.
33 , 40 , 42 , 50 ,55
මෙම සංඛ්‍යා කුලකයේ පරාසය = 55 – 33
= 22
විචලතාව ( σ2 )
{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } සංඛ්‍යා කුලකයේ මධ්‍යන්‍ය x̅ නම් එම සංඛ්‍යා කුලකයේ විචලතාව,
\sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i-\overline x\right)^2}n ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
\sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i-\overline x\right)^2}n \sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}n \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n\;x_i^2}n-2\overline x\frac{\sum_{i=1}^nx_i}n+\frac{n\overline x^2}n \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n\;x_i^2}n-2\overline x.\overline x¯+\overline x^2\;;\;\overline x=\frac{\sum_{i=1}^n\;x_i^2}n \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^n\;x_i^2}n-\overline x^2\;{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } දත්ත කුලකයේ නිරීක්ෂිත අගයන් පිළිවෙලින් f1 ,f2 , f3 , … ,fn වාර ගණනක් බැගින් පිහිටයි නම් විචලතාවය ,
\sigma^2=\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}\left(x_i-\overline x\right)^2}{\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}} ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
\sigma^2=\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}\left(x_i-\overline x\right)^2}{\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}} \sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^nf_i}\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i} \sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\;f_ix_i^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}-2\overline x\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}x_i}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}+\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i\overline x^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i} \sigma^2=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\;f_ix_i^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}+\overline x^2සම්මත අපගමනය (σ )
{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } සංඛ්‍යා කුලකයේ මධ්‍යන්‍ය x̅ නම් එම සංඛ්‍යා කුලකයේ සම්මත අපගමනය ,
\sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}n} ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
\sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}n} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i^2}n-2\overline x\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum x_i}}}n+\frac{n\overline x^2}n} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i^2}n-2\overline x.\overline x+\overline x^2} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i^2}n-\overline x^2}{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } දත්ත කුලකයේ නිරීක්ෂිත අගයන් පිළිවෙලින් f1 ,f2 , f3 , … ,fn වාර ගණනක් බැගින් පිහිටයි නම් සම්මත අපගමනය ,
\sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}\left(x_i-\overline x\right)^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}} ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
\sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}\left(x_i-\overline x\right)^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}x_i^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}--2\overline x\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_ix_i}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}+\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i\overline x^2}{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}x_i^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}--2\overline x.\overline x\;+\overline x^2} \sigma=\sqrt{\frac{{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum f_i}}}x_i^2}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i}-\overline x^2}මධ්‍යන්‍ය අපගමනය
{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } සංඛ්‍යා කුලකයේ මධ්‍යන්‍ය x̅ නම් එම සංඛ්‍යා කුලකයේ මධ්‍යන්‍ය අපගමනය ,
\text{මධ්‍යන්‍ය අපගමනය}\;=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left|x_i-\overline x\right|}n ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
{ x1 ,x2 , x3 , … ,xn } දත්ත කුලකයේ නිරීක්ෂිත අගයන් පිළිවෙලින් f1 ,f2 , f3 , … ,fn වාර ගණනක් බැගින් පිහිටයි නම් විචලතාවය ,
\text{මධ්‍යන්‍ය අපගමනය}\;=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^nf_i}\left|x_i-\overline x\right|}{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}f_i} ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
විචලන සංගුණකය
- නිරීක්ෂණ කුලකයක සම්මත අපගමනය σ ද මධ්‍යන්‍ය x̅ ද යැයි ගනිමු.
- මෙවිට එම නිරීක්ෂණ කුලකය සඳහා විචලන සංගුණකය ,
\text{විචලන සංගුණකය}\;=\frac\sigma{\overline x}\times100\% ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
- දත්ත කුලකයක විසිරුම පිලිබඳ වඩාත් ගැළපෙන මිනුම විචලන සංගුණකයයි.
උදා ;(1)
එක්තරා නගරයක දින 100 ක් තුළ සිදු වූ අනතුරු සංඛ්‍යාව පිලිබඳ විස්තර පහත දැක්වේ.
| දිනකට අනතුරු සංඛ්‍යාව | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| දින සංඛ්‍යාව | 21 | 44 | 18 | 10 | 5 | 2 |
- මෙම දත්ත ව්‍යාප්තිය සඳහා විචලන සංගුණකය සොයන්න.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| f | 21 | 44 | 18 | 10 | 5 | 2 |
| fx | 0 | 44 | 36 | 30 | 20 | 10 |
| fx2 | 0 | 44 | 72 | 90 | 80 | 50 |
∑ fx = 140
∑ fx2 = 336
\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}\;\overline x&=&\frac{\sum_{}fx}{\sum_{}f}\\&&\\&=&\frac{\left(21\times0\right)+\left(44\times1\right)+\left(18\times2\right)+\left(10\times3\right)+\left(5\times4\right)+\left(2\times5\right)}{100}\\&&\\&=&1.4\end{array} \begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}\;&=&\sqrt{\frac{\sum_{}fx^2}{\sum_{}f}-\overline x^2}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{336}{100}-\left(\frac{140}{100}\right)^2}\\&&\\&=&\sqrt{33600-19600}\\&&\\&=&1.18\end{array} \begin{array}{rcl}\text{විචලන සංගුණකය}\;&=&\frac\sigma{\overline x}\times100\%\\&&\\&=&84.29\;\%\end{array}
උදා ; (2)
A හා B ධාවකයන් දෙදෙනෙකු අවස්ථා පහකදී 100 m ධාවන තරඟයක් අවසන් කිරීමට ලබාගන්නා කාලය පිලිබඳ විස්තර පහත දැක්වේ.
| A | 11 | 15 | 14 | 10 | 13 |
| B | 13 | 12 | 14 | 12 | 13 |
- A හා B ක්‍රීඩකයින් ලබාගන්නා කාල සඳහා වෙන වෙනම මධ්‍යන්‍ය , සම්මත අපගමනය හා විචලන සංගුණකය සොයන්න.
- ඉහත ලබාගත් තොරතුරු ඇසුරෙන් ධාවකයින් දෙදෙනා 100 m ධාවන තරඟය අවසන් කිරීමට ලබාගන්නා කාලයන්
සසඳන්න.
- A ධාවකයා සලකමු.
- B ධාවකයා සලකමු.
100 m ධාවන තරඟයක් අවසන් කිරීමටA ලබාගන්නා මධ්‍යන්‍ය කාලය ,B ලබාගන්නා මධ්‍යන්‍ය කාලයට වඩා අඩු වුවද , A හි විචලන සංගුණකය > B හි විචලන සංගුණකය වන බැවින් , ක්‍රීඩකයන් දෙදෙනාගෙන් වඩාත් ස්ථාවර ක්‍රීඩකයා B වේ.
කේත යෙදීම් ක්‍රම
- { x1,x2,x3,…,xn } සංඛ්‍යා කුලකය yi = axi + b ; i = 1,2,3,…,n යන රේඛීය පරිණාමය යොදා ගෙන { y1,y2,y3,…,yn }
කුලකයට පරිණාමනය කර ඇත්තේ යැයි ගනිමු.
{ x1,x2,x3,…,xn } \xrightarrow{y_i=ax_i+b}{ y1,y2,y3,…,yn }
- { x1,x2,x3,…,xn } සංඛ්‍යා කුලකය සඳහා මධ්‍යන්‍යය x̅ ද, සම්මත අපගමනය σx ද ,
- { y1,y2,y3,…,yn } සංඛ්‍යා කුලකය සඳහා මධ්‍යන්‍යය y̅ ද,සම්මත අපගමනය σy ද යැයි ගනිමු.
\begin{array}{l}\overline y=\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum y_i}}}n\\\\=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(ax_i+b\right)}n\;\;;\;y_i=ax_i+b\\\\=\frac{a{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i}n+b\\\\=a\overline x+b\;\;;\;\overline x=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}x_i}n\end{array}
\overline y=a\overline x+b
\begin{array}{rcl}\sigma_y&=&\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(y_i-\overline y\right)^2}n}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left[\left(ax_i+b\right)-\left(a\overline x+b\right)\right]^2}n}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(ax_i-a\overline x\right)^2}n}\\&&\\&=&\left|a\right|\sqrt{\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}\left(x_i-\overline x\right)^2}n}\\&&\\&=&\left|a\right|.\sigma_x\;\;;\;\sigma_x=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2}n}\\&&\\&&\end{array}
\sigma_y=\left|a\right|.\sigma_x
උදා :- 510 , 520 , 530 , 540 , 550 , 560 , 570 යන සංඛ්‍යා කුලකයේ මධ්‍යන්‍යය හා සම්මත අපගමනය සොයන්න.
yi =1/10 xi – 50 යන රේඛීය පරිණාමනය සලකමු.එමඟින් දී ඇති දත්ත කුලකය පරිණාමනයෙන් ලැබෙන නව
දත්ත කුලකය ,
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
මෙම නව දත්ත කුලකයේ මධ්‍යන්‍යය ,
\overline y=\frac{1+2+3+4+5+6+7}7
= 287
= 4
නව දත්ත කුලකයේ සම්මත අපගමනය ,
\begin{array}{rcl}\sigma_y&=&\sqrt{\frac{\left(1-4\right)^2+\left(2-4\right)^2+\left(3-4\right)^2+\left(4-4\right)^2+\left(5-4\right)^2+\left(6-4\right)^2+\left(7-4\right)^2}7}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{28}7}\\&&\\&=&\sqrt4\\&&\\&=&2\\&&\\y_i&=&\frac1{10}x_i-50\end{array}
\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{rcl}&\Rightarrow&\;\overline y\;=\frac1{10}\overline x\;-50\\&&\\&\Rightarrow&\;\overline x=10\;\overline y+500\\&&\\&\Rightarrow&\;\overline x\;=10\times4+500\;\;\;;\;\overline y=4\\&&\\&=&540\;\left(\text{දෙන ලද දත්ත කුලකයේ මධ්‍යන්‍යය}\right)\\&&\\&&\end{array}\sigma_y&=&\left|\frac1{10}\right|\sigma_x\\&&\\&\Rightarrow&\;\sigma_x=10\;\sigma_y\\&&\\&\Rightarrow&\;\sigma_x=10\times2\\&&\\&=&20\;\left(\text{දෙන ලද දත්ත කුලකයේ සම්මත අපගමනය}\right)\\&&\end{array}
