02.04.00 – බහුපද ශ්‍රිත

• සංයුක්ත ගණිතය 1 ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ 11 වන ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ සිද්ධාන්ත වේ.

බහුපද ශ්‍රිතයක් යනු :-

x හි ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාමය බල (බින්දුවද ඇතුලත්ව) පමණක් අඩංගු වන පරිමිත පද ගණනන් සහිත ශ්‍රිතයක් බහුපද ශ්‍රිතයක් නම් වේ.

• a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + … + a_nxⁿ ආකාරයේ x හි සම්බන්දයක් බහුපද ශ්‍රිතයකි.

                 a₀ , a₁ , a₂ , … , a_n  =   තාත්වික නියත

                         n යනු ධන පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.

උදා :-

1. x³ + 5x² – x – 1
2. 5x⁶ – x – 6

• 4x^1/3 + 6x^1/2        
• \frac4{x^3}-x^2-4     මේවා බහුපද ශ්‍රිත නොවේ.

බහුපද ශ්‍රිතයක් බොහෝ විට  f(x) මගින් අංකනය කරමු.

එය  g(x) , h(x)  ලෙසද දැක්වීම කරයි.

බහුපද ශ්‍රිත සම්බන්ද අර්ථ දැක්වීම.

1. මාත්‍රය (Order) :- බහුපද ශ්‍රිතයක x හි වැඩිම බලය මාත්‍රය ලෙස හැදින්වේ.
2. සංගුණක (Coefficients) :- බහුපද ශ්‍රිතයක x හි එක් එක් බලය ගුණ වී ඇති සංඛ්‍යා සංගුණක වේ.
3. නායක සංගුණකය (Leading Coefficients) :- බහුපද ශ්‍රිතයක x හි වැඩිතම බලයේ සංගුණකය නායක සංගුණකය වේ.
4. නායක පදය (Leading Term) :- බහුපදයක x හි වැඩිම පදය නායක පදයයි.
5. නියත පදය (Constant Term) :- බහුපදයක x හි බින්දුවැනි බලයේ සංගුණකය නියත පදයයි.

උදා :-      f(x) =   2x⁴ – 5x³ + 5x + 7

මෙහි,
මාත්‍රය :- 4 
x⁴  සංගුණකය :- 2
x³  සංගුණකය :- (-5)
x² සංගුණකය :- 0
x¹ සංගුණකය :- 5
නියත පදය = 7
නායක සංගුණකය = 2

සාධාරණ බහුපද ශ්‍රිත

1. මාත්‍රය 0 ක් වූ බහුපද ශ්‍රිත ( නියත ශ්‍රිත )
2. මාත්‍රය 1 ක් වු බහුපද ශ්‍රිත ( ඒකජ ශ්‍රිත )
3. මාත්‍රය 2 ක් වූ බහුපද ශ්‍රිත ( වර්ගජ ශ්‍රිත )
4. මාත්‍රය 3 ක් වූ බහුපද ශ්‍රිත ( ඝනජ ශ්‍රිත )
5. මාත්‍රය 4 ක් වූ බහපද ශ්‍රිත ( චතුර්ථක ශ්‍රිත )

බහුපද ශ්‍රිත දෙකක එකතුව / අන්තරය

බහුපද ශ්‍රිත 2 ක් එකතු හෝ අඩු කිරීමේදී අනුරූප සංගුණක එකතු හෝ අඩු කල යුතුය.

උදා :-

f(x) = 2x⁴ – 5x³ + 8x + 7 හා g(x) = x³ – 7x² + x + 5 විට

f(x) + g(x) = 2x⁴ – 4x³ – 7x² + 9x + 12

f(x) – g(x) = 2x⁴ – 6x³ + 7x² + 7x + 2

බහුපද ශ්‍රිත දෙකක සමානතාව

බහුපද ශ්‍රිත දෙකක් එකිනෙකට සමාන වන්නේ නම් (සර්වසම නම්) එම බහුපද වල සංගුණක එකිනෙකට වෙන වෙනම සම්බන්ද වේ.

y₁ = ax² + bx + c

y₂ = px² + qx + r   විට ,  

y₁ = y₂ නම්

ax² + bx + c  =  px² + qx + r වේ.

මෙවිට      a = p

                 b = q

                c= r      වේ.

උදා :-    2x² – x – c  =  (a – 1)x² + bx + 3 නම් a,b,c සොයන්න.

දෙපස x² හි සංගුණක සැසදීමෙන්,

x² ( සං )           x ( සං )        නියත  c = 3

2 = a – 1          -b = 1

a = 3                 b = -1

බහුපද ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතය

උදා :-

(x + 1)(x² + 3x – 4) = x³ + 3x² – 4x + x² + 3x – 4

                                 = x³ + 4x² – x – 4

බහුපද ශ්‍රිත දෙකක බෙදීම

දිර්ඝ වශයෙන් බෙදීම

දීර්ඝ වශයෙන් බෙදීම

උදා :- 1.

ලබ්ධිය =  x-2
ශේෂය = 0  

2.

ලබ්ධිය =  x-2
ශේෂය = -1  

3.

ලබ්ධිය =  x²-x-1
ශේෂය = -(x+4)  

සංස්ලේශ බෙදීම

බහුපද බෙදීමක බහුපදය දීර්ඝ ලෙස බෙදීමෙන් තොරව එහි සංගුණකය භාවිතයෙන් ලබ්ධිය හා ශේෂය ලබා ගැනීම මෙහිදී සලකා බලනු ලැබේ.

මෙම ක්‍රමය යෙදිය හැක්කේ බහුපදයක් රේඛීය ප්‍රකාශනයකින් බෙදනවිට පමණි.

Step 1 :- දී ඇති බහුපද ශ්‍රිතයේ සංගුණකය පමණක් ලියා ගන්න.

Step 2 :- භාජකය බිංදුවට සමාන කර x හි අගය ලබා ගන්න.

Step 3 :- පහත බෙදීම සිදු කරන්න.

උදා :- 2x⁴ – 3x³ + 5x² + 7x – 8 යන්න (x – 1) න් බෙදූ විට ලබ්ධිය හා ශේෂය සොයමු.

 

ලබ්ධිය =  2x³–x²+4x+11
ශේෂය = 3  

Note :- f(x) බහුපදයක් ax + b ආකාරයේ භාජකයකින් බෙදූ විට ශේෂය පමණක් සෙවීමට සංස්ලේෂ බෙදීම භාවිතා කල හැක.එවැනි අවස්ථාවක ලබ්ධිය සෙවීමේදි සංස්ලේෂ බෙදීමේදී ලැබෙන ලබ්ධිය , භාජකයේ x හි සංගුණකයෙන් බෙදිය යුතුය.

ලබ්ධිය =  \frac{6x^2-8x+10}2=3x^2-4x+5
ශේෂය = 3  

බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම

f(x) ශ්‍රිතයක් g(x) මගින් බෙදූ විට ලැබෙන ලබ්ධිය \varnothing(x) ද ශේෂය h(x) ද නම්,

භාජ්‍යය = භාජකය × ලබ්ධිය  +  ශේෂය

f(x)\;=\;g(x)\varnothing(x)+h(x)

               ලබ්ධියේ මාත්‍රය     = භාජ්‍යයේ මාත්‍රය – භාජකයේ මාත්‍රය

                                                  = f(x) මාත්‍රය – g(x) හි මාත්‍රය

    ශේෂයේ උපරිම මාත්‍රය    = භාජකයේ මාත්‍රය – 1

                                                  = g(x) හි මාත්‍රය – 1

උදා 01 :– 2x⁴ – 3x³ +5x² + 7x – 8 යන්න (x – 1) න් බෙදූ විට ලබ්ධිය හා ශේෂය සොයමු.

භාජ්‍යයේ මාත්‍රය                    = 4
භාජකයේ මාත්‍රය                   = 1
ලබ්ධියේ මාත්‍රය                    = (4-1) =3
ලබ්ධිය                             = Ax³ + Bx² + Cx + D
ශේෂයේ මාත්‍රය                    = (1 – 1) = 0
ශේෂය                              =E

බෙදිම පිළිබද ඇල්ගොරිතම අනුව,

2x⁴ – 3x³ + 5x² + 7x – 8 = (x – 1)(Ax³ + Bx² + Cx + D) + E

                                  = Ax⁴ + (B – A)x³ + (C – B)x² + (D – C)x + (E – D)      

සංගුණක සලකා,

x⁴ ; A                           = 2
x³ ; (B – A)                   = -3       B = (-1)
x² ; (C – B)                    = 5        C = 4
x¹ ; (D – C)                    = 7        D = 11
x⁰ ; (E -D)                     = -8       E = 3

ලබිධිය = 2x³ – x² + 4x + 11

ශේෂය = 3

උදා 02 :-  x⁴ – 5x³ – 8x² + x + 1යන්න x² – 2x + 2න් බෙදූ විට ලබ්ධිය හා ශේෂය සොයන්න.

භාජ්‍යයේ මාත්‍රය = 4
භාජකයේ මාත්‍රය = 2
ලබ්ධියේ මාත්‍රය = (4 – 2) = 2
ලබ්ධිය = Ax² + Bx + C
ශේෂයේ මාත්‍රය = 2 – 1 = 1
ශේෂය = Dx + E

බෙදුමේ ඇල්ගොරිතම අනුව,

x⁴ -5x³ – 8x² + x + 1 = (x² – 2x + 2)(Ax² +Bx + C) + Dx + E

= Ax⁴ + Bx³ + Cx² – 2Ax³ – 2Bx² – 2Cx + 2Ax² + 2Bx + 2C + Dx + E

= Ax⁴ + (B – 2A)x³ + (C – 2B + 2A)x² + (2B – 2C + D)x + 2C + E

සංගුණක සලකා,

x⁴   ; A = 1

x³  ; B – 2A = -5
       B – 2×1 = -5
       B = -5 + 2 = -3

x²  ;  C – 2B + 2A = -8
        C – 2×(-3) + 2×1 = -8
        C = -8 -8 = -16

x¹   ; 2B – 2C + D = 1
        2×(-3) – 2×(-16) + D = 1
        D = 1 – 26 = -25

x⁰  ;   2C + E = 1
         2×(-16) + E = 1
         E = 33

          ලබ්ධිය = x² – 3x – 16

          ශේෂය = -25x + 33

ලබ්ධිය නොසොයා ශේෂය සෙවීම

භාජකයේ සාධක සෙවිය හැකි නම් එවැනි ගැටලු වල x සදහා අගයන් ආදේශ කිරීම මගින් සරලව ශේෂය පමණක් සෙවිය හැක.

උදා 01 :-  x² – 4x + 3 යන්න x – 2 න් බෙදූ විට ශේෂය සොයන්න.

ලබ්ධිය \varnothing(x)ද ශේෂය A යැයිද ගනිමු.

x² – 4x + 3 =\varnothing(x)(x – 2) + A

x = 2 විට,
4 -8 + 3 = A
A = -1

උදා 02 :- 2x⁴ – 9x² + 2 යන්න (x – 1)(x + 1) න් බෙදූ විට  ශේෂය සොයන්න.

ලබ්ධිය \varnothing(x) ශේෂය Ax + B ද යැයි ගනිමු.

බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම අනුව,

2x⁴ – 9x² + 2 = (x – 1)(x + 1)\varnothing(x)+ Ax + B

x = 1 විට,
2 – 9 + 2 = A + B
A + B = -5

x = -1 විට,
2 – 9 + 2 = -A + B
-A + B = -5
B = -5
A = 0

ශේෂය = -5

උදා 03 :- x⁴ – 3x³+ 4x² – 2 යන්න (x² – 1) න් බෙදූ විට ශේෂය සොයන්න.

ලබ්ධිය\varnothing(x)  ද ශේෂය Ax + B යැයිද ගනිමු.

(x² – 1) = (x – 1)(x + 1)

x⁴ – 3x³ + 4x² – 2 = (x – 1)(x + 1)\varnothing(x)  + Ax + B

x = 1 විට,
1 – 3 + 4 – 2 = A + B
A + B = 0

x = -1 විට,
1 + 3 + 4 – 2 = – A + B
– A + B = 6
2B = 6
B = 3
A = -3

ශේෂය = -3x + 3

උදා 04 :- ax³ + bx² + cx + d නම් බහුපද ශ්‍රිතය x² – 1 , x² – 4 න් බෙදූ විට ශේෂයන් අනුපිළිවෙලින්

              (5x – 2) , 11(x – 1) නම් a,b,c,d සොයන්න.

x² – 1 = (x – 1)(x + 1)         (x² – 4) = (x – 2)(x + 2)

(x² – 1) න් බෙදූ විට ලබ්ධිය \varnothing(x) ද යැයි ගනිමු.

බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම අනුව,

ax³ + bx² + cx + d = (x – 1)(x + 1)∅(x) + 5x – 2

x = -1 විට,        
-a + b – c + d = -5 – 2
b + d – a – c = -7

x = -1 විට,
a + b + c + d = 3

(x² – 4) න් බෙදූ විට ලබ්ධිය g(x) යැයි ගනිමු.

බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම අනුව,

ax³ + bx² + cx + d = (x – 2)(x + 2)g(x) + 11(x – 1)

x = 2 විට,
8a + 4b + 2c + d = 11 

x = -2 විට,         
-8a + 4b – 2c + d = -33

ඉහත සමීකරණ 4 විසදීමෙන්,

a = 2 , b = -3 , c = 3 , d = 1

උදා 05 :- m යනු ඉරට්ටේ නිඛිලයක් වන විට x^m + nx යන බහු පදය x² – x – 2 න් බෙදූ විට ශේෂය

               2x + 6  වේ. m හා n සොයන්න.

x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2)

ලබ්ධිය \varnothing(x)  යැයි ගනිමු.

බෙදීමේ ඇල්ගොරිතම අනුව,

x^m +nx = (x + 1)(x – 2)\varnothing(x)  + 2x + 6

x = -1 විට,
(-1)^m – n = -2 + 6
1 – n = 4 (m ඉරට්ටේ )
n = -3

x = 2 විට,
2^m + 2n = 10
2^m = 10 -2 × (-3)
2^m = 16
2^m = 2⁴
m = 4

සාධක ප්‍රමේයය

f(x) යන හි බහු පද ශ්‍රිතය (x-\alpha)වලින් බෙදූ විට ලැබෙන ශේෂය f(\alpha) ශූන්‍ය වන්නෙ නම් (x-\alpha) යන්න f(x) හි සාධකයකි.

සාධනය :-

f(\alpha)= 0 නම් ,

f(x) = (x-\alpha) g(x) වේ. එනම් එවිට (x-\alpha) යන්න f( x ) හි සාධකයක් වන බව කිව හැකිය.

උදා :-  

x³ – 2x² – 11x + 12 සාධක සොයන්න.

f(x)  =  x³ – 2x² – 11x + 12 ලෙස ගනිමු.

x = 1 විට ,
f(1) = 1 – 2 – 11 + 12
f(1) = 0

(x – 1) , f(x) හි සාධකයක් වේ.

f(x) = (x – 1) g(x) ලෙස ගත හැක.

උදා 01 :-

P(x) = x³ – 4x² – 7x + K බහු පද ශ්‍රිතයේ K යනු නියතයකි. (x + 2), P(x) හි සාධකයක් නම් K = 10 බව පෙන්වන්න. එනයින්, P(x) ඒකජ සාධකයන්හි ගුණිතයක් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්න.

f(x) = x³ – 4x² – 6x + 12 නම් f(x) = p(x) + Ax + B ආකාරයට A හා B නියත සොයන්න.

(x+2) , P(x) හි සාධකයක් නිසා ,

සාධක ප්‍රමේයයෙන් ,

P(-2) = (-2)³  – 4(-2)² – 7(-2) + k = 0
         = -8 -16 + 14 + k                   
         = 0

K = 10

P(x) = x³ – 4x² – 7x + K

(x+2)  සාධකයක් නිසා ,

P(x) = (x+2)(x² -6x+5)
       = (x+2)(x-6)(x-1)

f(x) = x³ -4x² -6x +12
       = x³ -4x² -6x –x +x  +10 +2
       = x³ – 4x² – 7x + 10 + x +2
       = p(x) +x +2

මෙය  f(x) = p(x) + Ax + B ආකාර වේ.

                  A = 1            B = 2

උදා 02 :-

f(x) බහු පදය   (x – p)(x – q)  වලින් බෙදූ විට ලැබෙන ශේෂය Ax +B නම් , A=\frac{f(p)\;-\;f(q)}{p-q}  හා \\[4px]B=\frac{qf(p)-pf(q)}{q-p}  බව‍ පෙන්වන්න . මෙහි p , q නියත වේ. (p\neq q)

ඒ නයින් ,  \alphax³ +3x² -7x +β යන්න (x-2)(x+3) න් බෙදු විට ශේෂය  4x+6 නම් , \alpha හා β සොයන්න.

f(x) යන්න (x – p)(x – q) න් බෙදූ විට ලබ්ධිය \varnothing(x) යැයි ගනිමු.

f(x) = (x – p)(x – q)\varnothing(x) + Ax +B

x = p විට ,
f(p) = Ap + B \rightarrow\;1

x=q විට
f(q) = Aq + B \rightarrow\;1

ඉහත සමීකරණ දෙක විසඳීමෙන්,                                                                            

\begin{array}{l}A=\frac{f(p)\;-\;f(q)}{p-q}\\[4px]B=\frac{qf(p)-pf(q)}{q-p}\end{array}

p=2 හා q=-3 නිසා, ඉහත සමීකරණ වලට ආදේශයෙන් A=4 හා B=6 වේ.

එම නිසා \alpha=2 හා \beta=0

p=2 හා q=-3 නිසා, ඉහත සමීකරණ වලට ආදේශයෙන් A=4 හා B=6 වේ.

එම නිසා \alpha=2 හා \beta=0