සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න) 02වැනි ගැටළුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
මාපාංක අර්ථ දැක්වීම:
- තාත්වික සංඛ්‍යාවක ලකුණ නොසලකා හැර එහි විශාලත්වය පමණක් සැලකූවිට එය තාත්වික සංඛ්‍යාවේ මාපාංක අගය හෝ නිරපේක්ෂ අගය යැයි කියනු ලැබේ
නියතයක මාපාංකය:
\begin{array}{l}\vert a\vert=\left\{\begin{array}{l}a\;\;\;\;;a\geq0\;\\-ɑ\;;a<0\end{array}\right\}\;\text{ලෙස අර්ථ දැක්වේ}\\\\\\\end{array}
- a ,b ∈ ℝ විට,
- |ab| = |a||b|
- \left|\frac ab\right|\;=\;\frac{\displaystyle\left|a\right|}{\left|b\right|}
විචල්‍යයක මාපාංකය:
\begin{array}{l}\vert x\vert=\left\{\begin{array}{l}x\;\;\;\;;x\geq0\;\\-x\;;x<0\end{array}\right\}\;\text{ලෙස අර්ථ දැක්වේ}\\\\\\\end{array}
\begin{array}{l}x\in\mathbb{R}\;\text{විට}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|x\right|\geq0\;\text{සදහා}\;\left|x\right|=x\\\text{වර්ග කිරීමෙන්, }\left|x\right|^2=x^2\;\;\;\rightarrow➀\end{array}
\begin{array}{l}\left|x\right|<0\;\;\text{සදහා}\;\left|x\right|=-x\\\left|x\right|^2=\left(-x\right)^2=\left(x\right)^2\;\;\;\;\;\rightarrow➁\end{array}
\begin{array}{l}➀\;\text{න් හා}\;➁\text{න්}\\x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left|x\right|^2=x^2\;\text{වේ.}\end{array}ශ්‍රිතයක මාපාංකය:
- f ශ්‍රිතයේ මාපාංකය |f| විට,
\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\left\{\begin{array}{l}f(x)\;\;\;\;;\;\;\;x\geq0\;\\-f(x)\;\;\;;\;\;\;x<0\end{array}\right\}\;\text{ලෙස අර්ථ දැක්වේ.}\\\\\\\end{array}
- මාපාංක අසමානතා පහත ආකාර යටතේ විසදිය හැක.
|x-5| ≤ 7 සලකමු.
1. වර්ග කිරීමෙන්,
\begin{array}{rcl}\vert x-5\vert&\leq&7\\\text{දෙපසම ධන නිසා වර්ග කිරීමෙන්},\\(x-5)^2&\leq&49\\(x-5)^2-7^2&\leq&0\\(x-5+7)(x-5-7)&\leq&0\\(x+2)(x-12)&\leq&0\\&&\\&&\\&&\end{array}
\begin{array}{rcl}&&\left\{x\vert x\in\mathbb{R};-2\leq x\leq12\right\}\end{array}
2. අර්ථ දැක්වීමෙන්,
\begin{array}{rcl}\vert x-5\vert&\leq&7\\\vert x-5\vert&=&\left\{\begin{array}{l}(x-5);x\geq5\\-(x-5);x<5\end{array}\right\}\;\xrightarrow[{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}]{}\large➀\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\infty<\;&x&<\;5\;\;\;\;\text{විට,}\\\;\large➀\;\text{න්},\\\vert x-5\vert\;&\leq&7\;\\-(x-5)\;&\leq&\;7\;\\-x+5\;&\leq&\;7\\\;x\;&\leq&\;-2\;\\-2\;&\leq&\;x\;\leq\;5\;\xrightarrow[{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}]{}\;\boxed a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
\begin{array}{rcl}5&\leq&x<\infty\;\\\large{➀}\text{ න්},\;\;\\\;x\;-5\;&\leq&7\\x\;&\leq&\;12\;\;\;\;\\\;5\;&\leq&\;x\;\leq\;12\xrightarrow[{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}]{}\boxed b\;\;\;\end{array}
\boxed a\text{ හා }\boxed b අනුව,
\left\{x\vert x\in\mathbb{R};-2\leq x\leq12\right\}
3. ප්‍රස්ථාර ක්‍රමය භාවිතයෙන්
|x-5| ≤ 7
- y = x – 5 සලකමු.
- y = |x-5|
ß, α ලක්ස්‍ය සෙවීමෙන්,
\begin{array}{rcl}-\alpha\;+\;5\;&=&\;7\;\\\alpha\;&=&\;-2\end{array}
\begin{array}{rcl}\beta–\;5\;&=&\;7\;\\\beta\;&=&\;12\end{array}
ප්‍රස්ථාරය අනුව,
\left\{x\vert x\in\mathbb{R};-2\leq x\leq12\right\}
මාපාංක ප්‍රස්ථාර ආකාර
y =│ax│ ආකාරය
\begin{array}{rcl}\text{නිද: }y&=&\vert x\vert\\\left|x\right|&=&\left\{-x\;;\;x<0\;\;\;x\;;\;x\geq0\right\}\end{array}
y =│ax+b│ ආකාරය
\begin{array}{rcl}\text{නිද: }y&=&\vert x+1\vert\\\left|x+1\right|&=&\left\{\begin{array}{l}(x+1);x\geq-1\\-(x+1);x<-1)\end{array}\right\}\end{array}
y =│ax+b│+c ආකාරය
\begin{array}{rcl}\text{නිද: }y&=&\vert x+1\vert+2\\\left|x+1\right|+2&=&\left\{\begin{array}{l}(x+1)+2=x+3;x\geq-1\\-(x+1)+2=-x+1;x<-1)\end{array}\right\}\end{array}
y = -│ax+b│ ආකාරය
\begin{array}{rcl}\text{නිද: }y&=&-│2x-1│\\│x+1│&=&\left\{\begin{array}{l}-(2x-1);x\geq\frac12\\(2x-1);x<\frac12\end{array}\right\}\end{array}
y = │ax2+bx+c│ ආකාරය
\begin{array}{rcl}\text{නිද: }y&=&│x^2-2x-3│\end{array}
- මෙහිදී ප්‍රස්තාරයේ x අක්සය මත ප්‍රතිබිම්භය ලබා දෙයි.
මාපාංක ශ්‍රිත ආශ්‍රිත ප්‍රමේයයන්
\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\left|x\right|&<&a\;\text{පමණක් නම් };-a<x<a,a>0\\\left|x\right|&<&a\\\\\text{සාධනය};\\\left|x\right|^2&<&a^2\;\left[\text{දෙපසම ධන නිසා}\right]\\x^2&<&a^2\\x^2-a^2&<&0\\(x–a)(x+a)&<&0\\-a<&x&<a\;\text{වේ.}\end{array}\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\left|x\right|&>&a\;\text{පමණක් නම්;}\;\;-\;x\;<\;-a\;\text{හා}\;\;a\;>\;0\\\\\text{සාධනය};\\\left|x\right|&>&a\\\left|x\right|^2&>&a^2\;\left[\text{දෙපසම ධන නිසා}\right]\\x^2&>&a^2\\x^2-a^2&>&0\\(x–a)(x+a)&>&0\\\;x\operatorname{ < -}a\;&\text{හෝ}&\;x\operatorname{ > }a\;\text{වේ}\operatorname{. }\end{array}
අභ්‍යාසය:-
පහත සදහන් ශ්‍රිත වල ප්‍රස්තාර වල දල සටහන් අදින්න.
- y = |2x|
විසදුම :
\vert2x\vert=\left\{\begin{array}{rcl}2x;x&\geq&0\\-2x;x&<&0\end{array}\right\}
- y = |2x-3|
විසදුම :
\vert2x-3\vert=\left\{\begin{array}{rcl}2x-3\;;x&\geq&\frac32\\[4px]-2x+3\;;x&<&\frac32\end{array}\right\}
- y = |x-3|+5
විසදුම :
\vert x-3\vert+5\;=\left\{\begin{array}{rcl}(x-3)+5&=&x+2\;\;\;\;;\;\;\;x\geq3\\-(x-3)+5\;&=&\;-x+8\;\;\;\;\;;\;\;\;x<3\end{array}\right\}
- y = 5 – 2|x-1|
විසදුම :
5\;-\;2\vert x-1\vert\;=\left\{\begin{array}{rcl}5-2x+2&=&\;-2x+7\;\;\;\;;\;\;\;\;x\geq1\\5+2x-2&=&2x+3\;\;\;\;;\;\;\;\;x<1\end{array}\right\}
