01.03.00 – පිහිටුම් දෛශික

• අචල ලක්ෂයයකට සාපේක්ෂව තවත් ලක්ෂයයක පිහිටීම දෛශික ආකරයෙන් ප්‍රකාශ කල විට එය අචල ලක්ෂයයක් අනුබද්ධයෙන් පිහිටුම් දෛශිකයක් ලෙස හැදින්වේ.

                  \begin{array}{rcl}O\;\mathrm{අනුබද්ධ‍යෙන්}\;A\;\mathrm{හි}\;\mathrm{පිහිටුම්}\;\mathrm{දෛශිකය}\;&=&\;\overrightarrow{OA}\;=\;\underline a\\A\;\mathrm{අනුබද්ධ‍යෙන්}\;O\;\mathrm{හි}\;\mathrm{පිහිටුම්}\;\mathrm{දෛශිකය}\;&=&\;\overrightarrow{AO}\;=\;-\underline a\end{array}

      මෙහිදී \overrightarrow{OA} හා \overrightarrow{AO} වල අභිදිශා පමණක් ප්‍රතිවිරුද්ධ වන බැවින් එය (-) ලකුණකින් නිරූපණය කරයි.

ලක්ෂයයක පිහිටුම් දෛශිකය එම ලක්ෂයයේ කාටිසීය ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් ප්‍රකාශ කිරීම.

01.ද්විමාන අවකාශයේ පිහිටුම් දෛශික ප්‍රකාශ කිරීම.

• එකිනෙකට ලම්බකව සාදා ගත් X අක්ෂ‍යෙන් හා Y අක්ෂ‍යෙන් යුත් ඛණ්ඩාංක තලය භාවිතා කරයි.
• මූල ලක්ෂයය අනුබද්ධ‍යෙන් පිහිටුම් දෛශික ප්‍රකාශ කරයි.
• O මූල ලක්ෂයයට සාපේක්ෂව P ලක්ෂයයේ පිහිටුම් දෛශිකය \overrightarrow{OP} හෝ OP = r ලෙස අර්ථ දක්වයි.
• මූලයට සාපේක්ෂව X අක්ෂ‍යේ දිශාවට වු  ඒකක දෛශිකය i ද , Y අක්ෂ‍යේ දිශාවට වු ඒකක දෛශිකය j ද ලෙස සම්මත අංකනයක් සිදු කරයි.

• P\equiv\left(x,y\right) ලක්ෂයයේ මූලය අනුබද්ධ‍යෙන් පිහිටුම් දෛශිකය පහත පරිදි ප්‍රකාශ කල හැකිය. තිරස් , සිරස් අක්ෂ වලට සාපේක්ෂව P සිට OY ට දුර x ද, OX ට දුර y ද වේ.

\begin{array}{rcl}OM&=&x\;\;\mathrm{හා}\;\;PM\;=\;y\;\mathrm{වේ}.\\\overrightarrow{OM}&=&OM\times\mathrm{ඒකක}\;\mathrm{දෛශිකය}\\\overrightarrow{\mathrm OM}&=&x\underline i\\\overrightarrow{MP}&=&MP\times\mathrm{ඒකක}\;\mathrm{දෛශිකය}\\\overrightarrow{MP}&=&y\underline j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;OMP\;\mathrm{ගෙන්},

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}\\&=&x\underline i+y\underline j\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

\begin{array}{rcl}O\;\mathrm ට\;\mathrm{සාපේක්ෂව}\;P\;\mathrm{ලක්ෂයේ}\;\mathrm{පිහිටුම්}\;\mathrm{දෛශිකය}\;&=&\;\overrightarrow{OP}\\P\;\mathrm{හි}\;\mathrm{ඛණ්ඩාංක}\;(x\;,\;y)\;\mathrm{නම්}\;P\;\mathrm{හි}\;\mathrm{පිහිටුම්}\;\mathrm{දෛශිකය}\;&=&\;x\underline i\;+\;y\underline j\;\end{array}

• මෙහිදී ඒකක දෛශික යෙදීමේදී \overrightarrow{OM} හා \overrightarrow{MP} හි දිශාවන්ට අනුරූප ඒකක දෛශික භාවිතා කරයි.

උදා:

1. A\equiv\left(4,3\right)\;,\;B\equiv\left(2,2\right)\;,\;C\equiv\left(-3,-4\right)\;ලක්ෂය OXY ඛණ්ඩාංක තලයේ දක්වා පිළිවෙලින් \overrightarrow{OA}\;,\;\overrightarrow{OB}\;,\;\overrightarrow{OC}\;,\;\overrightarrow{OD}\;ලියා දක්වන්න.

\begin{array}{l}\overrightarrow{OA}\;=\;4\underline i+3\underline j\\\overrightarrow{OB}\;=\;-2\underline i+2\underline j\\\overrightarrow{OC}\;=\;-3\underline i-4\underline j\\\overrightarrow{OD}\;=\;2\underline i-3\underline j\end{array}

දෛශික විභේදනයේ ලක්ෂණ

\begin{array}{l}1.\; x\underline i+y\underline j=0\;\mathrm{වීමට},\\\;\;\;\;x=0\;\mathrm{හා}\;y=0\;\mathrm{විය}\;\mathrm{යුතුය}.\end{array}
\\
\;\;2.\;\lambda(x\underline i+y\underline j)\;=\;\lambda x\underline i\;+\;\lambda y\underline j
\\
\begin{array}{rcl}3.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{r_1}\;&=&\;x_1\;\underline i\;+\;y_{1\;}\underline j\;\;\\\underline{r_2}\;&=&\;x_{2\;}\underline i\;+\;y_2\;\underline j\;\mathrm{නම්},\;\\\underline{r_1}\;+\;\underline{r_2}\;&=&\;(x_1\;\underline i\;+\;y_{1\;}\underline j)\;+\;(x_{2\;}\underline i\;+\;y_2\;\underline j)\\&=&\;(x_1\;+\;x_2)\underline i\;+\;(y_1\;+\;y_2)\underline j\end{array}
\\
\begin{array}{rcl}4.\;\underline{r_1}\;-\;\underline{r_2}\;&=&\;(x_1\;\underline i\;+\;y_{1\;}\underline j)\;-\;(x_{2\;}\underline i\;+\;y_2\;\underline j)\\&=&\;(x_1\;-\;x_2)\underline i\;+\;(y_1\;-\;y_2)\underline j\end{array}
\\
\begin{array}{rcl}5.\;\underline a\;&=&\;x\underline i\;+\;y\underline j\\\widehat{\underline a}\;&=&\;\frac a{\left|\underline a\right|}\\[4px]\widehat{\underline a}\;&=&\;\frac{x\underline i\;+\;y\underline j}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}

ප්‍රමේයය

O ට සාපේක්ෂව A , B ලක්ෂ වල පිහිටුම් දෛශික a , b නම් \overrightarrow{AB}\;=\;\left(\underline b-\underline a\right) වේ.

• ප්‍රමේයය සාධනය;

ත්‍රිකෝණ නියමයට අනුව,                                                                                                
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\;&=&\;\overrightarrow{AO}\;+\;\overrightarrow{OB}\\&=&\;-\;\overrightarrow{OA}\;+\;\overrightarrow{OB}\\&=&\;-\underline a\;+\;\underline b\\\overrightarrow{AB}\;&=&\;\underline b\;-\;\underline a\;\;\;\;\;\end{array}

• විභේදන ආකාරයෙන්;

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OA}\;&=&\;x_{1\;}\underline i\;+\;y_1\;\underline j\;\;\mathrm ද,\\\overrightarrow{OB}\;&=&\;x_{2\;}\underline i\;+\;y_2\;\underline j\;\;\mathrm ද\;\mathrm{ලෙස}\;\mathrm{ගනිමු}.\\\mathrm{එවිට},\\A\;&=&\;\left(x_1\;, y_1\right)\\B\;&=&\;\left(x_2\;,y_2\right)\;\mathrm{වේ}.\end{array}

ප්‍රමේයය අනුව,                                                                                                       
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AB}\;&=&\;\underline b-\underline a\\&=&\;\left(x_2\;i\;+y_2\;j\right)\;-\;\left(x_1\;i\;+\;y_1\;j\right)\\\overrightarrow{AB}\;&=&\;\left(x_2-x_1\right)i\;+\;\left(y_2-y_1\right)j\\\mathrm{එවිට},\\\overrightarrow{AB}\;&=&\;{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\;=\;\sqrt{(x_2-x_1)^2\;+\;(y_2-y_1)^2}\end{array}
\\

උදා:

1. A ≡ ( 1 ,  4 ) , B ≡ ( 3 , 5 ) , C ≡ ( -3 , 3 ) , D ≡ ( -4 , 6 ) ලක්ෂය OXY ඛණ්ඩාංක තලයක දක්වන්න.
   1. \overrightarrow{OA}\;,\;\overrightarrow{OB}\;,\;\overrightarrow{OC}\;,\;\overrightarrow{OD}\;\mathrm{පිළිවෙලින්}\;\mathrm{ලියා}\;\mathrm{දක්වන්න}.
   2. \overrightarrow{AB}\;,\;\overrightarrow{CD}\;,\;\overrightarrow{AC}\;,\;\overrightarrow{CA}\;\mathrm{සොයන්න}.\\

\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\text{1.}\;\overrightarrow{OA}\;&=&\;\underline i\;+\;4\;\underline j\\\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{OB}\;&=&\;3\underline i\;+\;5\underline j\\\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{OC}\;&=&\;-3\underline i\;+\;3\underline j\\\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{OD}\;&=&\;-4\underline i\;+\;6\underline j\;\end{array}
\\

\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\text{2.}\;\overrightarrow{AB}\;&=&\;\overrightarrow{AO}\;+\;\overrightarrow{OB}\\\;&=&\;\overrightarrow{OB}\;-\;\overrightarrow{OA}\\\;&=&\;3\underline i\;+\;5\underline j\;-\;\left(\underline i\;+\;4\underline j\right)\\\;&=&\;3\underline i\;+\;5\underline j\;-\;\underline i\;-\;4\underline j\\\;&=&\;2\underline i\;+\;\underline j\;\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{CD}\;&=&\;\overrightarrow{CO}\;+\;\overrightarrow{OD}\\\;&=&\;\overrightarrow{OD}\;-\;\overrightarrow{OC}\\\;&=&\;-4\underline i\;+\;6\underline j\;-\;\left(-3\underline i\;+\;3\underline j\right)\\\;&=&\;-\underline i\;+\;3\underline j\;\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{AC}\;&=&\;\overrightarrow{AO}\;+\;\overrightarrow{OC}\\\;&=&\;\overrightarrow{OC}\;-\;\overrightarrow{OA}\\\;&=&\;-3\underline i\;+\;3\underline j\;-\;\left(\underline i\;+\;4\underline j\right)\\\;&=&\;-4\underline i\;-\;\underline j\;\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{CA}\;&=&\;-\overrightarrow{AC}\;\\&=&\;-\left(-4\underline i\;-\;\underline j\;\right)\\&=&\;4\underline i\;+\;\underline j\;\end{array}

x\underline i\;+\;y\underline j හි විශාලත්වය

• යම් දෛශිකයක මාපාංකය මගින් එම දෛශිකයේ විශාලත්වය නිරූපණය කරයි.
• \overrightarrow{OP} විශාලත්වය \left|\overrightarrow{OP}\right| ලෙස අංකනය කරයි.
  P ≡ ( x , y ) ලක්ෂයය සලකමු.

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP\;}&=&\;x\underline i+y\underline j\\x\underline i+y\underline j\;\mathrm{හි}\;\mathrm{විශාලත්වය}\;&=&\;\vert x\underline i+y\underline j\vert\;=\;\vert\overrightarrow{OP}\vert\\\vert x\underline i+y\underline j\vert&=&\;OP\;\mathrm{දිග}\\&=&\sqrt{OM^2+MP^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\mathrm{පයිතගරස්}\;\mathrm{ප්}‍\mathrm{රමේයය}\;\mathrm{යෙදීමෙන්})\\\vert\overrightarrow{OP}\vert\;&=&\;\sqrt{x^2+y^2}\end{array}

• මේ අනුව දෛශිකයක ඍජුකෝණී සංරචක වල වර්ගමූලය මගින් දෛශිකයේ මාපාංකය ලබා ගත හැක.

\begin{array}{rcl}\underline û\;&=&\;\frac{\overrightarrow{OP}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert}\\[4px]\underline û\;&=&\;\frac{x\underline i+y\underline j}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}

\overrightarrow{OP},\;X\;\text{හා}\;Y\;\text{අක්ෂ}\;\text{සමග}\;\text{සාදන}\;\text{කෝණ}\;\text{පිළිවෙලින්}\;\alpha\;\text{හා}\;\beta\;\text{යැයි}\;\text{ගනිමු}.

\begin{array}{rcl}\cos\;\alpha\;&=&\;\frac{OM}{OP}\\[4px]\cos\;\alpha\;&=&\;\frac x{\sqrt{x^2+y^2}}\\[8px]\cos\;\beta\;&=&\;\frac{MP}{OP}\\[4px]\cos\;\beta\;&=&\;\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}

• Cos α හා Cos β වල අගයන් දී ඇති විට ඉන් α හා β කෝණ සොයා OP හි දිශාව තීරනය කල හැක.
  එබැවින් Cos α හා Cos β ට දිශා කෝසයින යැයි කියයි.

\begin{array}{rcl}\cos^2\;\alpha\;+\;\cos^2\;\beta\;&=&\frac{x^2}{\sqrt{x^2\;+\;y^2}}\;+\;\frac{y^2}{\;\sqrt{x^2\;+\;y^2}}\\&=&\;\frac{x^2\;+\;y^2}{x^2\;+\;y^2}\\\cos^2\;\alpha\;+\;\cos^2\;\beta\;&=&\;1\end{array}

OP දිග a ද , \overrightarrow{OP} හි දිශාව x අක්ෂයේ (+) දිශාව සමග වාමාවර්තව සාදන කෝණය α ද නම්,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;OMP\;\triangle\;\text{න්},

\begin{array}{rcl}\cos\;\alpha\;&=&\;\frac xa\\x\;&=&\;a\;\cos\;\alpha\\\sin\;\alpha\;&=&\;\frac ya\\y\;&=&\;a\;\sin\;\alpha\\\\\overrightarrow{OP}\;&=&\;x\underline i\;+\;y\underline j\\\overrightarrow{OP}\;&=&\;a\;\cos\;\alpha\;\underline i\;+\;a\;\sin\;\alpha\;\underline j\\\overrightarrow{OP}\;&=&\;a\;(\cos\;\alpha\;\underline i\;+\;\sin\;\alpha\;\underline j)\end{array}

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{OP} දිශාවට ඒකක දෛශිකය û නම්,

\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\;\;\widehat{\underline u}\;&=&\;\frac{\overrightarrow{OP}}{\left|\overrightarrow{OP}\right|}\\&=&\;\frac{a\left(\cos\;\alpha\underline i\;+\;\sin\;\beta\underline j\right)}a\\[4px]\widehat{\underline u}\;&=&\;cos\;\alpha\underline i\;+\;sin\;\beta\underline j\end{array}

• ඉහත ප්‍රතිඵල සාධනය නොකර භාවිතා කල හැක.

\text{උදා: }\;A\;\equiv\;(\;\sqrt3\;,\;1\;)\;\text{හා}\;P\;\equiv\;(\;2\;,\;2\sqrt3\;)\;\;\text{නම්,}
\begin{array}{l}\;\;\;\;\text{ i}.\;\overrightarrow{OA}\;\text{ලියා}\;\left|\overrightarrow{OA}\right|\;\text{සොයන්න}.\\\;\;\;\;\text{ii}.\;\overrightarrow{OP}\;\text{ලියා}\;\left|\overrightarrow{OP}\right|\;\text{සොයන්න}.\end{array}

\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\text{ i}.\;\;\;\;\overrightarrow{OA}\;&=&\;\sqrt3\underline i\;+\;\underline j\\\left|\overrightarrow{OA}\right|\;&=&\;\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2\;+\;1^2}\\&=&\;\sqrt{3\;+\;1}\\&=&\;2\;\text{ඒකක}\end{array}
\\
\begin{array}{rcl}\;\;\;\;\text{ii}.\;\;\;\;\overrightarrow{OP}\;&=&\;2\underline i\;+\;2\sqrt3\underline j\\\left|\overrightarrow{OP}\right|\;&=&\;\sqrt{2^2\;+\;\left(2\sqrt3\right)^2}\\&=&\;2\;\sqrt{1\;+\;\left(\sqrt3\right)^2}\\&=&\;4\;\text{ඒකක}\end{array}

x\underline i\;+\;y\underline j\;\;\text{හි දිශාව }

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}\;\text{තිරසට}\;\alpha\;\text{ආනත නම්,}\\\tan\;\alpha\;&=&\;\frac{PM}{OM}\\[4px]&=&\;\frac yx\\[4px]\alpha\;&=&\;\tan^{-1}\left(\frac yx\right)\end{array}
\\

\text{උදා}:\;A\;\equiv\;(\;5\;,\;5\sqrt3\;)\;\text{නම්,}
\begin{array}{l}\text{ i}.\;\overrightarrow{OA}\;\text{ලියා දක්වන්න.}\\\text{ ii}.\;\left|\overrightarrow{OA}\right|\;\text{සොයන්න.}\\\text{iii}.\;\overrightarrow{OA}\;\text{දිශාව සොයන්න}\\\text{iv}.\;\overrightarrow{OA}\;\text{දිශාවේ ඒකක දෛශිකය සොයන්න.}\\\text{v}.\;\overrightarrow{OA}\;\text{දිශාවට විශාලත්වය 8ක් වන දෛශිකය සොයන්න.}\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{ i}.\;\;\;\;\overrightarrow{OA}\;&=&\;5\underline i\;-\;5\sqrt3\underline j\\&=&\;5\left(\underline i-\;\sqrt3\underline j\right)\end{array} \begin{array}{rcl}\text{ ii}.\;\;\;\left|\overrightarrow{OA}\right|\;&=&\;\left|5\left(\underline i-\;\sqrt3\underline j\right)\right|\\&=&\;5\left|\left(\underline i-\;\sqrt3\underline j\right)\right|\\&=&\;5\sqrt{1^2\;+\;\left(-\sqrt3\right)^2}\\&=&\;10\;\text{ඒකක}\end{array} \begin{array}{rcl}\text{iii}.\;\;\;\;\overrightarrow{OA}\;\text{තිරසට }\alpha\text{ ආනත නම්, }\\Tan\;\alpha\;&=&\;\frac{-5\sqrt3}5\\&=&\;-\sqrt3\\Tan\;\alpha\;&=&\;-\;Tan\;(60^\circ)\\Tan\;\alpha\;&=&\;Tan\;(-60^\circ)\\\alpha\;&=&\;-60^\circ\;\;\;\;\;\;\;\end{array} \begin{array}{rcl}\text{iv}.\;\;\;\;\overrightarrow{OA}\;\text{දිශාවේ ඒකක දෛශිකය }&=&\;\frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|}\\&=&\;\frac{5\left(\underline i\;-\;\sqrt3\underline j\right)}{10}\\&=&\frac12\left(\underline i\;-\;\sqrt3\underline j\right)\end{array} \begin{array}{rcl}\text{ v}.\;\;\;\;\overrightarrow{OA}\;\text{දිශාවට විශාලත්වය 8 වන දෛශිකය }&=&\;8\;\times\;\text{ඒකක දෛශිකය}\\&=&\;8\;\times\;\frac12\left(\underline i\;-\;\sqrt3\underline j\right)\\&=&4\;\left(\underline i\;-\;\sqrt3\underline j\right)\end{array}

\text{උදා:}\;P\equiv(\;4\;,\;3\;)\;\text{හා}\;Q\;\equiv\;(\;6\;,\;7\;)\;\text{නම්,}
\begin{array}{l}\text{  i}.\overrightarrow{\;OP}\;,\;\overrightarrow{OQ}\;\text{ලියා දක්වන්න.}\\\text{ ii}.\;\vert\overrightarrow{OP}\vert,\vert\overrightarrow{OQ}\vert\text{ සොයන්න.}\\\text{iii}.\;PQ\;\text{හි මධ්‍ය ලක්ෂයය}\;R\;\text{නම්}\;\overrightarrow{OR}\;\text{සොයන්න.}\\\text{iv.}\;\left|\overrightarrow{OR}\right|\;\text{සොයන්න.}\\\;\text{v}.\;\overrightarrow{OR}\;\text{දිශාවේ ඒකක දෛශිකය හා}\;\overrightarrow{OR}\;\text{දිශාවට විශාලත්වය}\;7\sqrt2\;\text{වන දෛශිකය සොයන්න.}\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{  i}.\;\overrightarrow{OP}\;&=&\;4\underline i\;+\;3\underline j\\\overrightarrow{OQ}\;&=&\;6\underline i\;+\;7\underline j\end{array} \begin{array}{rcl}\text{ ii}.\;\left|\overrightarrow{OP}\right|\;&=&\;\left|4\underline i\;+\;3\underline j\right|\\&=&\;\sqrt{4^2\;+\;3^2}\\&=&\;5\;\text{ඒකක}\\\left|\overrightarrow{OQ}\right|\;&=&\;\left|6\underline i\;+\;7\underline j\right|\\&=&\;\sqrt{6^2\;+\;7^2}\\&=&\;5\;\text{ඒකක}\end{array} \begin{array}{rcl}\text{iii}.\;PQ\;&=&\;PO\;+\;OQ\\&=&\;OQ\;-\;OP\\&=&\;6\underline i\;+\;7\underline j\;-\;\left(4\underline i\;+\;3\underline j\right)\\&=&\;2\underline i\;+\;4\underline j\end{array} \begin{array}{l}\;\;\;\;\;R\;\text{යනු}\;PQ\;\text{හි මධ්‍ය ලක්ෂය බැවින්,}\\\;\;\;\;\;PR\;=\;\frac12PQ\\\;\;\;\;\;PR\;//\;PQ\\\;\;\;\;\;\overrightarrow{PR}\;\text{හා}\;\overrightarrow{PQ}\;\text{හි අභි දිශා සමාන වේ.}\end{array} \begin{array}{rcl}\overrightarrow{PR}\;&=&\;\frac12\overrightarrow{PQ}\\\overrightarrow{PR}\;&=&\;\frac12\left(\;2\underline i+4\underline j\;\right)\\\overrightarrow{PR}\;&=&\;\underline i+2\underline j\\\\\overrightarrow{PR}\;&=&\;\overrightarrow{PO}\;+\;\overrightarrow{OR}\\\overrightarrow{PR}\;&=&\;\overrightarrow{OR}\;-\;\;\overrightarrow{OP}\\\overrightarrow{OR}\;&=&\;\overrightarrow{PR}\;+\;\overrightarrow{OP}\\\overrightarrow{OR}\;&=&\;\left(\;\underline i+2\underline j\;\right)\;+\;\left(\;4\underline i+3\underline j\;\right)\\&=&\;5\underline i+5\underline j\\&=&\;5\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\end{array} \begin{array}{rcl}\text{iv}.\;\left|\overrightarrow{OR}\right|\;&=&\;\left|\;5\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\;\right|\\&=&\;5\left|\;\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\;\right|\\&=&\;5\sqrt{1^2+1^2}\\&=&\;5\sqrt2\;\text{ඒකක}\end{array} \begin{array}{rcl}\text{ v}.\;\overrightarrow{OR}\;\text{දිශාවේ ඒකක දෛශිකය}\;&=&\;\frac{\overrightarrow{OR}\;}{\left|\;\overrightarrow{OR}\;\right|}\\&=&\;\frac{5\left(\;\underline i+\underline j\;\right)}{5\sqrt2}\;\\&=&\;\frac1{\sqrt2}\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\end{array} \begin{array}{rcl}\text{ v}.\;\overrightarrow{OR}\;\text{දිශාවට විශාලත්වය }7\sqrt2\text{ වන දෛශිකය }\;&=&\;7\sqrt2\;\times\;\text{ඒකක දෛශිකය}\\&=&\;7\sqrt2\;\times\;\frac1{\sqrt2}\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\\&=&\;7\left(\;\underline i+\underline j\;\right)\end{array}

02. ත්‍රිමාණ අවකාශයේ පිහිටුම් දෛශික ප්‍රකාශ කිරීම.

• X , Y හා Z යන අක්ෂ 3 එකිනෙකට ලම්බකව සාදා ගත් අක්ෂ පද්ධතිය භාවිතා කරන අතර එම අක්ෂ සෑම විටම වාමාවර්ත භ්‍රමණ පිළිවෙලට පිහිටිය යුතුය.
• මූල ලක්ෂයය අනුබද්ධයෙන් ලක්ෂයයක පිහිටුම් දෛශික ප්‍රකාශ කිරීමට X , Y හා Z අක්ෂ ඔස්සේ වු ඒකක දෛශික දැක්වීමට \underline i\;,\;\underline j\;\text{හා}\;\underline k යන සම්මත අංකනය යොදා ගනී.
• මූල ලක්ෂයය අනුබද්ධයෙන් P ≡ ( x , y , z ) ලක්ෂයයේ පිහිටුම් දෛශිකය පහත පරිදි ප්‍රකාශ කල හැකිය.

\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OA}\;&=&\;x\underline i\\\overrightarrow{OB}\;&=&\;y\underline j\\\overrightarrow{OC}\;&=&\;z\underline k\\\\\overrightarrow{OP}\;&=&\;\overrightarrow{OA}\;+\;\overrightarrow{AP_1}\;\;\;\;\;\;\;\left(\;\overrightarrow{AP_1}=\overrightarrow{OB}\;\right)\\&=&\;x\underline i\;+\;y\underline j\\\overrightarrow{OP}\;&=&\;\overrightarrow{OP_1}\;+\;\overrightarrow{P_1P}\;\;\;\;\;\;\left(\;\overrightarrow{P_1P}=\overrightarrow{OC}\;\right)\\&=&\;x\underline i\;+\;y\underline j\;+\;z\underline k\end{array}

x\underline i\;+\;y\underline j\;+\;z\underline k හි විශාලත්වය

\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{OP}\right|\;&=&\;\overrightarrow{OP}\\&=&\;\sqrt{\left(OP_1\right)^2\;+\;\left(PP_1\right)^2}\\&=&\;\sqrt{\left(OA\right)^2\;+\;\left(AP_1\right)^2+\;\left(PP_1\right)^2}\\\left|\overrightarrow{OP}\right|\;&=&\;\sqrt{x^2\;+\;y^2+\;z^2}\end{array}

x\underline i\;+\;y\underline j\;+\;z\underline k\text{ හි දිශාව}

\begin{array}{rcl}\tan\;\alpha\;&=&\;\frac{PP_1}{OP_1}\\&=&\frac z{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.