02.10.00 - සංකරණ හා සංයෝජන - Advanced Level Science Stream – LearnSteer

සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 12 වැනි ගැටළුවේ (a) කොටසේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ සිද්ධාන්ත වේ.

සංකරණ හා සංයෝජන මුල්වරට භාවිත කළ බවට සාක්ෂි හමුවන්නේ අරාබි ගණිතඥයෙකු හා ලේඛකයෙකු වන Al-Khalil (717–786) විසින් රචිත Book of Cryptographic Messages කෘතියෙනි. ස්වර අක්ෂර රහිතව සහ සහිතව ලිවිය හැකි සියලු අරාබි වචන ලැයිස්තුගත කිරීමට ඔහු විසින් සංකරණ හා සංයෝජන භාවිත කර ඇත.

ගණන් කිරීම පිළිබඳ මූලධර්මය

A සිද්ධිය සිදුවිය හැකි විධි ගණන (ආකාර ගණන) p ද, B සිද්ධිය සිදුවිය හැකි විධි ගණන q ද නම්, A හා B සිද්ධි දෙකම සිදු විය හැකි විධි ගණන pq වේ.
මෙය සිද්ධි දෙකකට වැඩි ගණනකට විස්තීරණය කළ හැකිය.

A සිද්ධිය සිදු විය හැකි විධි ගණන a ද,

B සිද්ධිය සිදු විය හැකි විධි ගණන b ද,

C සිද්ධිය සිදු විය හැකි විධි ගණන c ද, නම්;

එවිට A, B, C සිද්ධි 3 ම සිදු විය හැකි විධි ගණන abc වේ.

උදා :- (1.) පිට්ටනියකට ගේට්ටු 5ක් තිබේ. කෙනෙකුට පිට්ටනියට ඇතුළු වී පිටවීම කළ හැකි විධි ගණන කීයද ? එක් ගේට්ටුවක් වරකට වඩා භාවිතා කළ නොහැකි බව දී ඇති නම් ඇතුළු වී පිටවිය හැකි විධි ගණන කීයද?

\begin{array}{rcl}\text{ගේට්ටු ගණන}&=&5\\\text{පිට්ටනියට ඇතුළු විය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{පිට්ටනියෙන් පිටවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{පිට්ටනියට ඇතුළු වී පිටවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\times5\\&=&25\\\text{පිට්ටනියට ඇතුළු විය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{පිට්ටනියෙන් පිටවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{පිට්ටනියට ඇතුළු වී පිටවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\times4\\&=&20\end{array}

උදා :- (2.) සංඛ්‍යාංක 3ක ධන නිඛිල ගණන කීයද ? ඒවා අතර,

1.ප්‍රභින්න සංඛ්‍යාංක රහිත නිඛිල ගණන කීයද ?

2.ශූන්‍යය රහිත නිඛිල ගණන කීයද ?

3.ඔත්තේ නිඛිල ගණන කීයද ?

4.600ට වැඩි නිඛිල ගණන කීයද ?

5.5 හි ගුණාකාර වන නිඛිල ගණන කීයද ?

සංඛ්‍යාංක – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

ධන නිඛිලය ABC නම්,

1.ප්‍රභින්න සංඛ්‍යාංක සහිත විට,

\begin{array}{rcl}\text{A ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{B ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන }&=&9\\\text{C ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&8\\\text{ප්‍රභින්න සංඛ්‍යාංක සහිත නිඛිල ගණන}&=&9\times9\times8\\&=&648\end{array}

2.ශූන්‍යය රහිත විට,

\begin{array}{rcl}\text{A ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{B ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{C ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{ශූන්‍යය රහිත නිඛිල ගණන}&=&9\times9\times9\\&=&729\end{array}

3.ඔත්තේ නිඛිලයකදී,

\begin{array}{rcl}\text{ A ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{ B ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&10\\\text{C ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&5\\\text{ඔත්තේ නිඛිල ගණන}&=&9\times10\times5\\&=&450\end{array}

4.600ට වැඩි හෝ සම නිඛිලයකදී,

\begin{array}{rcl}\text{A ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&4\\\text{B ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&10\\\text{C ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&10\\\text{600ට වැඩි හෝ සම නිඛිල ගණන}&=&4\times10\times10\\&=&400\\\text{600ට ධන නිඛිල ගණන}&=&400-1\\&=&399\end{array}

5.5 හි ගුණාකාර ව නිඛිලවලදී,

\begin{array}{rcl}\text{A ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&9\\\text{B ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&10\\\text{C ට සංඛ්‍යාංකයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&2\\\text{600ට වැඩි හෝ සම නිඛිල ගණන}&=&9\times10\times2\\&=&180\end{array}

උදා :- (3.) පියෙකුට තම දරුවන් තිදෙනා ඇතුළු කළ හැකි පාසල් 5 කි. පහත සඳහන් එක් එක් අවස්ථාවලදී දරුවන් පාසල් යැවිය හැකි විධි ගණන සොයන්න.

1.විශේෂයක් නොමැති විට

2.කිසිම දරුවන් දෙදෙනෙක් එකම පාසලකට නොයවන විට

3.එක්තරා දරුවෙක් එක්තරා විශේෂ පාසලකට යවන විට

4.එක්තරා දරුවන් දෙදෙනෙක් එකම පාසලකට යාමට අකැමති විට

5.එක්තරා පාසලකට දරුවන් නොයවන විට

1.විශේෂයක් නොමැති විට,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{තෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දරුවන් පාසලට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\times5\times5\\&=&125\end{array}

2.කිසිම දරුවන් දෙදෙනෙක් එකම පාසලකට නොයවන විට,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{තෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&3\\\text{දරුවන් පාසලට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\times4\times3\\&=&60\end{array}

3.එක්තරා දරුවෙක් එක්තරා විශේෂ පාසලකට යැවිය යුතු විට,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&1\\\text{දෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{තෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දරුවන් පාසලට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&1\times5\times5\\&=&25\end{array}

4.එක්තරා දරුවන් දෙදෙනෙක් එකම පාසලකට යාමට අකැමති විට,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{තෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\\\text{දරුවන් පාසලට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&5\times4\times5\\&=&100\end{array}

5.එක්තරා පාසලකට දරුවන් නොයවන විට,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{දෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{තෙවන දරුවා පාසලකට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\\\text{දරැවන් පාසලට යැවිය හැකි විධි ගණන}&=&4\times4\times4\\&=&64\end{array}

ඝණකයක ශිර්ෂ 8 හි කුහුඹුවන් 8 දෙනෙකු සිටී. එක්වරම එක් එක් කූඹියා අහඹු ලෙස යාබද ශීර්ෂයක් වෙත ගමන් කිරීමට පටන් ගනී නම් මේ ආකාරයට කිසිඳු කූඹියෙක් තවත් කූඹියෙක් සමග ගැටෙන්නේ නැතිව ගමන් ගන්නා සම්භාවිතාව හොයන්න පුළුවන් ද?

පිළිතුර පෙන්වන්න

සංකරණ (පිළියෙල කිරීම්)

වස්තු සමූහයක් ඇති විට ඒවායින් කිහිපයක් හෝ සියල්ලම ගෙන සිදු කරනු ලබන පටිපාටිගත පිළියෙල කිරීමකට සංකරණයක් යැයි කියනු ලැබේ.

උදා :- (1.) A, B, C අකුරු තුන සරල රේඛාවක් මත පිළියෙල කළ හැකි එකිනෙකට වෙනස් ආකාර ලියන්න.

ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

සංකරණ ගණන = 6

(2.) A, B, C, D අකුරු සියල්ලම යොදාගෙන සිදු කළ හැකි එකිනෙකට වෙනස් සංකරණ ලියන්න.

ABCD BACD CADB DACB

ABDC BADC CABD DABC

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

සංකරණ ගණන = 24

A, B, C අවස්ථාව සැලකීමේදී,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&3\\\text{දෙවන ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&2\\\text{තෙවන ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&1\\\text{සංකරණ ගණන}&=&3\times2\times1\\&=&6\end{array}

A, B, C, D සඳහා,

\begin{array}{rcl}\text{පළමු ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&4\\\text{දෙවන ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&3\\\text{තෙවන ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&2\\\text{සිව්වන ස්ථානයට අකුරක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&1\\\text{සංකරණ ගණන}&=&4\times3\times2\times1\\&=&24\end{array}

ප්‍රමේය 01 :- එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය n වලින් සියල්ලම ගෙන කළ හැකි එකිනෙකට වෙනස් සංකරණ ගණන n! වේ.

\begin{array}{rcl}\text{පළමු ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n\\\text{දෙවන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n-1\\\text{තෙවන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n-2\\\text{r වන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n–(r\;-1)\\\text{n වන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&1\\\text{සංකරණ ගණන}&=&n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times…\times\left[n-\left(r-1\right)\right]\times…\times1\\&=&n!\end{array}

උදා :- ‘FATHER’ යන වචනයේ අකුරැ සියල්ලම යොදා ගෙන සෑදිය හැකි එනිනෙකට වෙනස් සංකරණ ගණන කීයද?

\begin{array}{rcl}\text{සංකරණ ගණන}&=&6!\\&=&6\times5\times4\times3\times2\times1\\&=&720\end{array}

ප්‍රමේය 02 :- එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍යය n වලින් වරකට r බැගින් ගෙන සෑදිය හැකි එකිනෙකට වෙනස් සංකරණ ගණන ⁿP_r වේ. මෙහි ⁿP_rයනු $\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$ ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

\begin{array}{rcl}\text{පළමු ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n\\\text{දෙවන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n-1\\\text{තෙවන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n-2\\\text{r වන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&n–(r-1)\\\text{n වන ස්ථානයට ද්‍රව්‍යයක් යෙදිය හැකි ආකාර ගණන}&=&1\\\text{සංකරණ ගණන}&=&\frac{n\times\left(n-1\right)\times…\times\left[n-\left(r-1\right)\right]\times…\times1}{\left(n-1\right)!}\\&=&\frac{n!}{(n\;-\;r)!}\\&=&{}^nP_r\end{array}

Note :- එකිනෙකට වෙනස් ද්‍රව්‍ය n ප්‍රමාණයක් ගෙන ඒ සියල්ලම යොදාගෙන පිළියෙල කිරීම් සිදු කරන අවස්ථාව සලකමු. එවිට ඉහත ප්‍රමේයයේ r = n වේ.

\begin{array}{rcl}r&=&n\;\text{විට,}\\{}^nP_n&=&\frac{n!}{\left(n-n\right)!}=\frac{n!}{0!}\\{}^nP_n&=&n!\;\text{වේ.}\\&&\end{array}

Note :- 0! = 1 , 1! = 1

උදා :- (1.) ‘MOTHER’ යන වචනයේ අකුරැ තුන බැගින් ගෙන කළ හැකි එකිනෙකට වෙනස් සංකරණ ගණන කීයද ?

\begin{array}{rcl}\text{සංකරණ ගණන}&=&{}^6P_3=\frac{6!}{3!}\\&=&6\times5\times4\\&=&120\end{array}

උදා :- (2.) අමිල ළඟ එකිනෙකට වෙනස් රසායන විද්‍යාව පොත් 5 ක් ද, සංයුක්ත ගණිතය පොත් 3 ක් ද, භෞතික විද්‍යාව පොත් 2 ක් ද ඇත. ඔහු මෙම පොත්වලින් එක විශයක් සඳහා එක පොත බැගින් තෝරා ගැනීමට අදහස් කරයි. ඔහුට එසේ පොත් තුනක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\text{රසායන විද්‍යාව පොතක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^5P_1\\\text{සංයුක්ත ගණිතය පොතක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^3P_1\\\text{භෞතික විද්‍යාව පොතක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^2P_1\\\text{පොත් තුනක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^5P_1\times{}^3P_1\times{}^2P_1\\&=&\left(\frac{5!}{4!}\right)\times\left(\frac{3!}{2!}\right)\times\left(\frac{2!}{1!}\right)\\&=&5\times3\times2\\&=&30\end{array}

උදා :- (3.) 2, 3, 5, 6, 7, 9 යන ඉලක්කම් අතරින් එකම ඉලක්කම නැවත වරක් නොයෙදෙන සේ ඉලක්කම් තුනක් සහිත සංඛ්‍යා කීයක් සෑදිය හැකිද? ඒවායින්,

1.900ට වැඩි සංඛ්‍යා ගණන කීයද ?

2.පහේ ගුණාකාර ගණන කීයද ?

3.400ට අඩු සංඛ්‍යො ගණන කීයද ?

4.ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා ගණන කීයද ?

5.ඔත්තේ සංඛ්‍යා ගණන කීයද ?

\begin{array}{rcl}\text{ඉලක්කම් තුනක් යොදාගෙන සෑදිය හැකි සංඛ්‍යා ගණන}&=&{}^6P_3=\frac{6!}{3!}\\&=&6\times5\times4\\&=&120\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{1.900ට වැඩි සංඛ්‍යා ගණන}&=&{}^5P_2\\&=&\frac{5!}{3!}=5\times4\\&=&20\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{2.5 ගුණාකාර ගණන}&=&{}^5P_2\\&=&\frac{5!}{3!}=5\times4\\&=&20\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{3.400ට අඩු සංඛ්‍යා ගණන}&=&2\times{}^5P_2\\&=&2\times\left(\frac{5!}{3!}\right)=2\times\left(5\times4\right)\\&=&40\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{4.ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා ගණන}&=&2\times{}^5P_2\\&=&2\times\left(\frac{5!}{3!}\right)=2\times\left(5\times4\right)\\&=&40\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{5.ඔත්තේ සංඛ්‍යා ගණන}&=&4\times{}^5P_2\\&=&4\times\left(\frac{5!}{3!}\right)=4\times\left(5\times4\right)\\&=&80\end{array}

සජාතීය ද්‍රව්‍ය ඇති විට සංකරණ සෙවීම

අවයව n ප්‍රමාණයක එක සමාන අවයව k₁ප්‍රමාණයක් ද, තවත් එක සමාන අවයව k₂ප්‍රමාණයක් ද ඇති විට ඒ සියල්ලම යොදා ගෙන සිදු කළ හැකි පිළියෙල කිරීම් ගණන $\frac{n!}{k_1!\times k_2!}$ වේ.

උදා :- (1.) ‘COOL’ යන වචනයේ අකුරු සියල්ලම ගෙන ඇදිය හැකි වෙනස් වචන ගණන කීයද?

\begin{array}{rcl}\text{ අවයව ගණන}&=&4\\\text{වෙනස් වචන ගණන}&=&\frac{4!}{2!}=4\times3\\&=&12\end{array}

උදා :- (2.) ‘KANDALAMA’ යන වචනයේ අකුරු සියල්ලම ගෙන,

සෑදිය හැකි මුළු වචන ගණන කීයද ?
K මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන කීයද ?
K ට පසු A සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන කීයද ?
KA මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන කීයද ?
K හා L එකට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන කීයද ?

1. $\begin{array}{rcl}\text{අවයව ගණන}&=&9\\\text{A අකුරු ගණන}&=&4\\\text{සෑදිය හැකි මුළු වචන ගණන}&=&\frac{9!}{4!}=9\times8\times7\times6\times5\\&=&15,120\end{array}$

2. $\begin{array}{rcl}\text{අවයව ගණන}&=&8\\\text{K මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන}&=&\frac{8!}{4!}=8\times7\times6\times5\\&=&1680\end{array}$

3. $\begin{array}{rcl}\text{K ට පසු A මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන}&=&\frac{8!}{3!}=8\times7\times6\times5\times4\\&=&6720\end{array}$

4. $\begin{array}{rcl}\text{අවයව ගණන}&=&7\\\text{A අකුරු ගණන }&=&3\\\text{KA මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන}&=&\frac{7!}{3!}\\&=&7\times6\times5\times4\\&=&840\end{array}$

5. $\begin{array}{rcl}\text{K හා L පිළියෙල කළ හැකි ආකාර ගණන}&=&2!\\\text{අවයව ගණන}&=&8\\\text{KA මුලට සිටින සේ සෑදිය හැකි වචන ගණන}&=&\left(\frac{8!}{4!}\right)\times2!\\&=&(8\times7\times6\times5)\times2\\&=&3360\end{array}$

උදා :- (3.) 5, 5, 3, 2, 1, 1 යන ඉලක්කම් සියල්ලම යොදා ගෙන සෑදිය හැකි වෙනස් සංකරණ ගණන කීයද ?

\begin{array}{rcl}\text{අවයව ගණන}&=&6\\\text{5 ඉලක්කම් ගණන}&=&2\\\text{1 ඉලක්කම් ගණන}&=&2\\\text{සංකරණ ගණන}&=&\frac{6!}{\left(2!\times2!\right)}=6\times5\times3\times2\\&=&180\end{array}

රූබික් කැටය නිර්මාණය ලද්දේ 1974 දී අර්නි රූබික් විසිනි. කැටයේ මුහුණතක සිදුවන සෑම හැරවීමක්ම කැටයේ මතුපිට ඇති වර්ණවලින් නිර්මාණය වුණු සංකරණයකි.

සංයෝජන (තෝරා ගැනීම්)

කුලකයක ඇති අවයව සියල්ලම හෝ කිහිපයක් යොදාගෙන ඒවායේ ස්ථානීය පිහිටීම නොසලකා සෑදිය හැකි එකිනෙකට වෙනස් කාණ්ඩවලට ‘සංයෝජන’ යැයි කියනු ලැබේ.

ප්‍රමේය 03 :- එකිනෙකට වෙනස් වස්තු n ගණනක් අතරින් r ගණනක් තෝරා ගත හැකි වෙනස් ආකාර ගණන ⁿC_r වේ.

${}^nC_r=\frac{n!}{\left\{\left(n-r\right)!\times r!\right\}}\;;\;n,r\in\mathbb{Z}^+\;,\;n\geq r$

ⁿC_r අංකනය

මෙහි, n! = n x (n-1) x (n-2) x ….. x 3 x 2 x 1

Note:

\begin{array}{l}(1)\;{}^nC_0=\frac{n!}{\left\{\left(n-0\right)!\times0!\right\}}=\frac{n!}{n!}=1\\\\(2)\;{}^nC_n=\frac{n!}{\left\{\left(n-n\right)!\times n!\right\}}=\frac{n!}{n!\times0!}=1\\\\(3)\;{}^nC_1=\frac{n!}{\left\{\left(n-1\right)!\times1!\right\}}=n\\\\(4)\;{}^nC_{n-r}={}^nC_r\\\\{}^nC_{n-r}=\frac{n!}{\left\{\left(n-n+r\right)!\times(n-r)!\right\}}=\frac{n!}{\left\{r!\times(n-r)!\right\}}={}^nC_r\end{array}

ප්‍රමේය 04 :- වස්තු n ප්‍රමාණයක් අතරින් r ප්‍රමාණයක් ද, වෙනස් වස්තු N ප්‍රමාණයක් අතරින් R ප්‍රමාණයක් ද තෝරාගත හැකි වෙනස් ආකාර ගණන ⁿC_r x ^NC_R වේ.

උදා :- (1.) A, B, C, D අකුරු අතරින්

අකුරු 1 ක්
අකුරු 2 ක්
අකුරු 3 ක්
අකුරු 4 ක් තෝරා ගත හැකි වෙනස් ආකාර ගණන සොයන්න.

අකුරු ගණන	ආකාරය	ආකාර ගණන
0	–	1 = ⁴C₀
1	A, B, C, D	4 = ⁴C₁
2	AB, AC, AD, BC, BD, CD	6 = ⁴C₂
3	ABC, ABD, BCD, ACD	4 = ⁴C₃
4	ABCD	1 = ⁴C₄

උදා :- (2.) පන්තියක ළමුන් 9 ක් සිටියි. විවාද කණ්ඩායමක් සඳහා ළමුන් 4ක් තෝරා ගැනීමට අවශ්‍යව ඇත.

විශේෂයක් නොමැති විට,
පන්ති නායකයා කණ්ඩායමේ සිටිය යුතු විට,
එක් ළමයෙක් කණ්ඩායමට බැඳීමට අකැමති විට,
එක්තරා ළමුන් දෙදෙනෙක් එකවිට කණ්ඩායමේ සිටීම ප්‍රතික්ෂේප කරන විට

සෑදිය හැකි වෙනස් කණ්ඩායම් ගණන සොයන්න.

1.විශේෂයක් නොමැති විට,

\begin{array}{rcl}\text{සෑදිය හැකි කණ්ඩායම් ගණන}&=&{}^9C_4=\frac{9!}{\left\{4!\times\left(9-4\right)!\right\}}\\&=&\frac{9!}{\left\{4!\times5!\right\}}\\&=&126\end{array}

2.පන්ති නායකයා සිටිය යුතු විට,

\begin{array}{rcl}\text{සෑදිය හැකි කණ්ඩායම් ගණන}&=&{}^8C_3=\frac{8!}{\left\{3!\times\left(8-3\right)!\right\}}\\&=&\frac{8!}{\left\{3!\times5!\right\}}\\&=&56\end{array}

3.එක් ළමයෙක් කණ්ඩායමට බැඳීමට අකැමති විට,

\begin{array}{rcl}\text{සෑදිය හැකි කණ්ඩායම් ගණන}&=&{}^8C_4=\frac{8!}{\left\{4!\times\left(8-4\right)!\right\}}\\&=&\frac{8!}{\left\{4!\times4!\right\}}\\&=&70\end{array}

4.ළමුන් දෙදෙනෙක් එකට සිටීමට අකැමති විට,

\begin{array}{rcl}\text{දෙදෙනාම නොමැති කණ්ඩායම ගණන}&=&{}^7C_4\\\text{දෙනොගෙන් එක් අයෙක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^2C_1\\\text{ඉතිරි තිදෙනා තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}&=&{}^7C_3\\\text{එක් අයෙක් පමණක් සිටින කණ්ඩායම් ගණන}&=&{}^2C_1{}^7C_3\\\text{සෑදිය හැකි කණ්ඩායම් ගණන}&=&\text{දෙදෙනාම නොසිටින කණ්ඩායම්}+\text{එක් අයෙක් පමණක් සිටින කණ්ඩායම්}\\&=&{}^7C_4+{}^2C_1{}^7C_3\\&=&\frac{7!}{\left(4!\times3!\right)}+\left[\left\{\frac{2!}{\left(1!\times1!\right)}\right\}\times\left\{\frac{7!}{\left(4!\times3!\right)}\right\}\right]\\&=&105\end{array}

උදා :- (3.) පන්තියක පිරිමි ළමුන් 8 ක් සහ ගැහැණු ළමුන් 6 ක් සිටිති. තරඟයක් සඳහා ළමුන් 5 ක් තෝරා ගත යුතුව ඇත. පහත අවස්ථාවලදී ළමුන් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන සොයන්න.

විශේෂයක් නොමැති විට
ගැහැණු ළමයි 3 ක් හා පිරිමි ළමයි 2ක් ඇතුළත්ව
වැඩි තරමින් පිරිමි ළමයි 3 ක් ඇතුළත්ව
අඩුම තරමින් ගැහැණු ළමුන් 3 ක් ඇතුළත්ව

\begin{array}{rcl}\text{1.ළමුන් 5 ක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන}={}^{14}C_5=\frac{14!}{\left(9!\times5!\right)}\\=2002\end{array}

\begin{array}{l}2.\text{ගැහැණු ළමයි 3 ක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන =  }{}^6C_3\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{පිරිමි ළමයි 2 ක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන =  }{}^8C_2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ළමුන් 5 ක් තෝරා ගත හැකි ආකාර ගණන =  }{}^6C_3\;\mathrm x\;{}^8C_2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\left\{\frac{6!}{3!\;\mathrm x\;3!}\right\}\left\{\frac{8!}{2!\;\mathrm x\;6!}\right\}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;20\;\mathrm x\;28\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\;560\end{array}

3.

පිරිමි ළමුන් (8 න්)	ගැහැණු ළමුන් (6 න්)	ආකාර ගණන
3	2	⁸C₃ x ⁶C₂ = 840
2	3	⁸C₂ x ⁶C₃ = 560
1	4	⁸C₁ x ⁶C₄ = 120
0	5	⁸C₀ x ⁶C₅ = 6

\begin{array}{rcl}\text{මුළු කණ්ඩායම් ගණන}&=&840+560+120+6\\&=&1526\end{array}

4.

පිරිමි ළමුන් (8 න්)	ගැහැණු ළමුන් (6 න්)	ආකාර ගණන
2	3	⁸C₂ x ⁶C₃ = 560
1	4	⁸C₁ x ⁶C₄ = 120
0	5	⁸C₀ x ⁶C₅ = 6