සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳව තවදුරටත් අධ්යනය කිරීමේදී ගණිතඥයින්ට මතු වූ තවත් ගැටළුවක් තමයි ඒවා ජ්යාමිතිකව නිරූපණය කිරීම. සංඛ්යා රේඛාවේ හෝ xy තලයේ සංකීර්ණ සංඛ්යා නිරූපණය කළ හැකි වුනේ නෑ. මෙම ගැටළුවට විසඳුමක් ලෙස 19 වන සියවසේදී Jean Robert Argand නමැති ස්විස් ජාතික ගණිතඥයා ධ්රැවකඛණ්ඩාංක තලයක් නිර්මාණය කිරීමට සමත් වුණා. එතුමාට ගෞරවයක් ලෙස එය ආගන්ඩ් තලය ලෙස නම් කර තිබෙනවා.
- තාත්වික අක්ෂය ඉදිරියෙන් අතාත්වික අක්ෂය වූ ද්විමාන තලයක් ආගන්ඩ් තලයක් නම් වේ.
පහත සංකීර්ණ සංඛ්යා ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කරන්න.
Z1 = 3 + 4i, Z2 = -2 + 2i, Z3 = -1 – 4i, Z4 = 2 – 3i
පහත සංකීර්ණ සංඛ්යා ආගන්ඩ් තලයක ලකුණු කරන්න.
1) Z1 = 3\lbrack\cos\left(\frac{\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{\mathrm\pi}4\right)\rbrack 2) Z2 = 2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\rbrack
ආගන්ඩ් තලයේ ජ්යාමිතික නිර්මාණ
- Z ඇසුරින් \overline Z නිර්මාණය
- Z ඇසුරින් -Z නිර්මාණය
සංකීර්ණ සංඛ්යාවක ධ්රැවක නිරූපණය
- Z = r\lbrack\cos\left(\theta\right)\;+\;i\sin\left(\theta\right)\rbrack යනු සංකීර්ණ සංඛ්යාවක ධ්රැවක නිරූපණය නම් වේ.
- r → Z සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ මාපාංකය වේ. (\left|Z\right|\;=\;r)
- θ→ Z සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ විස්ථාරය වේ. (arg(Z) = \theta )
1.Z = 3\lbrack\cos\left(\frac{\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{\mathrm\pi}6\right)\rbrack
\left|Z\right| = 3 , arg(Z) = \frac\pi6
2.Z1 = 5\lbrack\cos\left(\frac{7\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{7\mathrm\pi}6\right)\rbrack
\left|Z\right| = 5 , arg(Z) =\frac{7\pi}6
3.Z = r\lbrack\cos\left(\theta\right)\;+\;i\sin\left(\theta\right)\rbrack
\left|Z\right|\;=\;r , arg(Z) = \theta
විස්තාරයේ ප්රධාන පරාසය
-\pi<\theta<\pi
-180^\circ<\theta<180^\circ
කාටිසීය නිරූපණය ධ්රැවක නිරූපනයක් බවට පත් කිරීම
1.Z1 = 1 + i , → Z1 = \sqrt{1^{2\;}+\;1^2}(\frac1{\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}}+\frac{i1}{\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}})
\begin{array}{rcl}\left|Z\right|&=&\sqrt{1^{2\;}+\;1^2}=\sqrt2\\Z_1&=&\sqrt2\lbrack\cos\left(\frac\pi4\right)+i\sin\left(\frac\pi4\right)\rbrack\end{array}2.Z2 = -\sqrt3\;+\;i\;\rightarrow Z_{2\;}=(\sqrt{\sqrt3^2+1^2})(\frac{-\sqrt3}{\sqrt{\sqrt3^2+1^2}}+\;\frac{1i}{\sqrt{\sqrt3^2+1^2}})
Z2 = 2\lbrack-\frac{\sqrt3}2+\frac12i\rbrack
Z2 = 2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}6\right)\rbrack
3.Z3 = -1-i → Z3 = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\lbrack\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}-\frac i{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}}\rbrack
Z3 = \sqrt2\lbrack\frac{-1}{\sqrt2}+\frac{-1i}{\sqrt2}\rbrack
Z3 = \sqrt2\lbrack\cos\left(\pi+\frac\pi4\right)\;+\;i\sin\left(\pi+\frac\pi4\right)\rbrack
Z3 = \sqrt2\lbrack\cos\left(\frac{5\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{5\mathrm\pi}4\right)\rbrack
Z3 = \sqrt2\lbrack\cos\left(\frac{-3\mathrm\pi}4\right)\;+\;i\sin\left(\frac{-3\mathrm\pi}4\right)\rbrack
Arg Z3 = (\frac{-3\pi}4)
4.Z4 = 1 – \sqrt3i\;\left|Z_4\right|=\sqrt{1^2+\left(-\sqrt3\right)^2}=2
Z4 = 2\lbrack\frac12-\frac{\sqrt3i}2\rbrack
\begin{array}{rcl}Z_4&=&2\left[\cos\left(-\frac\pi6\right)-\sin\left(-\frac\pi6\right)\right]\end{array}Z1 හා Z2 සංකීර්ණ සංඛ්යා යා කරන රේඛාවට m ට l අනුපාතයෙන් අභ්යන්තරව බෙදෙන ලක්ෂ්ය සෙවීම
Z1 = x1 + iy1 Z2 = x2 + iy2 \overline Z=\overline x+i\overline y
\begin{array}{rcl}&&\frac{PR}{RQ}\end{array} = \frac\mu\lambda
QRT හා QRS \triangle සමරූපි වේ
\begin{array}{rcl}\frac{PS}{RT}&=&\frac{PR}{RQ}\end{array}වේ
\frac{\overline x-x_1}{x_2-\overline x}=\frac\mu\lambda\\ \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\lambda(\overline x-x_1)&=&\mu(x_2-\overline x)\\x(\lambda+\mu)&=&\mu x_2+\lambda x_1\\x&=&\frac{(\mu x_2+\lambda x_1)}{(\lambda+\mu)}\end{array}\end{array}එලෙසම,\begin{array}{rcl}\frac{RS}{QT}&=&\frac{PR}{RQ}\end{array} අනුව ,
\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm y}\;&=&\frac{\;\left({\mathrm{μy}}_2\;+\;{\mathrm{λy}}_1\right)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\\\overline{\mathrm Z}&=&\;\left(\frac{{\mathrm{μx}}_2\;+\;{\mathrm{λx}}_1}{\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu}\right)\;+\;\mathrm i\left(\frac{{\mathrm{μy}}_2\;+\;{\mathrm{λy}}_1}{\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu}\right)\;\\\overline{\mathrm Z}&=&\frac{\mathrm\lambda({\mathrm x}_1+{\mathrm{iy}}_1)\;+\;\mathrm\mu({\mathrm x}_2+{\mathrm{iy}}_2)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\end{array}\\\begin{array}{rcl}\overline{\mathrm Z}\;&=&\frac{\;\left({\mathrm{μZ}}_1\;+\;{\mathrm{λZ}}_2\right)}{\left(\mathrm\lambda\;+\;\mathrm\mu\right)}\\&&\end{array}
නිවැරදිව වේලාව පෙන්වන ඔරලෝසුවක, මිනිත්තු කටුව හරියටම මිනිත්තු සලකුණකට එක එල්ලේද, පැය කටුව එයට මිනිත්තු දෙකක් ඈතින්ද පිහිටයි. මෙම අවස්ථාවට අනුරූප වේලාවන් මොනවාද?
Z ඇසුරින් \begin{array}{l}\mathrm{λZ}\\\end{array} නිරූපණය වන ලක්ෂය නිර්මාණය \begin{array}{l}\left(\mathrm\lambda\in\mathrm R\right)\\\end{array}
\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\;2\left[\cos\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)\right]\;\Rightarrow\;2\mathrm Z\;=\;4\left[\cos\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm\pi}3\right)\right]\\\end{array}ඉහත ප්රතිඵලය සාධනය කිරීම
\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\mathrm x\;+\;\mathrm{iy}\end{array}\\\mathrm Z'\;=\;\mathrm x'\;+\;\mathrm{iy}'\\\mathrm x,\mathrm y\;\in\;\mathrm R\;\mathrm x',\mathrm y'\;\in\;\mathrm R\begin{array}{l}{\mathrm Z'\;=\;\mathrm{λZ}}\\\\\end{array}
Z1 හා Z2 ඇසුරින් Z1+Z2 නිරූපණය වන ලක්ෂය ලබා ගැනීම
Z1 = x1 + iy1 Z2 = x2 + iy2 Z’ = x’ + iy’
නිර්මාණය
- OP_1 හා OP_2 යා කරන්න.
- P_{1,}P_2 ගේ මධ්ය ලක්ෂය N ලෙස ලකුණු කරන්න. ON යා කරන්න.
- ON = NP වන පරිදි ON රේඛාව P තෙක් දික්කරන්න .
විකර්ණ සම්ඡේදනය වීමේ ගුණය අනුව OP_1PP_2 සමාන්තරාශ්රයකි.
\begin{array}{l}\mathrm{Re}(P)\;=\frac{\mathrm x'\;+\;0}2\;=\;\frac{{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2}2\\\therefore{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2\;=\;\mathrm x'\\\mathrm{Re}(P)\;=\;\frac{\mathrm y'\;+\;0}2\;=\;\frac{{\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2}2\\\therefore{\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2\;=\;\mathrm y'\\{\therefore\mathrm Z'\;=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm x}_2\;+\;\mathrm i({\mathrm y}_1\;+\;{\mathrm y}_2})\\\mathrm Z'\;=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm{iy}}_2\;+\;{\mathrm x}_2\;+\;{\mathrm{iy}}_2\end{array}
Z’=Z1+Z2
Z1 හා Z2 ඇසුරින් Z1 – Z2 නිරූපණය වන ලක්ෂය ලබා ගැනීම
Z1 = x1 + iy1 Z2 = x2 + iy2 Z’ = x’ + iy’
නිර්මාණය
- P_1P_2 යා කරන්න.
- P_1P_2 ට සමාන හා සමාන්තර රේඛාවක් O හි සිට තාත්වික අක්ෂයෙන් ඉහලට අඳින්න. (P_1P_2 = OP හා P_1P_2 // OP)
සම්මුඛ පාද සමාන හා සමාන්තර වීම අනුව OPP_1P_2 සමාන්තරාශ්රයකි.
\begin{array}{l}\mathrm{Re}(\mathrm P)\;=\;\frac{\mathrm x'\;+\;{\mathrm x}_2}2\;=\;\frac{x_1\;+\;0}2\\\mathrm x'\;=\;{\mathrm x}_1\;-\;{\mathrm x}_2\\\mathrm{Im}(P)\;=\;\frac{\mathrm y'\;+\;{\mathrm y}_2}2\;=\;\frac{{\mathrm y}_2\;+\;0}2\\\;\mathrm y'\;=\;{\mathrm y}_1\;-\;{\mathrm y}_2\\\begin{array}{l}\therefore P\;=\;\mathrm Z'\;=\;\mathrm x'\;+\;{\mathrm{iy}}_1\\=\;{\mathrm x}_1\;-\;{\mathrm x}_2\;+\;\mathrm i({\mathrm y}_1\;-\;{\mathrm y}_2)\\=\;{\mathrm x}_1\;+\;{\mathrm{iy}}_1\;-\;({\mathrm x}_2\;+\;{\mathrm{iy}}_2)\;\end{array}\end{array}
Z’=Z1-Z2
පථ
- නිශ්චිත නියමයකට අනුව ආගන් තලයේ විචල්ය සංකීර්ණ සංඛ්යාවක ගමන් මාර්ගය පථයක් ලෙස හැඳින්වේ.
- මූලිකව ප්රධාන අවස්ථා 2 ක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.
1.මාපාංකය ආශ්රිත පථ
2.විස්තාරය ආශ්රිත පථ
” Pure Mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.”
-Albert Einstein-