02.12.05 – විස්ථාරය ආශ්‍රිත පථ

1.arg (z) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array} වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

• මෙය arg (z-(0+0i)) = \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array} ලෙස සකසා ගන්න.

• (0,0) ලක්ෂයෙන් ආරම්භ කර තාත්වික අක්ෂය සමග වාමාවර්තව \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array} කෝණයක් සාදන පරිදි z හි පථය පහත පරිදි නිර්මාණය කරයි.

2.arg (z) =\begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array} වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

• මෙය arg (z-(0+0i)) =\begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array}ලෙස සකසා ගන්න.
• (0,0) ලක්ෂයෙන් ආරම්භ කර තාත්වික අක්ෂය සමග වාමාවර්තව \begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array} කෝණයක් සාදන පරිදි z හි පථය පහත පරිදි නිර්මාණය කරයි.

3.arg (z) = –\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array}වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

• මෙය arg (z-(0+0i)) =-\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array} ලෙස සකසා ගන්න.

• ඍණ කෝණයක් නිසා තාත්වික අක්ෂය සමග \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array} ක කෝණයක් දක්ෂිණාවර්තව මනී.

4.arg (z-3) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}4\\\end{array} වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

• මෙය arg (z-(3+0i))=\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}4\\\end{array} ලෙස සකසා ගන්න.

• (3,0) ලක්ෂයෙන් ආරම්භ කර තාත්වික අක්ෂය සමග වාමාවර්තව \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}4\\\end{array} කෝණයක් සාදන පරිදි z හි පථය පහත පරිදි නිර්මාණය කරයි.

5.arg (z+2) =\begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array} වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

• මෙය arg (z-(-2+0i))=\begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array} ලෙස සකසා ගන්න.

• (-2,0) ලක්ෂයෙන් ආරම්භ කර තාත්වික අක්ෂය සමග වාමාවර්තව \begin{array}{l}\frac{2\mathrm\pi}3\\\end{array} කෝණයක් සාදන පරිදි z හි පථය පහත පරිදි නිර්මාණය කරයි.

6.arg (z+4-3i) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array} වන පරිදි z හි පථය සෙවීම.

•    මෙය arg (z-(-4+3i))=\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array} ලෙස සකසා ගන්න.

•   (-4,3) ලක්ෂයෙන් ආරම්භ කර තාත්වික අක්ෂය සමග වාමාවර්තව \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array}  කෝණයක් සාදන පරිදි z හි පථය පහත පරිදි නිර්මාණය කරයි.

“Numbers constitute the only universal language.”
-Nathaneal West

විස්ථාරය ආශ්‍රිත පථයන්හි අසමානතා

 \begin{array}{l}0\leq\arg(\mathrm 1.Z)\leq\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array}  z අඩංගු ප්‍රදේශය පාට කරන්න.

•       arg(z) =0                      arg(z) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array} ලෙස ගන්න.

•      දැන් z හි පථයන් වෙන වෙනම එකම ආගන්ඩ් තලයක් මත අඳින්න.

•      අවස්ථා දෙකේදීම සමානතාවය සලකා ඇති නිසා z හි පථය තනි ඉරකින් අඳී.

•           \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array}  ට වඩා අඩු හා 0 ට වඩා වැඩි නිසා ඒ අතර ප්‍රදේශය පාට කරන්න.   

\begin{array}{l}\frac{\mathrm 2.\pi}6\;<\;\arg(\mathrm Z)\;<\;\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array}

• arg(z) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array}                     arg(z) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array} ලෙස ගන්න.

• දැන් z හි පථයන් වෙන වෙනම එකම ආගන්ඩ් තලයක් මත අඳින්න.

• අවස්ථා දෙකේදීම සමානතාවය සලකා නැති නිසා z හි පථය කඩ ඉරකින් අඳී.

•  \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}3\\\end{array}  ට වඩා අඩු හා \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}6\\\end{array}  ට වඩා වැඩි නිසා ඒ අතර ප්‍රදේශය පාට කරන්න.

\begin{array}{l}3.0\;<\;\arg(\mathrm Z\;-\;2\;+\;3\mathrm i)\;<\;\frac{\mathrm\pi}2\\\end{array}

•    arg(z-2+3i) =0
  arg(z-2+3i) =\begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}2\\\end{array}  ලෙස ගන්න.

• දැන් z හි පථයන් වෙන වෙනම එකම ආගන්ඩ් තලයක් මත අඳින්න.

• පළමු අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා නැති නිසා කඩ ඉරකින්ද දෙවන අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා ඇති නිසා තනි ඉරකින්ද z හි පථය ඇඳීම සිදු කරයි.

•  \begin{array}{l}\frac{\mathrm\pi}2\\\end{array} ට වඩා අඩු හා 0 ට වඩා වැඩි නිසා ඒ අතර ප්‍රදේශය පාට කරන්න.

\begin{array}{l}4.2\;\leq\mathrm{Im}(\mathrm Z)<4\\\end{array}

• Im(z) =2                           Im(z)=4 ලෙස ගන්න.

• Im(z) =2(මෙය ඛණ්ඩාංක තලයකදී y=2 රේඛාවට අනුරූප වේ.)

Im(z) =4(මෙය ඛණ්ඩාංක තලයකදී y=4 රේඛාවට අනුරූප වේ.)

• දෙවන අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා නැති නිසා කඩ ඉරකින්ද පළමු අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා ඇති නිසා තනි ඉරකින්ද z හි පථය ඇඳීම සිදු කරයි.

\begin{array}{l}5.-3<\mathrm{Re}(\mathrm Z)\leq2\\\end{array}

• Re(z) =-3                            Re(z) =2 ලෙස ගන්න.

• Re(z) =-3 (මෙය ඛණ්ඩාංක තලයකදී x=-3 රේඛාවට අනුරූප වේ.)

• Re(z) =2  (මෙය ඛණ්ඩාංක තලයකදී x=2 රේඛාවට අනුරූප වේ.)

• පළමු අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා නැති නිසා කඩ ඉරකින්ද දෙවන අවස්ථාවේදී සමානතාවය සලකා ඇති නිසා තනි ඉරකින්ද z හි පථය ඇඳීම සිදු කරයි.

අභ්‍යාස  –  

 1) z⁶ =1 සමීකරණයෙහි මූල x + iy ආකාරයෙන් ලබා ගන්න. මෙහි  x,y∈ℝසහ i² = -1 වේ.z₁  හා z₂   යනු z⁶ = 1 සමීකරණයෙහි ප්‍රභින්න මූල දෙකක් නම්,|z₁ – z₂| සදහා ගත හැකි අගය 1,2 සහ  බව ආගන්ඩ් සටහන භාවිතයෙන් පෙන්වන්න.

2) z  යනු |z| =\sqrt3  වන පරිදි වූ ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන විට, ආගන්ඩ් සටහන භාවිතයෙන් ,

\;\;2-\sqrt3\;\leq\;\vert z+2\vert\leq2+\sqrt3\;\;\mathrm{බව}\;\mathrm ද\;-\frac{\mathrm\pi}3\leq arg(z+2)\;\;\leq\frac\pi3

බව ද  බව ද පෙන්වන්න.

1)

\begin{array}{l}\;z^6\;\;=\;1\;\\\Longrightarrow\;z^6\;–\;1\;=\;0\\\Longrightarrow\;(z^3\;–\;1)(z^3\;+\;1)\;=\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\\\Longrightarrow(z\;-1)(\;z\;+\;1)(z^2\;+\;z\;+1)(\;z^2\;–\;z\;+1)\;=\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)\\\Longrightarrow z\;-\;1\;=\;0\;\;\mathrm{හෝ}\;\;z\;+\;1\;=\;0\;\;\mathrm{හෝ}\;\;z^2\;+\;z\;+1\;=\;0\;\;\mathrm{හෝ}\;\;z^2\;–\;z\;+1\;=0\\\Longrightarrow z\;=\;\pm1\;\;,\;\;z\;=-\frac12\pm\;\;i\frac{\;\sqrt3\;}2\;,\;\;z\;=\;\frac12\;\;\pm\;\;i\;\frac{\sqrt3}2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(15)\end{array}

මේ ආකාරයට z⁶ = 1 හි මූල හය ලැබේ.

මෙම එක් එක් මූලයෙහි මාපාංකය 1 වන අතර විස්ථාරය\frac{\mathrm\pi}2  හි ගුණාකාරයක් වේ.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boldsymbol(\mathbf{15}\boldsymbol)

මෙම මූල හය ආගන්ඩ් සටහනක රුපයේ දැක්වෙන පරිදි නිරූපණය කල හැකිය.

OA = OB = OC = OD =  OE = OF = 1 වේ.

මෙම A,B,C,D,E,F ලක්ෂ්‍ය හයම කේන්ද්‍රය O ද, අරය ඒකක 1 ද වන වෘත්තය මත පිහිටයි.   (10)

එවිට |z₁ – z₂| යනු එම ලක්ෂ්‍ය හය අතුරින් කිසියම් ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන රේඛා ඛණ්ඩයේ දිග වේ.

∴ |z₁ – z₂| = ඒකක 1 හෝ ඒකක 2 හෝ ඒකක \sqrt3  වේ.   \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boldsymbol(\mathbf{10}\boldsymbol)          

 (AB = 1, AD = 2, AC = \sqrt3 බැවින්)                               

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[75]

2)

|z| =\sqrt3 ⇒ OP = 3 (නියත) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boldsymbol(\mathbf{5}\boldsymbol)

∴P ලක්ෂ්‍යය , කේන්ද්‍රය (0,0) ද අරය \sqrt3 ද වන  වෘත්තය මත පිහිටයි.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\boldsymbol(\mathbf{5}\boldsymbol) 

\begin{array}{l}\vert\mathrm z+2\vert=\vert\mathrm z-(-2)\vert=\mathrm{PQ}\\\mathrm P\;\;\mathrm{විචලනය}\;\mathrm{වන}\;\mathrm{විට},\\\mathrm{QA}'\leq\mathrm{QP}\leq\mathrm{QA}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\\2-\sqrt3\leq\vert\mathrm z+2\vert\leq2+\sqrt3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\\\mathrm{Arg}(\mathrm z+2)=\mathrm{Arg}(\mathrm z–(-2))\;=\mathrm\theta\\-\mathrm\beta\leq\mathrm\theta\leq\mathrm\beta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\\\mathrm\beta=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt3}2\right)\;\mathrm{බැවින්}\;\mathrm\beta=\frac{\mathrm\pi}3\\\therefore-\frac{\mathrm\pi}3\leq\mathrm{Arg}(\mathrm z+2)\leq\frac{\mathrm\pi}3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lbrack35\rbrack\end{array}

https://youtu.be/P8bmRcfa9u8

https://youtu.be/-M4S8w2jjW0

https://youtu.be/t-rASTB-6tM

https://youtu.be/UcGKcdW2fLA

https://youtu.be/oA7A38Ln-o0

https://youtu.be/KOQZwa9oeIY