වක්‍රයකින් යට වූ වර්ගඵලය
- y=f\left(x\right) සංතතික ශ්‍රිතය සලකමු.
- මෙම ශ්‍රිතයේ දළ ප්‍රස්තාරය සලකා බලමු.
- PQRS සිහින් තීරුවේ වර්ගඵලය \delta A යැයි ගනිමු.
\delta A\approx y.\delta x
\frac{\delta A}{\delta x}\approx y
\lim_{\delta x\rightarrow0}\frac{\delta A}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow0}y
\frac{\operatorname dA}{\operatorname dx}=y
\int dA=\int y\;dx
- \begin{array}{rcl}y&=&f\left(x\right),x=a,x=b,y=0\end{array} වක්‍ර වලින් ආවෘත පෙදෙසේ වර්ගඵලය \delta A නම්,
\boxed{\begin{array}{rcl}A&=&\int_a^by\operatorname dx\end{array}}
නිශ්චිත අනුකලනය මගින් ලබා ගන්නා වර්ගඵලය අක්ෂයට ඉහළින් පිහිටයි නම් ධන ලෙසත් අක්ෂයට පහළින් පිහිටයි නම් ඍණ ලෙසත් ලැබේ නමුත් යම් ප්‍රාන්තරයක් තුළ වර්ගඵලය ඉදිරිපත් කිරීමේදී එය ධන අගයක් ලෙස ලබා දිය යුතු නිසා අවසන් අගයෙහි විශාලත්වය පිළිතුර ඉදිරිපත් කළ යුතුයි.
මෙම අවස්ථා දෙකටම පොදුවේ ගත් විට,
\begin{array}{rcl}&&\left|A=\int_a^bf\left(x\right)\operatorname dx\right|\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
ගැටළු විසඳීමේදී වර්ගඵලය ධන හා ඍණ වන ප්‍රාන්තර දෙකම එකම ප්‍රස්ථාරයක ලැබිය හැකි නිසා සෑමවිටම අදාළ ප්‍රාන්තරය තුළ වක්‍රය ඇඳීම සිදුකොට ගැටළුව විසඳිය යුතුයි.
උදා: (1.) y=x^2 වක්‍රයෙනුත් x=1,x=2 රේඛාවලිනුත් ආවෘත වූ වර්ගඵලය සොයන්න.
S=\int_1^2y\;dx
S=\int_1^2x^2\;dx
S={\left[\frac{x^3}3\right]^2}_1
S=\frac13\left[2^3-1^3\right]=\frac73\text{ වර්ග ඒකක}
y=x3-6x2+8x වක්‍රයත්, x-අක්ෂයත් අතර වූ පරිමිත වර්ගඵලය සොයන්න.
මෙහිදී පරිමිත වර්ගඵලය ලෙස හඳුන්වන්නේ මැනගත හැකි වර්ගඵලයන්ය. එම නිසා පහත රූපයේ දැක්වෙන a හා b හි වර්ගඵලයන් එකතු කළ යුතුයි. මෙය ධන හා ඍණ වර්ගඵල ලෙස ලැබීම නිසා එකවර සීමාවන්හි අනුකලනය කිරීමෙන් ලබා ගත නොහැකිය. එමනිසා ධන වර්ගඵල හා ඍණ වර්ගඵල වෙන වෙනම ගණනය කර ලබා ගත යුතුයි.
y=x3-6x2+8x
= x(x-2)(x-4)
a\;\text{හි වර්ගඵලය}=\int_0^2(x^3-6x^2+8x)\;dx
a\;\text{හි වර්ගඵලය}={\left[\frac14x^4-2x^3+4x^2\right]^2}_0
a\;\text{හි වර්ගඵලය}=\left[\frac14.2^4-2.2^3+4.2^2\right]\;-\left[0-0+0\right]
a\;\text{හි වර්ගඵලය}=4\;\text{වර්ග ඒකක}
b\;\text{හි වර්ගඵලය}=-\int_2^4(x^3-6x^2+8x)\;dx
b\;\text{හි වර්ගඵලය}=-\;{\left[\frac14x^4-2x^3+4x^2\right]^4}_2
b\;\text{හි වර්ගඵලය}=\;-\;\left\{\left[\frac14.4^4-2.4^3+4.4^2\right]\;-\left[\left[\frac14.2^4-2.2^3+4.2^2\right]\right]\right\}
b\;\text{හි වර්ගඵලය}=4\;\text{වර්ග ඒකක}
අවශ්‍ය මුලු වර්ගඵලය= a හි වර්ගඵලය + b හි වර්ගඵලය
අවශ්‍ය මුලු වර්ගඵලය= 4 + 4 =8 වර්ග ඒකක
වක්‍ර දෙකක් මගින් ආවෘත වර්ගඵලය සෙවීම
අඳුරු කොටසේ වර්ගඵලය = {f(x) , x- අක්ෂයත් අතර වර්ගඵලය} –{ g(x), x- අක්ෂයත් අතර වර්ගඵලය}
\text{අඳුරු කොටසේ වර්ගඵලය }\;=\int_a^bf\left(x\right)\;dx\;-\int_a^bg\left(x\right)\;dx\;
\text{අඳුරු කොටසේ වර්ගඵලය }\;=\int_a^b\left\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\right\}\;dx\;
01. y=x3 වක්‍රයත් y=2x සරල රේඛාවත් අතර වූ පරිමිත වර්ගඵලය සොයන්න.
මෙහිදී පළමුවෙන්ම ප්‍රස්තාර දෙකම එකම අක්ෂ යුගලයක් මත ඇඳ එවායේ ඡේදන ලක්ෂ සලකුණු කළ යුතුයි.
ඡේදන ලක්ෂවලදී,
x3=2x
x(x2-2)=0
x(x-√2)(x+√2)=0
x=0, x=-√2 හෝ x=√2 වේ
එමනිසා ඡේදන ලක්ෂ,
(√2,2√2) හා (-√2,-2√2)
R_1\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;\int_{-\sqrt2}^0\;(x^3-2x)\;dx
R_1\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;{\left[\frac14x^4-x^2\right]^0}_{-\sqrt2}
R_1\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\left[0-0\right]\;-\;\left[\frac14\left(-\sqrt2\right)^4-(-\sqrt2)^2\right]
R_1\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;1\text{ වර්ග ඒකක}
R_{2\;}\text{හි වර්ගඵලය }\;=\int_0^{\left(2\right)^\frac12}(2x-x^3)\;dx
R_2\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;{\left[x^2-\frac14x^4\right]}_0^{-\sqrt2}
R_2\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;\left[\frac14\left(\sqrt2\right)^4-(\sqrt2)^2\right]\;-\;\left[0-0\right]\;
R_2\;\text{හි වර්ගඵලය}\;=\;1\text{ වර්ග ඒකක}
මුළු ක්ෂේත්‍රඵලය=R1 ක්ෂේත්‍රඵලය+R2 ක්ෂේත්‍රඵලය
මුළු ක්ෂේත්‍රඵලය=1+1= 2 වර්ග ඒකක
2.y=6x-x2 හා y=x2-4x යන වක්‍ර දෙකේ සීමාවන පරිමිත වර්ගඵලය සොයන්න.
ප්‍රස්තාරය ඇඳීම සඳහා සමීකරණ සාධක වලට වෙන් කිරීම හා වර්ග පූර්ණය යන දෙකම කළ යුතුයි.
y=6x-x2 y=x2-2x
y =9-(x-3)2 y=(x-1)2-1
y=x(6-x) y=x(x-2)
ඡේදන ලක්ෂවලදී,
6x-x2=x2-2x
2x2 – 8x=0
x(x-4)=0
x=0 හා x=4 ඡේදන ලක්ෂ වලx ඛණ්ඩාංක වේ. එමනිසා ඡේදන ලක්ෂ(0,0) හා (4,8) වේ.
අවශ්‍ය වර්ගඵලය = \int_0^4\left\{(6x-x^2)-(x^2-2x)\right\}\;dx\;
අවශ්‍ය වර්ගඵලය = \int_0^4\left(8x-2x^2\right)\;dx
අවශ්‍ය වර්ගඵලය = {\left[4x^2-\frac23x^3\right]^4}_0
අවශ්‍ය වර්ගඵලය = {\left[4.4^2-\frac23.4^3\right]^4}_0\;-\left[0-0\right]
අවශ්‍ය වර්ගඵලය = \frac{64}3\;\text{වර්ග ඒකක}
පරිභ්‍රමණ පරිමා
y= f(x) වක්‍රය හා y=0 රේඛාව මගින් ආවෘත පෙදෙස \;2\pi\;rad\; කෝණයකින් x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කලවිට ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාව සෙවීම
\delta V\approx\pi y^2.\delta x
\frac{\delta V}{\delta x}\approx\pi y^2
\lim_{\delta x\rightarrow0}\frac{\delta V}{\delta x}=\lim_{\delta x\rightarrow0}\pi y^2
\frac{\operatorname dV}{\operatorname dx}=\pi y^2
\int\;dV\;=\pi\int\;y^{2\;}dx
\boxed{V\;=\pi\int\;y^{2\;}dx}
- y=f(x),x=a,x=b,y=0 වක්‍ර වලින් ආවෘත පෙදෙස අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කලවිට ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාව V0 ,
\boxed{V\;=\pi\int\;y^{2\;}dx}
උදා:-
- වක්‍රයෙනුත් x=1,x=2,y=0 රේඛාවලිනුත් ආවෘත පෙදෙස අක්ෂය වටා 2π කෝණයකින් භ්‍රමණය කලවිට ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාව සොයන්න.
V_o=\;\pi\int_1^2(\sqrt{x^2+1})^2\;\operatorname dx
V_o=\;\pi\int_1^2(x^2+1)\;\operatorname dx
V_o=\;\pi{\left[\frac13x^3+x\right]^2}_1
V_o=\pi\left\{\left[\frac13.2^3+2\right]\;-\;\left[\frac13+1\right]\right\}
V_o=\frac{10\pi}3\text{ පරිමා ඒකක}
2. 0\leq y\leq e^{x\;\;\;}\text{හා}\;0\leq x\leq3\; අතර වූ ප්‍රදේශය x අක්ෂය වටා 2\pi කෝණයකින් භ්‍රමණය කිරීමෙන් ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාව සොයන්න.
මෙයින් අදහස් වන්නේ ද පෙර පරිදිම y=ex වක්‍රයෙනුත් x=0,x=3,y=0 රේඛාවලිනුත් ආවෘත පෙදෙස x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කලවිට ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාවයි. එම පරිමාව V0 නම්,
V_o=\pi\int_0^3(e^x)^2\;dx
V_o=\pi\int_0^3e^{2x}\;dx
V_o=\pi{\left[\frac12e^{2x}\right]^3}_0
V_o=\frac\pi2\left\{\left[e^6\right]-\left[e^0\right]\right\}
V_o=\frac\pi2\left(e^6-1\right)\;\text{පරිමා ඒකක}
