O ලක්ෂ්‍යය අනුබද්ධයෙන් A හා B ලක්ෂ්‍ය වල පිහිටුම් දෛශික a හා b නම් A, B යා කරන රේඛාව C ලක්ෂ්‍යය මගින් m:n = AC:CB අනුපාතයට බෙදයි නම්, O ලක්ෂයයට සාපේක්ෂව C හි පිහිටුම් දෛශිකය අනුපාත ප්‍රමේයය ට අනුව පහත පරිදි ලබා ගත හැක.
{\small\overrightarrow {OA}} \small{\overrightarrow {OA}}
01. අභ්‍යන්තරව බෙදෙන අවස්ථාව.
අනුපාත ප්‍රමේයය ට අනුව,
AC : CB = m : n නම්,
\overrightarrow{OC}\;=\;\frac{m\underline b+n\underline a}{m+n}සාධනය:
\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OC}\;&=&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\\&&\\&=&\underline{a\;}+\frac m{m+n}\overrightarrow{AB}\\&&\\&=&\underline{a\;}+\frac m{m+n}\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)\\&&\\&=&\underline{a\;}+\frac m{m+n}\left(-\underline{a\;}+\underline b\right)\\&&\\&=&\frac{\underline{a\;}\left(m+n\right)-m\underline{a\;}+m\underline b}{m+n}\\&&\\&=&\frac{m\underline b+n\underline{a\;}}{m+n}\\&&\end{array}දෛශික ත්‍රිකෝණ නියමයට අනුව
02.බාහිරව බෙදෙන අවස්ථාව.
අනුපාත ප්‍රමේයය ට අනුව,
AC : CB = m : n නම් ,
\overrightarrow{oc}\;=\;\frac{m\underline b+\left(-n\right)\underline a}{m\;+\left(-n\right)} \overrightarrow{oc}\;=\;\frac{m\underline b-n\underline a}{m\;-n}සාධනය:
දෛශික ත්‍රිකෝණ නියමයට අනුව,
\begin{array}{rcl}\underline b\;&=&\frac{\left(m-n\right)\underline c+n\underline a}{\left(m-n\right)+n}\\&&\\m\underline b\;&=&\;\left(m-n\right)\underline c\;+n\underline a\\&&\\\frac{m\underline b-n\underline a}{m-n}&=&\underline c\\&&\\\overrightarrow{OC}\;&=&\frac{m\underline b-n\underline a}{m-n}\\&&\end{array}
අනුපාත ප්‍රමේයය විභේදන ආකාරය.
\underline a\;=\;\overrightarrow{OA\;}=x_1\;\underline i\;+\;y_1\;\underline j \underline b\;=\;\overrightarrow{OB\;}=x_2\;\underline i\;+\;y_2\;\underline j \underline p\;=\;\overrightarrow{OP\;}=x\;\underline i\;+\;y\;\underline jප්‍රමේයය අනුව,
\begin{array}{rcl}\underline p&=&\frac{\left(n\underline a+m\underline b\right)}{\left(n+m\right)}\\&&\\x\;\underline i+y\;\underline j\;&=&\frac{\left[n\left(x_1\;\underline i+y_2\;\underline j\right)+m\left(x_2\;\underline i+y_2\;\underline j\right)\right]}{\left(n+m\right)}\\&&\\&=&\frac{\left(nx_1+mx_2\right)}{\left(n+m\right)}\;\underline i\;+\frac{\left(ny_1+my_2\right)}{\left(n+m\right)}\;\underline j\;\\&&\\x\;&=&\;\frac{\left(nx_1+mx_2\right)}{\left(n+m\right)}\\&&\\y\;&=&\;\frac{\left(ny_1+my_2\right)}{\left(n+m\right)}\\&&\\p&\equiv&\left[\;\frac{\left(nx_1+mx_2\right)}{\left(n+m\right)},\;\frac{\left(ny_1+my_2\right)}{\left(n+m\right)}\right]\\&&\end{array}වැදගත්
- මෙම ප්‍රමේයය විෂය නිර්දේශයට ඇතුලත් නැත. එබැවින් ප්‍රමේයය ඍජුව භාවිතයෙන් ගැටලු විසදීම නොකල යුතුය.
- මෙම ප්‍රමේයය භාවිත වන ගැටලු විභාගයට නිතරම අසන අතර ඒවා සාධනය කරන්නේ, ප්‍රමේයය සාධනය කරන මූලධර්ම භාවිතයෙනි.
- මෙම ප්‍රමේයය ම ඛණ්ඩාංක ජ්‍යමිතියේදී දී හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පාඩම් වල නැවත ඉගෙනුම ලබයි.
ප්‍රමේයය
a හා b යනු අභිශූන්‍ය නොවන හා සමාන්තර නොවන දෛශික දෙකක් නම් හා αa + βb = 0 ම නම් පමණක්
α = 0 හා β = 0 වේ.
සාධනය:
a හා b දෛශික අසමාන්තර බැවින්,
a ≠ b හා a ≠ (-b)
තවද,
a ≠ 0 හා b ≠ 0 බව දී ඇත.
එවිට,
αa + βb =0 වීමට
αa = 0 හා βb = 0 විය යුතුය.
α = 0 හා β = 0 වේ.
උදා:- a හා b ≠ 0 හා සමාන්තර ද නොවන දෛශික දෙකක් වන අතර (2λ + 3μ – 10) a + (λ – μ – 5) b = 0 ලෙස ප්‍රකාශනයක් දී ඇත. λ හා μ සොයන්න.
(2λ + 3μ – 10) a + (λ – μ – 5) b = 0
a ≠ 0 , b ≠ 0 හා a හා b දෛශික සමාන්තර නොවන නිසා,
(2λ + 3μ – 10) = 0 ————– (1)
(λ – μ – 5) = 0—————– (2)
(2)න්,
λ – μ – 5 = 0
λ = μ + 5 ————–(3)
(3)න් (1)ට ආදේශය,
2(μ + 5) + 3μ – 10 = 0
2μ + 10 + 3μ – 10 = 0
5μ = 0
μ = 0
එවිට (3)න්,
λ = 0 + 5
λ = 5
උදා:- OACB සමාන්තරාස්‍රයකි. AC පාදයේ මධ්‍ය ලක්ෂයය D ද AB විකර්ණය මගින් OD රේඛාව 2:1 අනුපාතයෙන් E හිදී ඡේදනය වේ. \overrightarrow{OA} = a ද \overrightarrow{OB} = b ද නම් \overrightarrow{OD} සොයා \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} /3 බව පෙන්වන්න.
\overrightarrow{OA} = a
\overrightarrow{OB} = b
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}
= a + ½ \overrightarrow{AC} ; (½ AC = AD)
(AC // AD)
= a + ½ \overrightarrow{OB} ; (AC = OB)
(AC // OB)
= a + ½ b
පළමු ක්‍රමය:
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}
= \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}
= b – a
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE}
= \overrightarrow{AO} + 2/3 \overrightarrow{OD} ; (2/3 OD = OE)
(OD // OE)
= 2/3 \overrightarrow{OD} – \overrightarrow{OA}
= 2/3 ( a +½ b ) – a
= 1/3 ( b – a )
\overrightarrow{AE} = 1/3 \overrightarrow{AB}
දෙවන ක්‍රමය: අනුපාතය මගින්,
\overrightarrow{OE}= 2/3 \overrightarrow{OD}
= 2/3 ( a +½ b ) —————-(1)
තවද,
\overrightarrow{OE}= (λ × a + 1 × b )/ (λ + 1) (අභ්‍යන්තර බෙදීම සලකා)
= (λ a + b )/ (λ + 1)————-(2)
(1) = (2)න්,
2/3 ( a +½ b ) = (λ a + b )/ (λ + 1)
2/3 a + 1/3 b = (λ/(λ + 1)) + (1/(λ + 1))
හි සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
1/3 = 1/(λ + 1)
λ + 1 = 3
λ = 2
එමනිසා මෙහි,
AE : EB = 1:2
AE : AB = 1:3
\overrightarrow{OA} =1/3
\overrightarrow{AB} ; (AE = 1/3 AB)
(AE // AB)
- මෙම ගැටලුවෙහි E මගින් OD රේඛාව බෙදෙන අනුපාතය ද ලබා නොදුන් අවස්තාව සලකා බලමු.
\overrightarrow{OD} = a + ½ b
\overrightarrow{OD} = (μ/µ + 1) \overrightarrow{OD}
= (μ/(µ + 1)) ( a + ½ b )—————(1)
\overrightarrow{OE} = ( λ × a + 1 × )/(λ + 1)———–(2)
(1) = (2)න්,
(μ/(µ + 1)) ( a + ½ b ) = (λ a + b )/ (λ + 1)
(μ/µ + 1) + [μ/2(µ + 1)] = (λ/λ + 1) + (1/λ + 1)
a හි සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
(μ/(µ + 1)) = (λ/(λ + 1))
μλ + μ = λμ + λ
λ = μ——–(3)
b හි සංගුණක සමාන කිරීමෙන්,
[μ/2(µ + 1)] = (1/(λ + 1))
μλ + μ = 2(µ + 1)
μλ = μ + 2
(3) ආදේශයෙන්,
λ2 – λ – 2 = 0
(λ – 2) (λ + 1) = 0
(λ – 2) = 0 හෝ (λ + 1) = 0
λ = 2 හෝ λ = -1
මෙහි λ (-) විය නොහැකි බැවින්,
λ = 2
එවිට,
λ = μ = 2 වේ.
- එනම් AE : EB = ED : OE = 1:2 වේ.
\overrightarrow{AE} = 1/3 \overrightarrow{AB}
\overrightarrow{ED} = 1/3 \overrightarrow{OD} වේ.
උදා:- OACB සමාන්තරාශ්‍රයේ විකර්ණ L හිදී ඡේදනය වේ. විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේද වන බව පෙන්වන්න.
\overrightarrow{OA} = හා // \overrightarrow{ඹ්ඡ්}
\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BC} = a
OBC ∆ න්,
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}
= b + c
\overrightarrow{OL}= λ \overrightarrow{OC}
= λ ( b + c )
OAB ∆ න්,
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}
= \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}
= b – a
\overrightarrow{AO} = μ \overrightarrow{AB}
= μ ( b – a )
OAL ∆ න්,
\overrightarrow{OL} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AL}
λ ( b + a ) = a + μ ( b – a )
(λ + μ – 1) a + (λ – μ) b = 0
- a ≠ 0 , b ≠ 0 හා , දෛශික සමාන්තර නොවන නිසා
b සලකා,
λ – μ = 0
λ = μ
a සලකා,
λ + μ – 1 = 0
2λ = 1
λ = μ = ½
- OL = ½ OC හා AL = ½ AB
එමනිසා සමාන්තරාශ්‍රයේ විකර්ණ එකිනෙක සමච්ඡේද වේ.
උදා:- OABC සමාන්තරාශ්‍රයේ AB , BC පාද වල මධ්‍ය ලක්ෂයD , E වේ. OD , OE රේඛා වලින් AC විකර්ණය ත්‍රිච්චේද වන බව පෙන්වන්න.
- O ට සාපේක්ෂව A , C හි පිහිටුම් දෛශික a , b ලෙස ගනිමු.
- \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AC} = b
- \overrightarrow{AD} = 1/2 \overrightarrow{AB}
- \overrightarrow{AD} = 1/2 b
OAD ∆ න්,
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{OD} = a + 1/2 b
\overrightarrow{OL} = λ \overrightarrow{OD}
\overrightarrow{OL} = λ ( a + 1/2 b )
OAC ∆ න්,
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} –\overrightarrow{OA}
\overrightarrow{AC} = b – a
\overrightarrow{OL} = μ \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AL} = μ ( b – a )
OAL ∆ න්,
\overrightarrow{OL} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AL}
λ( a + 1/2 b) = a + μ( b – a )
( λ + μ -1)a + (1/2λ – μ )b=0
a ≠ 0 , b ≠ 0 හා a , b දෛශික සමාන්තර නොවන නිසා
b සලකා,
½ λ – μ = 0
μ = ½ λ
a සලකා,
λ + μ – 1 = 0
λ + ½ λ -1 = 0
3/2 λ = 1
λ = 2/3
μ = 1/3
\overrightarrow{AL}= 1/3 \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AL}= 1/3\overrightarrow{AC} වේ.
- මේ ආකාරයටම OCM ∆ සලකා CM = 1/3 AC බව පෙනවිය හැකිය.
- එවිට AL = LM = MC වේ.
එමනිසා OD , OE රේඛා වලින් AC විකර්ණය ත්‍රිච්චේද වේ.
උදා:- ABC ∆ යේ BC , CA , AB පාද සරල රේඛාවකින් P , Q , R ලක්ෂය වලදී පිළිවෙලින් කැපේ නම් (BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = – 1 බව පෙන්වන්න.
- අනුබද්ධව A, B, C, P, Q, R ලක්ෂය වල පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් a, b, c ,p , q ,r ලෙස ගනිමු.
BP/PC = λ (λ ˂ 0)
CQ/QA = μ (μ ˃ 0)
\overrightarrow{OP} =( b + λc )/(1 + λ)
(1+λ)p =( b + λc ) ———–(1)
\overrightarrow{OQ} = ( μa +c )/(1 + μ )
(1 + μ )q = ( μa +c)
(2) × λ – (1)
\begin{array}{l}\left(1+\mu\right)\;-\lambda\underline q\;-\;\left(1+\lambda\right)\underline p\;=\lambda\mu\underline a\;+\;\lambda\underline c\;-\left(\underline b+\lambda\underline c\;\right)\\\\\left(1+\mu\right)\;-\lambda\underline q\;-\;\left(1+\lambda\right)\underline p\;=\lambda\mu\underline a\;+\underline b\\\end{array}දෙපසම (λμ – 1)න් බෙදීමෙන්,
\frac{\left(1+\mu\right)\lambda\underline q-\left(1+\lambda\right)\underline p}{\lambda\mu-1}\;=\;\frac{\lambda\mu\;\;\underline a\;-\underline b}{\lambda\mu-1} \overrightarrow{OR}\;=\frac{\lambda\mu\;\underline a-\underline b}{\lambda\mu-1}- R ලක්ෂයයේදී AB රේඛාව AR/RB = -1/λμ අනුපාතයට බෙදයි.
(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = λμ × (-1)/λμ
(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = -1
