02.04.00 - සුමට සන්ධි වල ප්‍රතික්‍රියා (සන්ධි කල බර දඬු) - Advanced Level Science Stream – LearnSteer

පාඩමේ සටහන Download කරගන්න.

සං‍යුක්ත ගණිතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 15 වැනි ගැටළුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

පළමු කොටස යටතේ සලකනු ලබන්නේ සුමට සන්ධි පිලිබඳවය. සුමට සන්ධියකදී ක්‍රියා කරනුයේ ප්‍රතික්‍රියාවක් පමණි. නමුත් රළු සන්ධි වලදී ප්‍රතික්‍රියාවට අමතරව ඝූර්ණද පවතී.

සුමට සන්ධියකදී ප්‍රතික්‍රියාව පහත පරිදි දැක්විය හැක

සන්ධිය මත ප්‍රතික්‍රියාවේ දිශාව නිශ්චිත නොවේ. එබැවින් ප්‍රතික්‍රියාව එකිනෙකට ලම්භක සං‍රචක දෙකකින් දැක්විය යුතුය. (ගණනය පහසුවට ලම්භක සං‍රචක තිරස් හා සිරස් ලෙස සැලකේ.) වස්තු දෙකම මත සමාන ප්‍රතිවිරුද්ධ සං‍රචක ගත යුතුය. අදිනු ලබන බල රූපයේ, මේවා හොඳින් පෙන්වීමට දඬු කෙළවරවල් එකට නොගැටී ඒ අතර සුළු ඉඩ ප්‍රමාණයක් තිබෙන සේ අදිනු ලැබේ.

සුමට සන්ධි , රළු සන්ධි හා සුමට අසව් පහත පරිදි විසන්ධි කොට දැක්විය හැක.

සුමට/සුචල/සචල/නිදහස් සන්ධි පහත අයුරින් විසන්ධි කෙරේ.

රළු සන්ධියක් පහත අයුරින් විසන්ධි කෙරේ.

සුමට අසව්වක් පහත අයුරින් විසන්ධි කෙරේ.

උදා∶(01) එක සමාන w බරැති ඒකාකාර AC , CB දඬු දෙකක් C හි දී සුමට ලෙස සන්ධි කොට තිබේ. ඒවායේ අනෙක් කෙළවරවල් එකම මට්ටමේ වූ A හා B ලක්ෂ දෙකට සම්බන්ධ කර ඇත. මෙම දඬු තිරසට 60⁰ ආනතව එල්ලෙමින් සමතුලිතතාවයේ පවතී නම් C හි දී ප්‍රතික්‍රියාව සොයන්න.

දණ්ඩක දිග 2a යයි ගනිමු.

AC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;AC;\;0=X.2a\sin60^0-W.a\cos60^0-Y.2a\cos60^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\frac{2\sqrt3X}2-\frac W2-\frac{2Y}2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;W=2\sqrt3X-2Y\Rightarrow\boxed1\end{array}

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;BC\;;\;0=W.a\cos60^0-X.2a\sin60^0-Y.2a\sin60^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\frac W2-\frac{2\sqrt3X}2-\frac{2Y}2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;W=2\sqrt3X+2Y\Rightarrow\boxed2\end{array}

① + ②

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4\sqrt3X=2W\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac W{2\sqrt3}\\\end{array}

① – ②

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-4Y=0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=0\\\end{array}

එමනිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;C\text{ සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව}\;=\;\dfrac W{2\sqrt3}\text{ (තිරස්). }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\end{array}

සමමිතිකත්වය සලකා ඉහත ගැටළුව නැවත විසඳමු.

AC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;AG;0=X.2a\sin60^0-W\;a\cos60^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\dfrac{2\sqrt3X}2-\dfrac W2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac W{2\sqrt3}\\\end{array}

එම නිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;C\text{ සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව}\;=\;\dfrac W{2\sqrt3}\text{ (තිරස්). }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\end{array}

උදා∶(02) දිගින් සමාන වූ W සහ W’ බරින් යුක්ත වූ ඒකාකාර AB , AC දඩු දෙකක් එකම මට්ටමේ වූ B හා C අසව් දෙකකින් එල්ලන ලදුව සිරස් තලයක පවතී. එහිදී දඩු සුමට ලෙස සන්ධි කොට ඇත. BC දුර 2a ද BC හි මධ්‍ය ලක්ෂයේ සිට A ට ඇති සිරස් උස h ද නම් A හි ප්‍රතික්‍රියාවේ තිරස් සංරචකය $\frac{(W+W')a}{4h}$ බව පෙන්වා සිරස් සංරචකය ද සොයන්න.

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාව සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=X.h-Y.a-\dfrac{Wa}2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{Wa}2=Xh-Ya\;\;\Rightarrow\boxed1\end{array}

CA දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=(-X.h)-Y.a+\dfrac{W'.a}2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{W'a}2=Xh+Ya\;\;\Rightarrow\boxed2\end{array}

①+ ②

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2.Xh=\dfrac{(Wa+W'a)}2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{(W+W')a}{4h}\text{වේ. (A හි ප්‍රතික්‍රියාවේ තිරස් සං‍රචකය)}\end{array}

②- ①

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2Ya=\dfrac{W'a}2-\dfrac{Wa}2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=\dfrac{(W'-W)}4\text{වේ.(A හි ප්‍රතික්‍රියවේ සිරස් සංරචකය)}\end{array}

උදා∶(03) ABCD රොම්බසයක් සෑදෙන පරිදි එක එකෙහි බර W වන සමාන ඒකාකාර දඩු හතරක් සුචල ලෙස සන්ධි කර ඇත. A ලක්ෂයෙන් එල්ලා ඇති රොම්බසය BC , CD මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය යා කරන්නාවූ සැහැල්ලු දණ්ඩක් මගින් සමචතුරස්‍රයක් ආකාරයට පිහිටුවා ඇත. B හා D සන්ධි වල ප්‍රතික්‍රියා වල තිරස් හා සිරස් සංරචක සොයන්න. සැහැල්ලු දණ්ඩේ තෙරපුම ද සොයන්න.

A හරහා යන සිරස් රේඛාව අනුබද්ධයෙන් පද්ධතිය සමමිතික වේ.

එම නිසා B හා D හි ප්‍රතික්‍රියා සමාන වේ.

දණ්ඩක දිග 2a යයි සලකමු,

BCD කොටස සලකා, (BC හා CD දඬු එකට සලකා)

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow\;0=2Y-2W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=W\;(B\;\text{හා}\;D\;වල\;\text{සිරස් සං‍රචක})\;\Rightarrow\boxed1\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=Y.2a\cos45^0\;-\;X.2a\cos45^0\;+\;W.a\cos45^0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2Y-2X+W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

එමනිසා,

① න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2Y-2X+W\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{3W}2\;(B\;\text{හා}\;D\;\text{සන්ධි වල තිරස් සං‍රචකය})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.a\cos45^0\;+\;T.a\cos45^0\;-\;Y.2a\cos45^0\;-\;X.2a\cos45^0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W\;+\;T\;-2Y\;-\;2X\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

එමනිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W\;+T\;-\;2W\;-\;3W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=\;4W\text{ වේ. (සැහැල්ලු දණ්ඩේ තෙරපුම)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

උදා(04)∶ යළිත් ඉහත ගැටළුවේම C සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව සහ දණ්ඩේ ප්‍රත්‍යාබලය නිර්ණය කරන්න.

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=X.2a\cos45^0\;-\;W.a\cos45^0\;-\;T.a\cos45^0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;W=2X-T\Rightarrow\boxed1\end{array}

ABC කොටස සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.a\cos45^0\;+\;W.a\cos45^0\;+\;X4a\cos45^0\;-\;T.3a\cos45^0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2W\;+\;4X\;-3T\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2W=3T\;-\;4X\Rightarrow\boxed2\end{array}

① x 3 + ②

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2X=5W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{5W}2\;\mathrm{වේ}.(C\;\mathrm{හිදී}\;\mathrm{ප්‍රතික්‍රියාව}\;\mathrm{තිරස්}\;\mathrm{වේ})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

①න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;W=2.\dfrac{5W}2\;-\;T\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm T=4\mathrm W\;\mathrm{වේ}.(\mathrm{සැහැල්ලු}\;\mathrm{දණ්ඩේ}\;\mathrm{ප්‍රත්‍යාබලය}‍)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

උදා∶(05) බර W ඒකාකාර AB දණ්ඩ A කෙළවර අචල ලක්ෂයකට ද B කෙළවර w බරැති BC එකාකාර දණ්ඩකටද අසවු කොට ඇත. පිළිවෙලින් B හා C වලදී w හා W බාර එල්ලා ඇති පද්ධතිය C වල දී යොදන තිරස් P බලයක් මඟින් AB දණ්ඩ සිරසට Ø කෝණයකින්ද BC දණ්ඩ සිරසට α කෝණයකින් ආනතවද සමතුලිතතාවයේ පිහිටුවා තිබේ නම් $\tan\varnothing\;=\frac{2p}{(4w+3W)}$ හා $\tan\alpha\;=\frac{2p}{(w+2W)}$ බව පෙන්වන්න.

AB දණ්ඩේ මුළු දිග 2a ද BC දණ්ඩේ මුළු දිග 2l ද ලෙස ගනිමු.

සමතුලිත පද්ධතියම සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow0=p-X\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=p\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=Y-2W\;-2w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=2(W+w)\end{array}

AB කොටසේ සමතුලිතතාවය සැලකීමෙන්,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.a\sin\phi\;+\;X.2a\cos\phi\;-\;Y.2a\sin\phi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.\sin\phi\;+\;2p\cos\phi\;-\;4(W+w)\sin\phi\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.\tan\phi\;+\;2p\;-4(W+w)\tan\phi\;;(\cos\phi\;\text{මගින් බෙදීම})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p=\tan\phi\lbrack4W\;+4w\;-W\rbrack\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\phi=\dfrac{2p}{(4w+3W)}\text{වේ.}\end{array}

BC කොටසේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-w.l\sin\alpha\;-W.2l\sin\alpha\;+\;p.2l\cos\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-w.\tan\alpha\;-\;2W.\tan\alpha\;+\;2p\;;\;(\;l\cos\alpha\;\text{මගින් බෙදීම})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p=\tan\alpha(w\;+\;2W)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\alpha=\dfrac{2p}{(w+2W)}\text{වේ.}\end{array}

උදා∶(06) B , C හා D සුමට ලෙස සන්ධි කරන ලද එකක බර w වන AB , BC , CD සහ DE නම් ඒකාකාර දිගින් සමාන දඬු හතරක් එකම තලයේ හා එකම මට්ටමේ පිහිටි A හා E නම් අතර ලක්ෂ්‍ය දෙකකට එල්ලා ඇත. සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තුවක් මගින් BC හා CD හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයන් තදව බැඳ ඇත. AB හා BC තිරසට ආනත කෝණ පිළිවෙලින් α හා β නම් තන්තුවේ ආතතිය $w(3cot\alpha\;-cot\beta)$ බව පෙන්වන්න.

එක් එක් දණ්ඩේ දිග 2a යයි ගනිමු.

ABCDE මුළු පද්ධතියේම සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=2Y\;-\;4w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=2w\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos\alpha\;-\;Y.2a\cos\alpha\;+\;X.2a\sin\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=wa\cos\alpha\;-\;4w\cos\alpha\;+\;2X\sin\alpha\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{3w\cos\alpha}{2\sin\alpha}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm X=\dfrac{3\mathrm{wcotα}}2\mathrm{වේ}.\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=\mathrm Y-\;\mathrm w-{\mathrm Y}_{\mathrm B}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm Y}_{\mathrm B}=2\mathrm w-\mathrm w\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm Y}_{\mathrm B}=\mathrm w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow0={\mathrm X}_{\mathrm B}\;-\mathrm X\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm X}_{\mathrm B}=\dfrac{3\mathrm{wcotα}}2\end{array}

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos\beta\;+X_B.2a\sin\beta\;-\;Y_B.2a\cos\beta\;-T.a\sin\beta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T\sin\beta=w\cos\beta\;+\frac{3w}2.cot\alpha.2\sin\beta\;-\;2w\cos\beta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=wcot\beta\;+\;3wcot\alpha\;-\;2wcot\beta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=w(3cot\alpha\;-cot\beta)\text{ වේ.}\end{array}

(2 ක්‍රමය)

ABC කොටසේ සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=y-2w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=2w\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාව සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos\alpha\;-\;Y.2a\cos\alpha\;+\;X.2a\sin\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w\cos\alpha\;-\;4w\cos\alpha\;+\;2X\sin\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{3wcot\alpha}2\end{array}

ABC කොටසේ සමතුලිතතාවය සලකා,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos\beta\;-\;T.a\sin\beta\;+\;w.(2a\cos\beta\;+a\cos\alpha)\;+x.(2a\sin\beta\;+2a\sin\alpha)\;-\;y(2a\cos\beta+2a\cos\alpha)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T\sin\beta=w\cos\beta\;+\;2w\cos\beta\;+\;w\cos\alpha\;+3w.cot\alpha.\sin\beta\;+\;3w.cot\alpha.\sin\alpha-\;4w\cos\beta-\;4w\cos\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T\sin\beta=3w.cot\alpha.\sin\beta\;+\;3w.cot\alpha.\sin\beta-\;w\cos\beta-3w\cos\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T\sin\beta=3w.cot\alpha.\sin\beta\;-\;w.cot\beta.\sin\beta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=w(3cot\alpha-cot\beta)\;\text{වේ.}\end{array}

උදා∶(07) සමාන දිගැති සමාන බර ඇති දඩු පහකින් සවිධි පංචාස්‍රයක් සාදා (ABCDE ලෙස නම් කරමු) එය A ලක්ෂ්‍යයෙන් එල්ලා එම හැඩයෙන් තබා ඇත්තේ B හා E ලක්ෂ්‍ය සැහැල්ලු දණ්ඩක් මගින් සම්බන්ධ කිරීමෙනි. C හා D සන්ධිවල ප්‍රතික්‍රියාත් සැහැල්ලු දණ්ඩෙහි තෙරපුමත් සොයන්න. පංචාස්‍රය තනා ඇති දණ්ඩක බර wද දණ්ඩක දිග 2a යැයිද සලකන්න.

බල පද්ධතිය සමතුලිත බැවින් C හා D සන්ධිවල ප්‍රතික්‍රියා සමාන වේ.

CD දණ්ඩේ සමතුලිතතාව සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=2Y-W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=\dfrac W2\end{array}

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=X.2a\sin\dfrac{2\pi}5\;-\:Y.2a\cos\dfrac{2\pi}5\;-\;Y.\cos\dfrac{2\pi}5\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2X\sin\dfrac{2\pi}5\;-\;W.\cos\dfrac{2\pi}5-W\;\cos\dfrac{2\pi}5\\\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=W\;cot\dfrac{2\pi}5\end{array}

C හා D සන්ධිවල ප්‍රතික්‍රියාවේ විශාලත්වය R යයි ගනිමු,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R^2=X^2\;+\;Y^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R^2=(W.\frac{\cot2\mathrm\pi}5)^2+(\frac W2)\;^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R^2=W^2(\frac{2\pi}5+\frac14)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=W.\sqrt{(\frac{2\mathrm\pi}5+\frac14)\text{ වේ.}}\end{array}

C හා D වල ප්‍රතික්‍රියා තිරස සමග සාදන කෝණය $\theta$ නම්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\theta=\frac YX\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\theta=\frac W{2w.cot{\displaystyle\frac{2\mathrm\pi}5}}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=\tan^{-1}\left(\frac{\tan{\displaystyle\frac{2\pi}5}}2\right)\;\text{වේ.}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}

ABC කොටස සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.a\cos\left(\frac\pi5\right)-T.2a\sin\left(\frac\pi5\right)\;+W.\left[2a\cos\left(\frac\pi5\right)\;-\;a\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\right]\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+X.\left[2a\sin\left(\frac\pi5\right)+2a\sin\left(\frac{2\pi}5\right)\right]+Y.\left(2a\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2T\sin\left(\frac\pi5\right)=2W.\cos\left(\frac\pi5\right)-W.\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\;+2W.cot\left(\frac{2\pi}5\right).\sin\left(\frac\pi5\right)\;+\;2W.cot\left(\frac{2\pi}5\right).\sin\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\;W.\cos\left(\frac\pi5\right)\;-\;W.\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2T\sin\left(\frac\pi5\right)=4W.\cos\left(\frac\pi5\right)\;-2W.\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\;+2W.\cos\left(\frac{2\pi}5\right)\;+2W.cot\left(\frac{2\pi}5\right)+W.\sin\left(\frac\pi5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=2W.cot\left(\frac\pi5\right)\;+\;W.cot\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=W\left[2cot\left(\frac\pi5\right)\;+\;cot\left(\frac{2\pi}5\right)\right]\text{වේ. (සැහැල්ලු දණ්ඩේ තෙරපුම)}\end{array}

උදා∶(08) AB , BC හා CD යනු B හා C හි දී සුමට ලෙස අසව් කර ඇති සමාන බරින් හා දිගින් යුත් ඒකාකාර දඬු තුනක් වෙයි. A හා D කෙළවරවල් එකම මට්ටමක වූ අචල සුමට තිරස් කූරු දෙකකට සම්බන්ධ කර ඇත. පද්ධතිය සමතුලිතතාවයේ එල්ලී ඇත. AB හා CD තිරසට එකම α කෝණයකින් ආනත වේ නම් හා β යනු A හි දී AB මත ප්‍රතික්‍රියාව තිරසට දක්වන ආනතිය වේ නම් $\tan\alpha=2\tan\frac\beta3$ බව පෙන්වන්න. දණ්ඩක දිග 2a වේයැයි උපකල්පනය කරන්න.

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාව සලකා

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=W.a\;\cos\alpha\;-\;Y.2a\;\cos\alpha\;+\;X.2a\;\sin\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2X\;\sin\alpha=3W\;\cos\alpha\;-\;W\;\cos\alpha\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=W\;cot\alpha\end{array}

A සන්ධියෙහි ප්‍රතික්‍රියාව,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\beta=\frac YX\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\beta=\frac{3W}2.\frac1{W.cot\alpha}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\beta=\frac{3\tan\alpha}2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{tanα}=2\tan\frac{\mathrm\beta}3\text{ වේ.}\end{array}

උදා∶(09) A හිදි සුමට ලෙස සන්ධි කළ එක එකක බර w වූ ඒකාකාර AB,AC දඬු දෙකක B හා C දෙකෙළවර ලුහු අවිතන්‍ය තන්තුවක් මගින් ඈඳා තිබෙයි. එක එකක් තිරසට α කෝණයකින් ආනත සුමට තල දෙකක් මත B හා C සමමිතික ලෙස නිශ්චලතාවයේ පවතී. BC තිරස් වන අතර BC ට ඉහළින් A පිහිටා ඇත. B හිදී ප්‍රතික්‍රියාව සොයන්න. BÂC = 2Ø වන විට tanØ > 2tanα නම් තන්තුවේ ආතතිය $\frac{w(\tan\phi-2\tan\alpha)}2$ බව පෙන්වන්න. A සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව ද සොයන්න.

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2R\;\sin\left(90-\alpha\right)-2W\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2W=2R.\cos\alpha\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=\left(\frac W{cos\alpha}\right)\;\text{වේ.(B හිදී ප්‍රතික්‍රියාව)}\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=T.2a\;\cos\theta\;+W.a\sin\theta\;+\;R.2a\;\sin(\alpha-\theta)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2T\;\cos\theta\;+\;w\sin\theta\;+\frac{2w.\sin(\alpha-\theta)}{\cos\alpha}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2T\;\cos\theta\;+w\sin\theta\;+\frac{2w(\sin\alpha.\cos\theta-\cos\alpha.\sin\theta)}{\cos\alpha}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2T+W\;\tan\theta\;+\;2W.\tan\alpha\;-2W\;\tan\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=2T-W(\tan\theta-2\tan\alpha)\;;\;(\tan\theta>2\tan\alpha\;\text{බ්ැවින්}\;\tan\theta-2\tan\alpha>0\text{ වේ})\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=\frac{W(tan\theta-2tan\alpha)}2\text{ වේ.(තන්තුවේ ආතතිය)}\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-W.a\;\cos(90-\theta)\;+\;X.2a\;\cos\theta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;W\sin\theta=2X\;\cos\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;එ\text{මනිසා,}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\frac{W\;\tan\theta}2\;(A\text{ සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව තිරස්ව පවතී})\end{array}

උදා∶(10) පිළිවෙලින් 3a , 4a , 5a දිගැති AB , BC හා CA ඒකාකාර දඩු තුනක් A , B හා C ලක්ෂවල දී සුචල ලෙස අසව් කර තිබේ. දඬුවල බර ඒවාගේ දිගට සමානුපාතික වේ. Aට ඈඳූ තන්තුවක් මගින් පද්ධතිය නිශ්චලව එල්ලෙමින් පවතී. දඬුවල ඒකක දිගක බර w යැයි උපකල්පනය කර AB දණ්ඩ තිරසට $\tan^{-1}\left(\frac43\right)$ කෝණයකින් ආනතව පිහිටන බව පෙන්වන්න. තවද B හා C අසව් වල ප්‍රතික්‍රියාව සොයන්න.

පද්ධතියේම සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\dfrac{7w}{2.3a\;\cos\theta}\;-\;\dfrac{9w}{2\lbrack4a\;\cos(90-\theta)-3a\;\cos\theta\rbrack}\\\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=21\;\cos\theta\;-36\;\sin\theta\;+\;27\cos\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;36\sin\theta=48\;\cos\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\theta=\dfrac43\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{එමනිසා,}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=tan^{-1}\left(\dfrac43\right)\;\text{වේ.(AB දණ්ඩ තිරසට ආනත කෝණය)}\\\\\end{array}

B හා C අසව්වල ප්‍රතික්‍රියා සෙවීම,

ක්‍රමය 1

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0={\mathrm Y}_0-\mathrm Y-4\mathrm w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm Y}_0=\mathrm Y\;+\;4\mathrm w\;\;\rightarrow\boxed1\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\mathrm X-{\mathrm X}_0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm X}_0=\mathrm X\;\;\rightarrow\boxed2\\\\\end{array}

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=Y_0-Y-4W\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=4w.2a\;cos(90-\theta)\;+Y.4a\;cos(90-\theta)-\;X.4a\;sin(90-\theta)\\\;\;\;\;\;\;\;\;4X.cos\theta=8wsin\theta\;+4Y.sin\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4X\dfrac35=8w\dfrac45+4Y\dfrac45\;;(tan\theta=\dfrac43\;\text{බැවින්}\;sin\theta=\dfrac45\;\text{හා}\;cos\theta=\dfrac35\text{ වේ })\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;8w=3X-4Y\;\text{(03)}\\\\\\\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්තව,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=3w.3a\;\cos\dfrac\phi2\;-\;Y.3a\;\cos\phi-X.3a\;\sin\phi\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3Y\dfrac35+3X\dfrac45=\dfrac{9w}2\dfrac35\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;18Y+24X=27w\text{ (04)}\\\\\\\end{array}

(03).8 – (04),

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-50Y=37w\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Y=\dfrac{37w}{50}\\\\\\\end{array}

(03) න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\dfrac{42w}{25}\\\\\\\end{array}

(02) න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_0=\dfrac{42w}{25}\\\\\\\end{array}

(01) න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathrm Y}_0=\frac{163w}{50}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{B සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාවේ විශාලත්වය=}\sqrt{\left[\left(\frac{42w}{25}\right)^2+\left(-\frac{37w}{25}\right)^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\frac{337}{10}}w\;\text{වේ.}\\\end{array}

ප්‍රතික්‍රියාව තිරස සමග සාදන කෝණය α නම්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;tan\alpha=\dfrac yx\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha=tan^{-1}\left(\dfrac{37}{84}\right)\text{ වේ.}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{C සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාවේ විශාලත්වය=}\sqrt{\left[{\mathrm X}_0^2+{\mathrm Y}_0^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\left[\left(\dfrac{42\mathrm w}{25}\right)^2+\left(\dfrac{163\mathrm w}{50}\right)^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\dfrac{\sqrt{1345}}{10}\mathrm w\;\text{වේ.}\\\end{array}

ප්‍රතික්‍රියාව තිරස සමග සාදන කෝණය ¥ නම්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{tanγ}=\dfrac{{\mathrm Y}_0}{{\mathrm X}_0}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm\gamma=\tan^{-1}\left(\dfrac{163}{84}\right)\;\text{වේ.}\;\end{array}

ක්‍රමය 2

AB සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-y.3a+3w.\frac{3a}2\cos\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3y=3w.\frac32\times\frac35\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=\frac{9w}{10}\end{array}

BC සලකා,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-x.4a+4w.2a\sin\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=2w\times\frac45\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{8w}5\end{array}

0=Y_0-Y-4w\cos\theta\;\;\Rightarrow\;Y_0=\frac{9w}{10}+\frac{12w}5\;\;\Rightarrow Y_0=\frac{33w}{10}

0=X-X_0-4w\sin\theta\;\;\Rightarrow\;X_0=\frac{8w}5-\frac{16w}5\;\;\Rightarrow X_0=-\frac{8w}5

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;B\;\text{සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව}\;=\;\sqrt{\left[X^{2\;}+\;Y^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\left[\left(\frac{8w}5\right)^{2\;}+\;\left(\frac{9w}{10}\right)^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt{337}}{10}W\;\text{වේ}\end{array}

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;C\;\text{සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව}\;=\;\sqrt{\left[X_0^{2\;}+\;Y_0^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\left[\left(-\frac{8w}5\right)^{2\;}+\;\left(\frac{9w}{10}\right)^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt{337}}{10}W\;\text{වේ}\end{array}

උදා(11)

හරස්කඩ කේන්ද්‍රය o ද අරය a ද වන සෘජු වෘත්ත සිලින්ඩරයක අක්ෂය තිරස් වේ.සිලින්ඩරයේ පෘෂ්ඨය සුමටය. දිග a හා බර w වන ඒකාකාර AB,BC,CD දඬු 3ක් B හා C හි දී සුමටව සන්ධි කර BC දණ්ඩේ G ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය O ට සිරස්ව ඉහළින් වන සේ BC දණ්ඩ සිලින්ඩරයේ ස්පර්ශව සමතුලිතව ඇත. සිලින්ඩරය මගින් BC මත ක්‍රියාව බව (57w/25) පෙන්වා B සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාවේ තිරස් හා සිරස් සංරචක සොයන්න.

\mathrm{GC}=\frac12\;\text{හා}\;\mathrm{OG}=\mathrm a\;\text{බැවින්}\;\mathrm{OC}=\frac{\sqrt5}2\;\mathrm{වේ}.

GÔC=α හා CÔH=¥ යයි ගනිමු.

OGC හා OCH ත්‍රිකෝණ අංගසම වේ. එමනිසා α=¥ වේ.

එමනිසා,

\begin{array}{l}\sin\alpha=\sin\Upsilon=\frac1{\sqrt5}\\\\\alpha+\Upsilon=90-\theta\\\;\;\;\;\;2\alpha=90-\theta\\\cos(2\alpha)=\cos(90-\theta)\\1-2\sin^2\alpha=\sin\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\theta=\frac35\end{array}

තවද OGC හා OCH ත්‍රිකෝණ අංගසම බැවින්,

l=\frac a2

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow\;0=R'-w-2y\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R'=w+2y\;\;\rightarrow\boxed1\end{array}

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාව සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow\;0=y+R\sin\theta-w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;w=y+\frac{3R}2\;\;\rightarrow\boxed2\end{array}

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-R.\frac a2+w.\frac a2\sin\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=\frac{3w}5\end{array}

(02)න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y+\frac35\times\frac{3w}5=w\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=\frac{16w}{25}\text{වේ.  (B සන්ධියෙහි සිරස් සං‍රචකය})\end{array}

(01)න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R'=w+2.\frac{16w}{25}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R'=\frac{57w}{25}\text{වේ.  (B සිලින්ඩරය මගින් BC මත ප්‍රතික්‍රියාව)}\end{array}

AB සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow0=-x-R\cos\theta\\\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=-\frac{12w}{25}\text{වේ.  (B සන්ධියේ තිරස් සං‍රචකය)}\end{array}

උදා(12)

එක එකක බර w සමාන ඒකාකාර දඬු පහක් ABCDE සවිධි පංචාස්‍රයක් සෑදෙන පරිදි ඒවායේ කෙලවර වල දී සුමට ලෙස සන්ධි කර ඇත. CD තිරස් තලයක තිබෙන පරිදි පංචාස්‍රය සිරස් තලයක තබා ඇති අතර සවිධි පංචාස්‍ර ආකාර හැඩය පවත්වා ගනු ලබන්නේ BC හා DE දඬු වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය යා කරන සැහැල්ලු දණ්ඩක් මගිනි. AB හා BC දඬු මත ක්‍රියාකරන බල දක්වන්න. තවද සැහැල්ලු දණ්ඩේ ආතතිය $\left[cot\frac\pi5\;+\;3cot\frac{2\pi}5\right]w$ බව ඔප්පු කරන්න.

දණ්ඩක දිග 2a යයි ගනිමු.

AB දණ්ඩේ සමතුලිතතාවයට,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos\frac\pi5-X.2a\;\sin\frac\pi5\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\frac{wcot\frac\pi5}2\end{array}

BC දණ්ඩේ සමතුලිතතාවයට,

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.acos\left(\frac{2\pi}5\right)\;+w.2acos\left(\frac{2\pi}5\right)\;+x.2a\sin\left(\frac{2\pi}5\right)\;-T.a\sin\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=2x\;+3w.cot\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=wcot\left(\frac\pi5\right)\;+\;3w\;cot\left(\frac{2\pi}5\right)\\\\\text{එමනිසා,}\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;T=W\left[cot\left(\frac\pi5\right)\;+\;3cot\left(\frac{2\pi}5\right)\right]\text{වේ.  (සැහැල්ලු දණ්ඩේ ආතතිය})\end{array}

උදා(13)

බර w වන AB හා BC ඒකාකාර දඬු දෙකක් B දී නිදහස් ලෙස අසව් කර ඇත. පද්ධතිය A කෙළවර දී සුමටව නිදහස් ලෙස අසව් කර පහළ පිහිටි C කෙළවරට තිරස්ව P බලයක් යොදා ඇත. සමතුලිත පිහිටීමේදී AB දණ්ඩ යටි අත් සිරස සිරස සමඟ 30^o ක කෝණයක් සාදයි. P=w√3/2 බව පෙන්වා BC සිරසට දරන ආනතිය සොයන්න. තවද B හිදී ප්‍රතික්‍රියාව ද සොයන්න.

දණ්ඩක දිග 2a යයි ගනිමු.

BC හි සමතුලිතතාවයට,

B වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=-w.a\sin\alpha\;+p.2a\cos\alpha\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=\frac w2\tan\alpha\;\rightarrow\boxed1\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow0=p-x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=x\rightarrow\boxed2\\\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=y-w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=w\end{array}

AB හි සමතුලිතතාවය සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\sin30^0+y.2a\sin30^0-x.2a\cos30^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=\frac{3w}2-p\sqrt3\end{array}

එමනිසා,
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p=\frac{\sqrt3w}2\text{වේ.}$

(01)න්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\sqrt3w}2=\frac w2\tan\alpha\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\alpha=\sqrt3\end{array}

එමනිසා,

α=60^o වේ. (BC සිරසට දරන ආනතිය)

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;B\text{ හිදී ප්‍රතික්‍රියාව}\;=\sqrt{\left[X^2+Y^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\left[\frac{3w^2}4+w^2\right]}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\sqrt7w}2\text{වේ }\end{array}

එය තිරස සමග සාදන කෝණය $\theta$ නම්,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\theta=\frac yx=\frac2{\sqrt3}

එමනිසා,

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=\tan^{-1}\frac2{\sqrt3}\text{වේ}

උදා(14)

එක එකක් w බැගින් බර AB,BC,CD,DA යන ඒකාකාර දඬු 4ක් A,B,C හා D හිදී සුචල ලෙස ලෙස සන්ධි කර තිබේ. එකම තිරස් සරල රේඛාවක් මත පිහිටි E හා F නම් සුමට නාදැති දෙකක් උඩ පිළිවෙලින් AB හා AD තබා ඇත. C ට සිරස් ලෙස ඉහළින් A තිබෙන පරිදි ABCD සමචතුරස්‍රයක ස්වරූපයට එල්ලේ නම් නාදැති වල ප්‍රතික්‍රියා සොයන්න. E හා F පිළිවෙලින් AB හා AD සමච්ඡේදනය කරන බව පෙන්වන්න. C හා A සන්ධි වල ප්‍රතික්‍රියා ද සොයන්න.

මුලු පද්ධතියේ සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=2R\cos45^0-4w\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

එමනිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R=2\sqrt2w\;\text{වේ.   (නාදැතිවල ප්‍රතික්‍රියා)}\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

BCD කොටසේ සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow0=2y-2w\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=w\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

C වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos45^0+x2a\cos45^0-y.2a\cos45^0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w+2x-2w\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X=\frac w2\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

AB සමතුලිතතාව සලකා,

A වටා වාමාවර්ත ඝූර්ණයෙන්,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.a\cos45^0-Ra'+\frac w2.2a\cos45^0+w.2a\cos45^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=w.\frac a{\sqrt2}-\;2\sqrt2wa\;+\;w\frac a{\sqrt2}+2w\frac a{\sqrt2}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4aw=4wa'\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

එමනිසා,

a=a’

එමනිසා,

E හා F මගින් පිලිවෙලින් AB හා AD සමච්චේදනය කරයි.

BC සමතුලිතතාවය සලකා,

0=x_c-x

එමනිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;X_c=\frac w2\text{වේ.   ( C හිදී ප්‍රතික්‍රියාව,මෙය තිරස් වේ.)}\\\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

AB සමතුලිතතාවය සලකා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow0=x'+x-R\cos45^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x'=2w-\frac w2\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

එමනිසා,

\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x'=\frac{3w}2\text{(A හි දී ප්‍රතික්‍රියාව,මෙය තිරස් වේ.)}\\\;\;\;\;\;\;\end{array}

උදා(15)

දිගින් එක සමාන ඒකාකාර එක එකක් w බර ඇති AB හා AC දඬු දෙකක් Aහිදී සුමට ලෙස සන්ධි කොට තිබේ. AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයත් Bත් සුමට තන්තුවකින් සම්බන්ධ කොට B හා C සුමට තිරස් තලයක තිබෙන සේ පද්ධතිය සුමට සිරස් තලයක තබා ඇත. BÂC=60 නම් තන්තුවේ ආතතිය සොයන්න. තව ද A සන්ධියේ ප්‍රතික්‍රියාව ද සොයන්න.