02.06.00 – අංශු පද්ධතියක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

• සංයුක්ත ගණිතය II  (ව්‍යවහාරික ගණිතය)  ප්‍රශ්න පත්‍රයේ  B කොටසේ(රචනා ප්‍රශ්න) 16 වැනි ප්‍රශ්නයේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.

• වස්තුවක හෝ දෘඩ ලෙස සම්බන්ධ කළ අංශු පද්ධතියක වස්තුව කුමන පිහිටීමක තැබුවත් එහි බර (බරෙහි ක්‍රියා රේඛාව) සෑම විටම එකම ලක්ෂයක් හරහා ගමන් කරන අතර එය ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය ලෙස හඳුන්වයි.
• w₁, w₂, ………… w_n  භාරයන් වන අංශු පද්ධතියක් සලකන්න.  ඒවා  A₁ , A₂ , ………   A_n යන ලක්ෂවල ඇති අතර OX, OY අක්ෂ අනුබද්දයෙන්  ඛන්ඩාංක පිලිවෙලින් (x₁,y₁), (x₂,y₂), ………., (x_n,y_n)  යයි සිතමු.
• OXY අනුබද්ධව ගුරුත්ව කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක ( x̅, y̅ ) යයි සිතමු.එවිට අංශු භාරයන් සමාන්තර පද්ධතියක් ගොඩ නගන අතර ඒවායේ සම්ප්‍රයුක්තය   w₁ + w₂ + …………+ w_n  වේ. එය ( x̅, y̅ ) හරහා ක්‍රියාත්මක වේ යැයි සලකා, බල සම්ප්‍රයුක්තය සඳහා  OX, OY වටා ඝූර්ණය ගැනීමෙන්,

x̅ (w₁ + w₂ + ………… w_{n )}= w₁x₁ + w₂x₂ + ………… + w_n x_n      

\overline X=\frac{\overset n{\underset{i=1}{\sum\;w_ix_i}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum\;w_i}}}

y̅ (w₁ + w₂ + ………… w_{n )}  =    w₁y₁ + w₂y₂ + ………… + w_n y_n    

\overline y=\frac{\overset n{\underset{i=1}{\sum\;w_iy_i}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum\;w_i}}}

සටහන :

ඒකාකාර වස්තු සඳහා ගුරුත්ව කේන්ද්‍රයත්, ස්කන්ධ කේන්ද්‍රයත් සාමාන්‍යයෙන් එකම වේ.     

කේන්ද්‍රයේ 2θ ආපාතනය කරන ඒකාකාර වෘත්ත චාපයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම.

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක දිගක ස්කන්ධය ρ යයි සකලකමු.

m_r=aρ dα

x_r=a cosα

 

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}w_rx_r}{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_r}}}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta m_rg.x_r}{\int_{-\theta}^\theta m_r\;g}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta a\;\rho\;\cos\alpha\;d\alpha}{\int_{-\theta}^\theta a\;\rho\;d\alpha}\\\\\;\;=a\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta\cos\alpha\;d\alpha}{\int_{-\theta}^\theta d\alpha}\\\\\;\;=a\frac{\displaystyle\left[\sin\alpha\right]_{-\theta}^\theta}{\left[\alpha\right]_{-\theta}^\theta}\\\\\;\;=a\frac{\displaystyle\sin\theta}\theta\end{array}

කේන්ද්‍රයේ 2θ ආපාතනය කරන ඒකාකාර වෘත්ත ඛන්ඩයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම.

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක වර්ගඵලයක ස්කන්ධය ρ යයි සලකමු.

\begin{array}{l}m_r=\frac{\displaystyle1}2a\;a\;d\alpha\;\rho\\x_r=a\;\cos\alpha\;\frac{\displaystyle2}3\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum w_rx_r}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_r}}}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta m_rgx_r}{\int_{-\theta}^\theta m_rg}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta\frac{\displaystyle1}2a\;ad\alpha\;\rho\;a\;\cos\alpha\;\frac{\displaystyle2}3g}{\int_{-\theta}^\theta{\displaystyle\frac12}a\;ad\alpha\;\rho g}\\\\\;\;=\frac23a\frac{\displaystyle\int_{-\theta}^\theta\cos\alpha\;d\alpha}{\int_{-\theta}^\theta d\alpha}\\\\\;\;=\frac23a\frac{\left[\sin\alpha\right]_{-\theta}^\theta}{\left[\alpha\right]_{-\theta}^\theta}\\\\\;\;=\frac{2a\sin\theta}{3\theta}\end{array}

කුහර අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක වර්ගඵලයක ස්කන්ධය ρ යයි සකලකමු.

\begin{array}{l}m_r=2\pi\;\sin\alpha\;a\;d\alpha\;\rho\\x_r=a\;\cos\alpha\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum w_rx_r}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_r}}}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_0^\frac\pi2m_rgx_r}{\int_0^\frac\pi2m_rg}\\\\\;\;=\frac{\displaystyle\int_0^\frac\pi22\pi\;\sin\alpha\;a\;d\alpha\;\rho\;a\cos\alpha}{\int_0^\frac\pi22\pi\;\sin\alpha\;a\;d\alpha\;\rho}\\\\\;\;=\frac a2\frac{\displaystyle\int_0^\frac\pi22\sin\alpha\;\cos\alpha\;d\alpha}{\int_0^\frac\pi2\sin\alpha\;d\alpha}\\\\\;\;=\frac a2\frac{\displaystyle\int_0^\frac\pi22\sin\alpha\;\cos\alpha\;d\alpha}{\int_0^\frac\pi2\sin\alpha\;d\alpha}\\\\\;\;=\frac a2\frac{\displaystyle\int_0^\frac\pi2\sin2\alpha\;d\alpha}{\int_0^\frac\pi2\sin\alpha\;d\alpha}\\\\\;\;=\frac a2\frac{\left[\frac{-\cos2\alpha}2\right]_0^\frac\pi2}{\left[\cos\alpha\right]_0^\frac\pi2}\\\\\;\;=\frac a2\end{array}

ඝන අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක පරිමාවක ස්කන්ධය ρ යයි සලකමු.

\begin{array}{l}m_r=\pi\;\left(\sqrt{a^2-x^2}\;\right)^2\;\rho\;dx\\x_r=x\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{{\displaystyle\sum_{i=1}^n}w_rx_r}{{\displaystyle\sum_{i=0}^n}w_r}\\\\\\=\frac{\int_0^a\pi\;\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\rho gx.dx}{\int_0^a\pi\;\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\rho g.dx}\\\\\\=\frac{\int_0^a\pi\;\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\rho x.dx}{\int_0^a\pi\;\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^2\rho.dx}\\\\\\=\frac{\int_0^aa^2x-x^3.dx}{\int_0^aa^2-x^2.dx}\\\\\\=\frac{\left[{\displaystyle\frac{a^2x^2}2}-{\displaystyle\frac{x^4}4}\right]_0^a}{\left[a^2x-{\displaystyle\frac{x^3}3}\right]_0^a}\\\\\\=\frac{\left[{\displaystyle\frac{a^4}2-\frac{a^4}4}\right]}{\left[a^3-{\displaystyle\frac{a^3}3}\right]}\\\\\\=\frac{3a}8\end{array}

අරය r හා උස h වන කුහර කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක වර්ගඵලයක ස්කන්ධය ρ යයි සලකමු.

\begin{array}{l}m_r=2\pi\frac{rx}hdx\;\rho\;sec\alpha\\x_r=x\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{{\displaystyle\sum_{i=0}^n}w_rx_r}{{\displaystyle\sum_{i=0}^n}w_r}\\\\\;\;=\frac{\int_0^h2\pi\frac{rx}hdx\;\rho g\;sec\alpha\;x}{\int_0^h2\pi\frac{rx}hdx\;\rho g\;sec\alpha}\\\\\;\;=\frac{\int_0^hx^2dx}{\int_0^hxdx}\\\\\;\;=\frac{\left[\frac{x^3}3\right]_0^h}{\left[\frac{x^2}2\right]_0^h}\\\\\;\;=\frac{2h}3\end{array}

අරය r හා උස h වන ඝන කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සෙවීම

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක පරිමාවක ස්කන්ධය ρ යයි සකලකමු.

\begin{array}{l}m_r=\pi x^2\;\tan\alpha^2\rho\;dx\\x_r=x\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_rx_r}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_r}}}\\\\\;\;=\frac{\int_0^h\pi\;x^2\;\tan\alpha^2\;\rho g\;dx\;x}{\int_0^h\pi\;x^2\;\tan\alpha^2\;\rho g\;dx}\\\\\;\;=\frac{\int_0^hx^3dx}{\int_0^hx^2dx}\\\\\;\;=\frac{\left[\frac{x^4}4\right]_0^h}{\left[\frac{x^3}3\right]_0^h}\\\\\;\;=\frac{3h}4\end{array}

• උදාහරණ 01

කුහර අර්ධ ගෝලයක් අසුරින් ඝන අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සොයන්න.

විසදුම

 

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි. y̅ = 0

ඒකක වර්ගඵලයක ස්කන්ධය ρ යයි සලකමු.

\begin{array}{l}m_r=2\pi\;x^2\;dr\;\rho\\x_r=\frac x2\end{array}

ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය සම්බන්ධ නියමයෙන්,

\begin{array}{l}\overline x=\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum w_rx_r}}}{\overset n{\underset{i=1}{\sum w_r}}}\\\\\;\;=\frac{\int_0^a2\pi\;x^2\;dx\;\rho\;{\displaystyle\frac x2}}{\int_0^a2\pi\;x^2dx\;\rho}\\\\\;\;=\frac12\frac{\int_0^ax^3dx}{\int_0^ax^2dx}\\\\\;\;=\frac12\frac{\left[\frac{x^4}4\right]_0^a}{\left[\frac{x^3}3\right]_0^a}\\\\\;\;=\frac{3a}8\end{array}

• උදාහරණ 02

රූපයේ  පෙන්වා  ඇත්තේ  ඒකාකාර  ද්‍රව්‍යයකින්  හැදුනු   තුනී   අර්ධ  විෂ්කම්භය a වන  කුහර ගෝලයකින්  කපා  ගත්  කොටසක්  හා  පතුල  වශයෙන්  ඊට  සම්බන්ධ  කොට  ඇති  අර්ධ විෂ්කම්භය a\sin\alpha වන  වෘත්තාකාර  පතුලකින්  සමන්විත  කෝප්පයකි. කෝප්පයේ  ගැටිය පතුලට  සමාන්තර  වේ.ගැටියේ  අර්ධ  විෂ්කම්භය a\sin\beta  නම් \left(0<\alpha<\beta<\frac\pi2\right) වන  විට  පතුල  රහිත  කුහර  ගෝලීය කොටසේ  ස්කන්ධය  සොයන්න. පතුල  සහිත  කොප්පයේ  ගුරුත්ව  කේන්ද්‍රය  පතුලේ  කේන්ද්‍රය ඔස්සේ  ඇති  අක්ශමය  පතුලේ  සිට \frac{a\left(\alpha-\cos\beta\right)^2}{2\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)+\sin\alpha^2} පරිධියෙන් වූ ලක්ෂයකින් එල්ලූ විට කෝප්පයේ පතුල සිරසට දරන ආනතිය   සොයන්න.

විසදුම

 

\begin{array}{l}dm=2\pi a\theta\;d\theta\;\rho\;a\\m=\int_\alpha^\beta2\pi a^2\sin\theta\;d\theta\;\rho\\\\\;\;=\left\lbrack2\pi a^2\rho\cos\theta\right\rbrack_\alpha^\beta\\\\\;\;=2\pi a^2\rho\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)\\\\x_i=a\cos\theta\\\\\overline x=\frac{\displaystyle\overset n{\underset{i=1}{\sum x_idm}}}{\overset\beta{\underset\alpha{\sum dm}}}\\\\\;\;=\frac{\int_\alpha^\beta a\cos\theta2\pi a^2\sin\theta\;d\theta\;\rho\;a}{\int_\alpha^\beta2\pi a^2\rho\sin\theta\;d\theta}\\\\\;\;=\frac{\pi a^3\rho\int_\alpha^\beta2\sin\theta\cos\theta\;d\theta}{2\pi a^2\rho(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{a\int_\alpha^\beta\sin2\theta\;d\theta}{2(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{a\left\lbrack{\displaystyle\frac{\cos2\theta}2}\right\rbrack_\alpha^\beta}{2(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{a(\cos2\alpha-\cos2\beta)}{4(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{a(2\cos^2\alpha-1-2\cos^2\beta+1)}{4(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{2a(\cos^2\alpha-\cos^2\beta)}{4(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac{2a(\cos\alpha-\cos\beta)(\cos\alpha+\cos\beta)}{4(\cos\alpha-\cos\beta)}\\\\\;\;=\frac a2(\cos\alpha+\cos\beta)\end{array}

 

වස්තුව	ස්කන්ධය	ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය ට දුර
	m_1=2\pi a^2\rho(\cos\alpha-\cos\beta)	x_1=a\cos\beta-\frac a2(\cos\alpha+\cos\beta)
	m_2=\pi a^2\rho\sin^2\alpha	x_2=0
	m_1+m_2	\overline{x_1}

\begin{array}{l}\overline{x_1}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\\\\\;\;=\frac{2\pi a^2\rho(\cos\alpha-\cos\beta){\displaystyle\frac a2}(\cos\alpha-\cos\beta)+0}{2\pi a^2\rho(\cos\alpha-\cos\beta)+\pi a^2\rho\sin^2\alpha}\\\\\;\;=\frac{\pi a^3\rho(\cos\alpha-\cos\beta)^2}{\pi a^2\rho\left\lbrack2(\cos\alpha-\cos\beta)+\sin^2\alpha\right\rbrack}\\\\\;\;=\frac{a(\cos\alpha-\cos\beta)^2}{2(\cos\alpha-\cos\beta)+\sin^2\alpha}\\\\\alpha=\frac\pi6\;\;\;,\;\;\;\beta=\frac\pi3\;\;;\\\\\overline{x_1}=\frac{a(\cos\frac\pi6-\cos\frac\pi3)^2}{2(\cos\frac\pi6-\cos\frac\pi3)+\sin^2\frac\pi6}\\\\\;\;=\frac{a(\frac{\sqrt3}2-\frac12)^2}{2(\frac{\sqrt3}2-\frac12)+\frac14}\\\\\;=\frac{a(\sqrt3-1)^2}{4(\sqrt3-1)+1}\end{array}

\begin{array}{l}\overline x=\frac{a\left(\sqrt3-1\right)^2}{4\left(\sqrt3-1\right)+1}\\\\\\\bullet\;\tan\theta=\frac{\overline x}{\displaystyle\frac a2}=\;\frac{2a\left(\sqrt3-1\right)^2}{\left[4\left(\sqrt3-1\right)+1\right]a}\;=\frac{4\left(2-\sqrt3\right)}{4\left(\sqrt3\right)-3}\\\\\\\end{array}

• උදාහරණ 03

අරය a වූ ඒකාකාර ඝන අර්ධ ගෝලයකින්, පතුලේ අරය a  සහ උස a වන සෘජු වෘත්තාකාර කේතුවක් ඉවත් කරමින් ඝන වස්තුවක් සාදා ඇත. අර්ධ ගෝලයේ සහ කේතුවේ තල ආධාරක සමපාත වන අතර දෙකෙහිම පොදු උස h වූ සෘජු වෘත්තාකාර කේතුවක ස්තරය ස්කන්ධ කෝණ ශීර්ෂයේ සිට \frac34h  දුරකින් ඇතැයි උපකල්පනය කර කේන්ද්‍රය O වේ. O සිට ඝන වස්තුවේ ස්කන්ධ කේන්ද්‍රය G ඇති දුර සොයන්න.  ඝන වස්තුව එහි වක්‍ර පෘෂ්ඨයේ ලක්ෂයක්  තිරස සමග θ කෝණයක් සාදමින් ආනතව පවතින රළු තලයක් හා ස්පර්ශව සමතුලිතතාවයේ පවතී. ඝන වස්තුවේ හරස්කඩක් රූපයෙන් පෙන්වයි. O හා G තලයේ වැඩිතම බෑවුම් රේඛාව ඔස්සේ එකම සිරස් තලයක පිහිටයි OG තිරස් බව දී ඇත.  θ = 30° බව පෙන්වන්න. අර්ධ ගෝලයේ බර W බව දී ඇත‍. ස්පර්ශ ලක්ෂයේ දී ඝර්ෂණ බලයේ හා අභිලම්බ ප්‍රතික්‍රියාවේ අගයන් W ඇසුරින් ලබාගන්න. තලය සහ ඝන වස්තුව අතර ඝර්ෂණ සංගුණකයේ කුඩා තම අගය සොයන්න.

                               

 

විසදුම

සමමිතියෙන් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය x අක්ෂය මත පිහිටයි.  y̅ = 0

ඒකක පරිමාවක ස්කන්ධය ρ යයි සලකමු.

O වටා ඝූර්නය ගැනීමෙන්,

\begin{array}{l}\frac{\displaystyle1}3\pi a^2\rho g\;OG\;=\;\frac23\pi a^3\rho g\frac38a-\frac13\pi a^3\rho g\frac14a\\\\OG=\frac a2\end{array}

                                   

 

F, R, W යන බල තුනෙහි ක්‍රියා රේඛා A හරහා යා යුතුය.

\begin{array}{l}\sin\theta=\frac{OG}{OA}\\\\\;\;\;\;\;\;=\frac{\displaystyle\frac a2}a\\\\\;\;\;\;\;\;=\frac12\\\\\;\;\;\theta\;=30^\circ\end{array}

තලයට සමාන්තරව බල විභේදනයෙන්,

\begin{array}{l}F–\frac W2\;\sin\theta=0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F\;=\frac W2\;\sin\theta\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;F=\frac W4\end{array}

තලයට ලම්භකව බල විභේදනයෙන්,

\begin{array}{l}\begin{array}{l}R–\frac W2\;\cos\theta=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R\;\;\;=\frac W2\;\cos\theta\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;R\;=\frac{\sqrt3W}4\end{array}\\\end{array}

සමතුලිතතාවය සඳහා,

\begin{array}{l}\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac FR\leq\mu\\\\\frac{\displaystyle\frac W4}{\displaystyle\frac{\sqrt3w}4}\leq\mu\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\frac1{\sqrt3}\leq\mu\end{array}\\\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\mu_{min}=\frac1{\sqrt3}\\\end{array}