- සංයුක්ත ගණිතය 1 (ශුද්ධ ගණිතය )ප්රශ්න පත්රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්රශ්න ) 10 වැනි ගැටළුවේ හා B කොටසේ (රචනා ප්රශ්න )17 ගැටළුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
\frac\pi2හි ඔත්තේ ගුණාකාරවලින් සහ \piහි නිඛිල ගුණාකාර වලින් වෙනස් වන කෝණවල මූලික ත්රිකෝණමිතික අනුපාත ව්යුත්පන්න.
වෘත්ත ශ්රිතවල ආවර්ත ස්වභාවය
\frac\pi6 සහ \left(2\pi+\frac\pi6\right) කෝණ කේන්ද්රික කණ්ඩයක සලකමු.
රූපයේ පරිදි ත්රිකෝණමිතික අනුපාතවල අර්ථදැක්වීම්වලට අනුවද(එකම x හා y කණ්ඩාංක ඇති බැවින්), ඉහත කෝණ 2 සදහාම එකම අනුරූප අගයන් ත්රිකෝණමිතික අනුපාතවලට ඇති බව මින් පැහැදිලි වේ.
එමනිසා,
වෘත්ත ශ්රිතවල ආවර්ත ස්වභාවයමින් අපට පැහැදිලි වේ. එනම් සෑම 2\pi කෝණයකට වරක් ත්රිකෝණමිතික අනුපාත සදහා එකම අගයක් ලැබේ.
(\frac\pi2\pm\theta),\;(\frac{3\pi}2\pm\theta),\;(\pi\pm\theta),\;(2\pi\pm\theta) ආකාරයේ ප්රකාශන \thetaඇසුරින් නිරුපණය
සලකන කෝණ සඳහා වෘත්ත ශ්රිත දරන අගයන්
\begin{array}{rcl}\sin\theta\;&=&\;+\frac yr\\[2px]\cos\theta\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\tan\theta\;&=&\;+\frac yx\\[2px]\cot\theta\;&=&\;+\frac xy\\[2px]\cosec\theta\;&=&\;+\frac ry\\[2px]\sec\theta\;&=&\;+\frac rx\end{array}
θ ඇසුරෙන්
\begin{array}{rcl}\\\\\\\\\\\\\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(-\theta\right)\;&=&\;-\frac yr\\[2px]\cos\left(-\theta\right)\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\tan\left(-\theta\right)\;&=&\;-\frac yx\\[2px]\cot\left(-\theta\right)\;&=&\;-\frac xy\\[2px]\cosec\left(-\theta\right)\;&=&\;-\frac ry\\[2px]\sec\left(-\theta\right)\;&=&\;+\frac rx\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(-\theta\right)\;&=&\;-\sin\theta\\[2px]\cos\left(-\theta\right)\;&=&\;+\cos\theta\\[2px]\tan\left(-\theta\right)\;&=&\;-\tan\theta\\[2px]\cot\left(-\theta\right)\;&=&\;-\cot\theta\\[2px]\cosec\left(-\theta\right)\;&=&\;-\cosec\theta\\[2px]\sec\left(-\theta\right)\;&=&\;+\sec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\frac yr\\[2px]\tan\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\frac xy\\[2px]\cot\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\frac yx\\[2px]\cosec\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;+\frac rx\\[2px]\sec\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\frac ry\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;+\cos\theta\\[2px]\cos\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\sin\theta\\[2px]\tan\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\cot\theta\\[2px]\cot\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\tan\theta\\[2px]\cosec\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;+\sec\theta\\[2px]\sec\left(\frac\pi2+\theta\right)\;&=&\;-\cosec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac yr\\[2px]\tan\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac xy\\[2px]\cot\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac yx\\[2px]\cosec\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac rx\\[2px]\sec\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\frac ry\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\cos\theta\\[2px]\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\sin\theta\\[2px]\tan\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\cot\theta\\[2px]\cot\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\tan\theta\\[2px]\cosec\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\sec\theta\\[2px]\sec\left(\frac\pi2-\theta\right)\;&=&\;+\cosec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\frac yr\\[2px]\cos\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\frac xr\\[2px]\tan\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac yx\\[2px]\cot\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac xy\\[2px]\cosec\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\frac ry\\[2px]\sec\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\frac rx\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\sin\theta\\[2px]\cos\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\cos\theta\\[2px]\tan\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;+\tan\theta\\[2px]\cot\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;+\cot\theta\\[2px]\cosec\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\cosec\theta\\[2px]\sec\left(\pi+\theta\right)\;&=&\;-\sec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;+\frac yr\\[2px]\cos\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac xr\\[2px]\tan\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac yx\\[2px]\cot\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac xy\\[2px]\cosec\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;+\frac ry\\[2px]\sec\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac rx\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;+\sin\theta\\[2px]\cos\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\cos\theta\\[2px]\tan\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\tan\theta\\[2px]\cot\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\cot\theta\\[2px]\cosec\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;+\cosec\theta\\[2px]\sec\left(\pi-\theta\right)\;&=&\;-\sec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\frac xr\\[2px]\cos\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;+\frac yr\\[2px]\tan\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\frac xy\\[2px]\cot\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\frac yx\\[2px]\cosec\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\frac rx\\[2px]\sec\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;+\frac ry\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\cos\theta\\[2px]\cos\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;+\sin\theta\\[2px]\tan\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\cot\theta\\[2px]\cot\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\tan\theta\\[2px]\cosec\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;-\sec\theta\\[2px]\sec\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;+\cosec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\frac xr\\[2px]\cos\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\frac yr\\[2px]\tan\left(\frac{3\pi}2+\theta\right)\;&=&\;+\frac xy\\[2px]\cot\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;+\frac yx\\[2px]\cosec\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\frac rx\\[2px]\sec\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\frac ry\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\cos\theta\\[2px]\cos\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\sin\theta\\[2px]\tan\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;+\cot\theta\\[2px]\cot\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;+\tan\theta\\[2px]\cosec\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\sec\theta\\[2px]\sec\left(\frac{3\pi}2-\theta\right)\;&=&\;-\cosec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac yr\\[2px]\cos\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\tan\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac yx\\[2px]\cot\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac xy\\[2px]\cosec\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac ry\\[2px]\sec\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\frac rx\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\sin\theta\\[2px]\cos\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\cos\theta\\[2px]\tan\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\tan\theta\\[2px]\cot\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\cot\theta\\[2px]\cosec\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\cosec\theta\\[2px]\sec\left(2\pi+\theta\right)\;&=&\;+\sec\theta\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac yr\\[2px]\cos\left(2\pi-+\theta\right)\;&=&\;+\frac xr\\[2px]\tan\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac yx\\[2px]\cot\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac xy\\[2px]\cosec\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\frac ry\\[2px]\sec\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;+\frac rx\end{array}
\begin{array}{rcl}\sin\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\sin\theta\\[2px]\cos\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;+\cos\theta\\[2px]\tan\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\tan\theta\\[2px]\cot\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\cot\theta\\[2px]\cosec\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;-\cosec\theta\\[2px]\sec\left(2\pi-\theta\right)\;&=&\;+\sec\theta\end{array}
දී ඇති දත්ත උපයෝගී කර ගෙන සමචතුරස්රයේ වර්ගඵලය සහ AB හි දිග සොයන්න පුළුවන්ද බලන්න.
- ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය, සහශ්රිතයට මාරු වේ.(sin→cos, cos→sin, tan→cot, cot→tan, cosec→sec, sec→cosec).
- ප්රකාශනයේ +/- බව මුල් ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය \frac\pi2 හෝ \frac{3\pi}{2} කෝණවලට අක්ෂ පද්ධතියේ අනුරූප අක්ෂවල සිට මුළු කෝණය යොමුවන දිශාවට වන වෘත්ත පාදයේ අනුරූප ලකුණ දරයි.
- ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය මාරු නොවේ
- ප්රකාශනයේ +/- බව මුල් ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතය \pi හෝ 2\pi කෝණවලට අක්ෂ පද්ධතියේ අනුරූප අක්ෂවල සිට මුළු කෝණය යොමුවන දිශාවට වන වෘත්ත පදයේ අනුරූප ලකුණ දරයි.
නිදසුන්:
- \cos\;\left(\frac{3\pi}4\right)\;=\;\cos\;\left(\pi-\frac\pi4\right)\;=\;\cos\;\left(\frac\pi2+\frac\pi4\right)
+y අක්ෂයේ සිට කෝණයක් එකතු වන බැවින් දෙවන වෘත්ත පාදයේ cos වල ලකුණ වන ඍණ අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\cos\;\left(\frac{3\pi}4\right)\;=\;\cos\;\left(\frac\pi2+\frac\pi4\right)\;=\;-\sin\;\left(\frac\pi4\right)\;=\;-\frac1{\sqrt2}
-x අක්ෂයේ සිට කෝණයක් අඩු වන බැවින් දෙවන වෘත්ත පාදයේ cos වල ලකුණ වන ඍණ අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\cos\;\left(\frac{3\pi}4\right)\;=\;\cos\;\left(\pi-\frac\pi4\right)\;=\;-\cos\;\left(\frac\pi4\right)\;=\;-\frac1{\sqrt2}
- \tan\;\frac{7\pi}6\;=\;\tan\;\left(\pi+\frac\pi6\right)\;=\;\tan\;\left(\frac{3\pi}2-\frac\pi3\right)
-x අක්ෂයේ සිට කෝණයක් එකතු වන බැවින් තෙවන වෘත්ත පාදයේ Tan වල ලකුණ වන ධන අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\tan\;\frac{7\pi}6\;=\;\tan\;\left(\pi+\frac\pi6\right)\;=\;\tan\;\frac\pi6\;=\;\frac1{\sqrt3}
-y අක්ෂයේ සිට කෝණයක් අඩු වන බැවින් තෙවන වෘත්ත පාදයේ Tan වල ලකුණ වන ධන අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\tan\;\left(\frac{7\pi}6\right)\;=\;\tan\;\left(\frac{3\pi}2-\frac\pi3\right)\;=\;\cot\;\frac\pi3\;=\;\frac1{\sqrt3}
- \sin\;\frac{11\pi}6\;=\;\sin\;\left(\frac{3\pi}2+\frac\pi3\right)\;=\;\tan\;\left(2\pi-\frac\pi6\right)
-y අක්ෂයේ සිට කෝණයක් එකතු වන බැවින් සිව්වන වෘත්ත පාදයේ Sin වල ලකුණ වන ඍණ අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\sin\;\left(\frac{11\pi}6\right)\;=\;\sin\;\left(\frac{3\pi}2+\frac\pi3\right)\;=\;-\cos\;\frac\pi3\;=\;-\frac12
+x අක්ෂයේ සිට කෝණයක් අඩු වන බැවින් සිව්වන වෘත්ත පාදයේ Sin වල ලකුණ වන ඍණ අගයක් ලැබේ.
\text{එමනිසා}\;\sin\;\left(\frac{11\pi}6\right)\;=\;\sin\;\left(2\pi-\frac\pi6\right)\;=\;-\sin\;\frac\pi6\;=\;-\frac12
ත්රිකෝණමිතික ආවර්ත ගුණ ද සලකා,
- \sin\;\frac{22\pi}3\;=\;\sin\;\left(6\pi+\frac{4\pi}3\right)\;=\;\sin\;\frac{4\pi}3\;=\;\sin\;\left(\pi+\frac\pi3\right)\;=\;-\sin\;\frac\pi3\;=\;-\frac{\sqrt3}2
- \tan\;\left(-\frac{33\pi}4\right)\;=\;\tan\;\left(-8\pi-\frac\pi4\right)\;=\;\tan\;\left(-\frac\pi4\right)\;=\;-\tan\;\frac\pi4\;=\;-1
උදා:- පහත ත්රිකෝණමිතික පද සුළු කරන්න.
- \sin\;\left(\frac{5\pi}4\right)
\begin{array}{rcl}\sin\;\frac{5\pi}4\;&=&\;\sin\;\left(\pi+\frac\pi4\right)\;\\&=&\;-\sin\;\frac\pi4\;\\&=&\;-\frac1{\sqrt2}\end{array}
- \tan\;\left(\frac{5\pi}6\right)
\begin{array}{rcl}\tan\;\frac{5\pi}6\;&=&\;\tan\;\left(\pi-\frac\pi6\right)\;\\&=&\;-\tan\;\frac\pi6\;\\&=&\;-\frac1{\sqrt3}\end{array}
- \sec\;\left(\frac{5\pi}3\right)
\begin{array}{rcl}\sec\;\frac{5\pi}3\;&=&\;\sec\;\left(2\pi-\frac\pi3\right)\;\\&=&\;\sec\;\frac\pi3\;\\&=&\;2\end{array}
- \cos\;\left(\frac{28\pi}3\right)
\begin{array}{rcl}\cos\;\frac{28\pi}3\;&=&\;\cos\;\left(9\pi+\frac\pi3\right)\;\\&=&\;-\cos\;\frac\pi3\;\\&=&\;-\frac12\end{array}
- \cot\;\left(\frac{55\pi}6\right)
\begin{array}{rcl}\cot\;\frac{55\pi}6\;&=&\;\cot\;\left(\frac{19\pi}2-\frac\pi3\right)\;\\&=&\;\tan\;\frac\pi3\;\\&=&\;\sqrt3\end{array}
- \cosec\;\left(\frac{49\pi}4\right)
\begin{array}{rcl}\cosec\;\frac{49\pi}4\;&=&\;\cosec\;\left(\frac{25\pi}2-\frac\pi4\right)\;\\&=&\;-\sec\;\frac\pi4\;\\&=&\;\sqrt2\end{array}
සාරාංශය :
“I was trying to unravel the complicated trigonometry of the radical thought that silence could make up the greatest lie ever told.”
-Pat Conroy –
