- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න) 10 වැනි ගැටළුවෙහි B කොටසේ(රචනා ප්‍රශ්න) 17 වැනි ගැටළුවෙහි මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.
පුරාණ ඊජිප්තුවරු සහ බැබිලෝනියානුවෝ සියවස් ගණනාවක් පුරා ත්‍රිකෝණවල පාද අතර අනුපාත පිළිබඳ ප්‍රමේයයන් දැන සිටියහ. බැබිලෝනීය තාරකාවිද්‍යාඥයන් තාරකාවල නැගීම, බැසීම, ග්‍රහලෝකවල චලිතය, සූර්ය හා චන්ද්‍රග්‍රහණයන් පිළිබඳ සවිස්තර වාර්තා තබා ගත් අතර ඒ සියල්ලටම ආකාශ වස්තුව අතර මනින කෝණික දුර පිළිබඳව දැනුමක් අවශ්‍ය විය. ඊජිප්තුවරු ක්‍රි.පූ 2 වන සහස්‍රයේ පිරමීඩ සෑදීම සඳහා ප්‍රාථමික ත්‍රිකෝණමිතියක් භාවිතා කළහ.
මුලික ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත
\begin{array}{l}y\;=\;\sin\;x\;\;;\;\;\;\;\text{වසම}\;=\;R\;,\;\;\;\;\text{පරාසය}\;=\;\lbrack-1,1\rbrack\\y\;=\;\cos\;x\;\;;\;\;\;\;\text{වසම}\;=\;R\;,\;\;\;\;\text{පරාසය}\;=\;\lbrack-1,1\rbrack\;\\y\;=\;\tan\;x\;\;;\;\;\;\;\text{වසම}\;=\;R-\frac\pi2\;\text{හි ඔත්තේ ගුණාකාර නොවන සංඛ්‍යයා,}\;\;\;\text{පරාසය}\;=\;\lbrack-\infty,\infty\rbrack\end{array}
Ox, Oy යනු සෘජුකෝණාස්‍ර කාටිසීය අක්ෂ යුගලයක් යැයි සිතමු.
- එ විට මේ අක්ෂවල තලයෙහි ධන භ්‍රමණ අත ලෙස අර්ථ දවනුයේ x අක්ෂයේ ධන කොටස සමඟ කෝණ සාදන වාමාවර්ත අතයි. දක්ෂිණාවර්ත අත ඍණ වේ. එක් කෙළවරක් 0 මූල ලක්ෂ්යෙහි සවි කළ r දිග සරල රේඛාවක් 0 වටා භ්‍රමණය කළ හැකි යැයි සිතමු.මේ රේඛාවේ X යනු (r, 0) ලක්ෂ්‍යය වෙයි. මේ රේඛාව P යනු (r, y) ලක්ෂය වන, 0P පිහිටිමට භ්‍රමණය වන්නේ යැයි සිතමු. එ විට රේඛාව OX සිට OP තෙක් චලනය වීමේ දී එය කැරැකී ඇති කෝණය නම්,
\begin{array}{rcl}\sin\theta\;&=&\;\frac yr\\\cos\theta\;&=&\;\frac xr\end{array}
- සම්බන්ධවලින් θ කෝණයේ සයිනයටත් (සයින්) කෝසයිනයටත් (කොස්) අර්ථ දක්වනු ලැබේ.
- ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත sinθ හිත් cosθ හින් අගය θ කෝණය මත පමණක් රඳා පවතියි; රේඛාවේ දිග මත නොවෙයි. අනුපාත නිසා.
- තව ද r ධන නිසා, සයින් ටත් කොස් ටත් පිළිවෙළින් y හිත් x හිත් ලකුණු ම ඇත.
- මෙසේ P ලක්ෂ්‍යය පළමු වැනි හෝ දෙ වැනි හෝ පාදකයෙහි පිහිටි විට සයින් ධන වෙයි, P ලක්ෂ්‍යය තෙ වැනි හෝ සිව් වැනි හෝ පාදකයෙහි පිහිටි විට සයින් ඍණ යි.
- P පළමු වැනි හෝ සිව් වැනි හෝ පාදකයෙහි පිහිටි විට කොස් ධන වෙයි,
- දෙ වැනි හෝ තෙ වැනි හෝ පාදකයෙහි පිහිටි විට කොස් හි ඍණ යි.
- සයිනයත් කෝසයිනයත් ඇසුරෙන් අනෙක් ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවලට අර්ථ දැක්විය හැකි යි; මෙසේ \text{ටැංජනය}\;=\;\tan\;=\;\frac yx වෙයි .
- එහි ලකුණ ද අනුපාතයේ ලකුණ නිසා පහත රුපය පරිදි ධන, ඍණ ලකුණ කෝණය අනුව සාරාංශ කල දැක්විය හැක.
- ඒ අනුව, පළමු වැනි හෝ තෙ වැනි හෝ පාදකයෙහි θ පිහිටි විට, ටැංජනය ධන බවත් ,දෙ වැනි හෝ සිව් වැනි හෝ පාදකයෙහි θ පිහිටි විට එය ඍණ බවත් පෙනෙයි.
- තවද , කෝටෑංජනය (කොට්),කෝසීකනය (කොසෙක්),සීකනය (සෙක් ) පිළිවෙළින් ,
ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.
ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන්
0\;,\;\frac\pi2\;\text{සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන් ව්‍යුත්පන්න කිරීම}
\text{මෙම ප්‍රස්තාරය}\;\theta=0\;\text{හා}\;\theta=\frac\pi2\;\text{සඳහා සලකමු,}
\begin{array}{rcl}\sin\;\theta\;&=&\;\frac yr\\[4px]\cos\;\theta\;&=&\;\frac xr\\[4px]\tan\;\theta\;&=&\;\frac yx\end{array}
\theta=0\;\text{අවස්ථාව}
Sin Cos Tan අර්ථ දැක්වීම්වලින්,
\begin{array}{rcl}\sin\;0\;&=&\;\frac0r\;=\;0\\[4px]\cos\;0\;&=&\;\frac rr\;=\;1\\[4px]\tan\;0\;&=&\;\frac0x\;=\;0\end{array}
\theta=\frac\pi2\;\text{අවස්ථාව}
Sin Cos Tan අර්ථ දැක්වීම්වලින්,
\begin{array}{rcl}\sin\;\frac\pi2\;&=&\;\frac rr\;=\;1\\[4px]\cos\;\frac\pi2\;&=&\;\frac0r\;=\;0\\[4px]\tan\;\frac\pi2\;&=&\;\frac r0\;(\text{අර්ථ නොදැක්වේ})\end{array}
\frac\pi6\;,\;\frac\pi3\;\text{සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන් ව්‍යුත්පන්න කිරීම}
ABC සමපාද ත්‍රිකෝණයක පහත පරිදි A සිට BC පදයට ලම්භ සමඡ්ඡේදකයක් නිර්මාණයෙන් ADC ත්‍රිකෝණය නිර්මාණය කර ගැනේ.
ADC ත්‍රිකෝණයට පයිතගරස් ප්‍රමෙයයෙන්,
\begin{array}{rcl}AD^2\;&=&\;a^2\;-\;\left(\frac a2\right)^2\\AD^2\;&=&\;\frac{3a^2}4\\[4px]AD\;\;&=&\;\frac{\sqrt3 a}2\end{array}
ADC ත්‍රිකෝණයෙන් \frac\pi6 සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන්,(ADC හි A කෝණය සලකා)
\begin{array}{rcl}\sin\;\frac\pi6&=&\frac{DC}{AC}\;=\;\frac{a/2}a\;=\;\frac12\\[4px]\cos\;\frac\pi6&=&\frac{AD}{AC}\;=\;\frac{\sqrt3a/2}a\;=\;\frac{\sqrt3}2\\[4px]\tan\;\frac\pi6&=&\frac{DC}{AD}\;=\;\frac{a/2}{\sqrt3a/2}\;=\;\frac1{\sqrt3}\end{array}
ADC ත්‍රිකෝණයෙන් \frac\pi3 සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන් , (ADC හි C කෝණය සලකා)
\begin{array}{rcl}\sin\;\frac\pi3&=&\frac{AD}{AC}\;=\;\frac{\sqrt3a/2}a\;=\;\frac{\sqrt3}2\\[4px]\cos\;\frac\pi3&=&\frac{DC}{AC}\;=\;\frac{a/2}a\;=\;\frac12\\[4px]\tan\;\frac\pi3&=&\frac{AD}{DC}\;=\;\frac{\sqrt3a/2}{a/2}\;=\;\sqrt3\end{array}
\frac\pi4\;\text{සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන් ව්‍යුත්පන්න කිරීම}
PQR සමදිවිපාද ඍජූකෝනී ත්‍රිකෝණයක් සළකා,
පයිතගරස් ප්‍රමෙයයෙන් \;\footnotesize{PQ=\sqrt2l}\;බව ලබාගත හැක
PQR ත්‍රිකෝණයෙන් \frac\pi4 සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අගයන්,
\begin{array}{l}\sin\;\frac\pi4\;=\;\frac{PR}{PQ}\;=\;\frac l{\sqrt2l}\;=\;\frac1{\sqrt2}\\[4px]\cos\;\frac\pi4\;=\;\frac{RQ}{PQ}\;=\;\frac l{\sqrt2l}\;=\;\frac1{\sqrt2}\\[4px]\tan\;\frac\pi4\;=\;\frac{PR}{RQ}\;=\;\frac ll\;=\;1\end{array}
සාරාංශය
| 0 | \frac\pi6 | \frac\pi4 | \frac\pi3 | \frac\pi2 | |
| \sin | 0 | \frac12 | \frac1{\sqrt2} | \frac{\sqrt3}2 | 1 |
| \cos | 1 | \frac1{\sqrt2} | \frac12 | 0 | |
| \tan | 0 | \frac1{\sqrt3} | 1 | \sqrt3 | අර්ථ නොදැක්වේ |
| \text{cosec }=\;\frac{1}{\sin} | අර්ථ නොදැක්වේ | 2 | \sqrt2 | \frac2{\sqrt3} | 1 |
| \text{sec }=\;\frac{1}{\cos} | 1 | \frac2{\sqrt3} | \sqrt2 | 2 | අර්ථ නොදැක්වේ |
| \text{cot }=\;\frac{1}{\tan} | අර්ථ නොදැක්වේ | \sqrt3 | 1 | \frac1{\sqrt3} | 0 |
“ There is geometry in humming of the strings, there is music in the spacing of the spheres”
-Pat Conroy –
