- සංයුක්ත ගණිතය 1 (ශුද්ධ ගණිතය )ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න ) 10 වැනි ගැටළුවේ හා B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න )17 ගැටළුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රධාන සර්වසාම්‍ය
ABC යනු සෘජුකෝණි ත්‍රිකෝණයකි. C\widehat AB=\thetaවේ.
\cos\;\theta=\frac{AB}{AC} හා \sin\;\theta=\frac{BC}{AC} වේ.
පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අනුව,
\begin{array}{rcl}AB^2+BC^2&=&AC^2\\&&\\\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}&=&\frac{AC^2}{AC^2}\\&&\\\left(\frac{AB}{AC}\right)^2+\left(\frac{BC}{AC}\right)^2&=&1\end{array}Cos2\theta + Sin2\theta = 1
(θ හි ඕනෑම අගයකට සත්‍ය වේ.)
Cos2θ + Sin2θ = 1
Cosθ ≠ 0 වන විට,
\begin{array}{rcl}\frac{C\mathrm{os}^2\theta}{C\mathrm{os}^2\theta}\;+\frac{Sin^2\theta}{C\mathrm{os}^2\theta}&=&\frac1{C\mathrm{os}^2\theta}\\&&\\1\;+\;\left(\frac{Sin\;\theta}{C\mathrm{os}\;\theta}\right)^2&=&\left(\frac1{C\mathrm{os}\;\theta}\right)^2\\&&\\1\;+\;\left(\tan\;\theta\right)^2\;&=&\left(Sec\;\theta\right)^2\end{array}Sec2θ = 1 + tan 2θ
(Cos θ ≠0 වන ඕනෑම අගයකට සත්‍ය වේ.)
Cos2θ + Sin2θ = 1
Sinθ ≠ 0 වන විට.
\begin{array}{rcl}\frac{C\mathrm{os}^2\theta}{Sin^2\theta}\;+\frac{Sin^2\theta}{Sin^2\theta}&=&\frac1{Sin^2\theta}\\&&\\1\;+\;\left(\frac{Cos\;\theta}{\;Sin\;\theta}\right)^2&=&\left(\frac1{Sin\;\theta}\right)^2\\&&\\1\;+\;\left(Cot\;\theta\right)^2\;&=&\left(Cosec\;\theta\right)^2\end{array}Cosec2θ= 1 + cot2θ
(Sin θ ≠0 වන ඕනෑම අගයකට සත්‍ය වේ.)
Cos2θ + Sin2θ = 1
Sec2θ = 1 + tan 2θ
Cosec2θ = 1 + Cot2θ
ඉහත ප්‍රකාශනවලට ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රධාන සර්වසාම්‍ය යැයි කියනු ලැබේ.
කෝණය කීයද? (රූපයේ දක්වා ඇත්තේ පාදයක් ඒකක 2 ක් වූ සමචතුරස්‍රයකි.)
ත්‍රිකෝණමිතික සර්වසාම්‍ය සාධනය කිරීම
A=B සර්වසාම්‍ය සාධනය කිරීම සඳහා ,
- A ගෙන් ආරම්භ කර එයට ගණිත කර්ම යොදා එය B ට සමාන බව සාධනය කළ හැක.
- B ගෙන් ආරම්භ කර එයට ගණිත කර්ම යොදා එය A ට සමාන බව සාධනය කළ හැක.
- Aත් Bත් ප්‍රකාශ දෙකම වෙනත් Cනම් එකම ප්‍රකාශනයකට සමාන බව සාධනය කළ හැක.
උදා:- (1.)Cos2A. tan2A + Sin2A. Cot2A =1 බව පෙන්වන්න.
L.H.S = Cos2A. tan2A + Sin2A. Cot2A
= Cos2A. (\frac{Sin^2A}{Cos^2A}) + Sin2A. (\frac{Cos^2A}{Sin^2A})
= Sin2A + Cos2A
= 1
= R.H.S
උදා:- (2.) tan2A + tan4A= Sec4A – Sec2A බව පෙන්වන්න.
L.H.S = tan2A + tan4A
= tan2A( 1 + tan2A)
=( Sec2A – 1).Sec2A
= Sec4A – Sec2A
= R.H.S
උදා:- (3.) (1- Cos2A).(1+ tan2A) = tan2A බව පෙන්වන්න.
L.H.S = (1- Cos2A).(1+ tan2A)
= Sin2A . Sec2A
= Sin2A.(\frac1{Cos^2A})
= tan2A
= R.H.S
උදා:- (4.) (Sin θ + Cos θ).( 1 – Sin θ.Cos θ) = Sin3θ + Cos3θ බව පෙන්වන්න.
ක්‍රමය 1
L.H.S = (Sin θ + Cos θ).( 1 – Sin θ.Cos θ)
= Sin θ- Sin2θ. Cos θ + Cosθ – Sin θ. Cos2θ
= Sin θ- Sin θ. Cos2θ + Cosθ- Sin2θ. Cos θ
= Sin θ (1- Cos2θ) + Cos θ(1- Sin2θ)
= Sin θ. Sin2θ + Cos θ.Cos2θ
= Sin3θ + Cos3θ
= R.H.S
ක්‍රමය 2
L.H.S = (Sin θ + Cos θ).( 1 – Sin θ.Cos θ)
= (Sin θ + Cos θ).( Sin2θ+ Cos2θ- Sinθ.Cosθ)
= (Sin θ + Cos θ).( Sin2θ – Sinθ.Cosθ+ Cos2θ)
= Sin3θ + Cos3θ
= R.H.S
උදා:- (5.) Cos 6θ + Sin 6θ = 1 – 3 Sin2θ. Cos2θ බව පෙන්වන්න.
L.H.S = Cos 6θ + Sin 6θ
= (Cos2θ)3 + (Sin2θ)3
= (Cos2θ + Sin2θ). (Cos4θ- Cos2θ. Sin2θ+ Sin4θ)
= 1. (Cos4θ- Cos2θ. Sin2θ+ Sin4θ)
= Cos4θ- Cos2θ. Sin2θ+ Sin4θ
=(Cos2θ + Sin2θ)2 – 2. Cos2θ. Sin2θ – Cos2θ. Sin2θ
= 1-3. Cos2θ. Sin2θ
=R.H.S
උදා:- (6.)\sqrt{\frac{1-Cos\;A}{1+Cos\;A}=}Cosec\;A-Cot\:A බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}L.H.S\;&=&\sqrt{\frac{1-Cos\;A}{1+Cos\;A}}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{\left(1-Cos\;A\right)\left(1-Cos\;A\right)}{\left(1+Cos\;A\right)\left(1-Cos\;A\right)}}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{\left(1-Cos\;A\right)^2}{1^2-\left(Cos\;A\right)^2}}\\&&\\&=&\frac{\left(1-Cos\;A\right)}{Sin\;A}\\&&\\&=&\frac1{Sin\;A}-\frac{Cos\;A}{Sin\;A}\\&&\\&=&\;Cosec\;A\;-Cot\;A\\&&\\&=&R.H.S\\&&\\&&\end{array}උදා:- (7.) Sec θ+ tan θ = 2 නම්, Cos θ හා tan θ අගයයන් සොයන්න.
Sec θ+ tan θ = 2 ⤇ ①
2 (Sec θ- tan θ) = (Sec θ+ tan θ)( Sec θ- tan θ)
2 (Sec θ- tan θ) = Sec2θ – tan2θ
Sec θ- tan θ = ½ ⤇ ②
①+②න්,
2.Secθ = 2+ ½
Secθ = 5/4
∴ Cos θ = 4/5
①-②න්,
2.tanθ = 2 – ½
2tanθ = 3/2
∴tanθ = 3/4
උදා:- (8.)Cos θ =5/13, අනුරූප Sin θ හා tan θ අගයයන් සොයන්න.
Sin2θ + Cos2θ = 1
Sin2θ = 1 – Cos2θ
Sin2θ = 1- (5/13)2
Sin2θ = 1- (25/169)
Sin2θ = 144/169
Sin θ = \sqrt{\frac{144}{169}}
Sin θ = +12/13 හෝ -12/13
\begin{array}{l}\sin\;\theta\;=\frac{12}{13}\;\text{වන විට},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\;\theta\;=-\frac{12}{13}\;\text{වන විට},\;\\\\\tan\;\theta=\frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\;\theta=\frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\left({\displaystyle\frac{12}{13}}\right)}{\left({\displaystyle\frac5{13}}\right)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{\left({\displaystyle\frac{12}{13}}\right)}{\left({\displaystyle\frac5{13}}\right)}\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{12}5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{12}5\;\;\\\\\therefore\cos\;\theta=\frac5{13}\;\text{වන විට,}\\\\\;\;\;\sin\;\theta\;\;=\;\frac{12}{13}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{හෝ}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\;\theta\;\;=\;\frac{12}{13}\\\\\;\;\;\;\tan\;\theta\;\;=\;+\frac{12}5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\tan\;\theta\;\;=\;-\frac{12}5\;\;\end{array}උදා:- (9.) Sin θ – Cos θ = a
1 – Sin θ. Cos θ = b වේ.
මෙම සමීකරණවලින් θ ගෙන් ස්වායත්ත සම්බන්ධය සොයන්න.
Sin θ – Cos θ= a ⤇ ①
1 – Sin θ. Cos θ = b ⤇ ②
①න්,
(Sin θ – Cos θ)2 = a2
Sin2θ + Cos2θ – 2. Sin θ. Cos θ = a2
1 – 2. Sin θ. Cos θ = a2 ⤇ ③
②x 2න්,
2 – 2. Sin θ. Cos θ = 2b ⤇ ④
③ – ④
-1 = a2 – 2b
a2 = 2b – 1
උදා:- (10.) tan θ + Cot θ = a
Sec2θ + Cosec2θ = b
මෙම සමීකරණවලින් θ ගෙන් ස්වායත්ත සම්බන්ධය සොයන්න.
tan θ + Cot θ = a ⤇ ①
Sec2θ + Cosec2θ = b ⤇ ②
②⤇
1 + tan2θ + 1 + Cot2θ = b
2 + tan2θ + Cot2θ = b ⤇ ③
①⤇
(tan θ + Cot θ)2 = a2
2 + tan2θ + Cot2θ = a2 ⤇ ④
③ හා ④ න්,
a2= b
“The only laws of matter are those that our minds must fabricate and the only laws of mind are fabricated for it by matter.”
-James Clerk Maxwell-
Video links :
