(x-\frac1x)^\frac12+(1-\frac1x)^\frac12=x
මෙම ප්රකාශනයේ x සඳහා තාත්වික විසඳුම් සෙවීමයි ඔබට ලැබෙන අභියෝගය වෙන්නේ.
\begin{array}{l}\begin{array}{l}\text{මෙහි}\;a=\left(x-\frac1x\right)^\frac12\;සහ\;b=\left(1-\frac1x\right)^\frac12\text{ලෙසගනිමු}.\\\text{එවිට},\;a+b=x\text{වේ.}\end{array}\\\text{×}\left(a\;-\;b\right)\end{array}
\begin{array}{rcl}\left(a-b\right)\left(a+b\right)&=&x\left(a-b\right)\\a^2-b^2&=&x\left(a-b\right)-①\end{array}\begin{array}{rcl}a^2&=&x-\frac1x\;\text{සහ }\;b^2=1-\frac1x\;\text{නිසා},\\&&\\\;\;\;\;a^2-b^2&=&\left(x-\frac1x\right)-\left(1-\frac1x\right)\\a^2-b^2&=&x-1\\&&\\&&\text{මෙය ① ට ආදේශකිරීමෙන්,}\\&&\\x-1&=&x\left(a-b\right)\\\frac{\left(x-1\right)}x&=&a-b\\a-b&=&1-\frac1x\;\;-\text{②}\end{array}
\begin{array}{rcl}\text{දැන් },\;\;\;\;\text{②+③⇒}2a&=&1-\frac1x+x\\2a&=&\left(x-\frac1x\right)+1\\2a&=&a^2+1\\0&=&a^2-2a+1\\0&=&\left(a-1\right){}^2\;\;\;\\&&\therefore a=1\text{වේ.}\end{array}
\begin{array}{rcl}\text{නමුත්, }\operatorname{ }a&=&\left(x-\frac1x\right)^\frac12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore1&=&\left(x-\frac1x\right)^\frac12\\x-\frac1x&=&1^2\;\\\times x\;&\Rightarrow&x(x-\frac1x)=x\\x^2-1&=&x\\x^2-x-1&=&0\end{array}
\begin{array}{rcl}&&\text{මෙම වර්ගජ සමීකරණයේ මූල සොයමු.}\\\;x&=&\left(\frac{1\pm\sqrt{1-4\left(-1\right)}}2\right)\;\\x&=&\;\left(\frac{1\pm\sqrt5}2\right)\\\;x&=&\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ හෝ }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{ වේ. }\;\\\;&=&1.6180\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-0.6180\end{array}
මෙම විසඳුම් ඉහත දී ඇති ප්රකාශනයට ආදේශ කර බලමු.
\begin{array}{rcl}x&=&\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)\;\text{ආදේශ කළ විට },\\\;LHS&=&2.618\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;RHS=-0.6180\\\;\therefore\;\;\;LHS\;&\neq&RHS\;\\\therefore\;\;\;\;\;\;x&\neq&\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)\;\;\\\;\;x&=&\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)\text{ ආදේශ කළ විට ,}\;\\LHS&=&1.6180\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;RHS=1.6180\\&&\;\therefore\;\;\;LHS=RHS\;\\\therefore\;\;\;\;\;\;x&=&\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)\;\;\end{array} \begin{array}{l}\text{ඔබ දන්නවාද?}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi=\frac{1+\sqrt5}2=1.6180\dots.\;\;\;\text{මෙය ස්වර්ණමය අනුපාතය යි.}\end{array}
