පුංචි අභියෝගයක්!

සම්මත අංකනයට අනුව නම් කරන ලද ත්‍රිකෝණයක A,B හා C කෝණවල අගයයන් සමාන්තර ශ්‍රේණියක අනුයාත පද ලෙස පිහිටයි නම්,
\frac ac\;\sin2C+\frac ca\;\sin2A\;හි අගය සොයන්න.

අපි මුලින්ම මේ ප්‍රකාශනය ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර භාවිතයෙන් සුළු කරලා ලියා ගමු.
\begin{array}{rcl}E\;&=&\;\frac ac\;\sin2C+\frac ca\;\sin2A\\&=&\frac ac2\sin C\cos C\;+\frac ca\;2\sin A\cos A\\&=&\;\frac{\sin C}c\;2a.\cos C\;\;+\frac{\sin A}a\;2c.\cos\;A\end{array}

sin සූත්‍රයට අනුව,
\begin{array}{rcl}\frac{\sin\;A}a&=&\frac{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle C}}c\end{array}

∴ඉහත ප්‍රකාශනය තවදුරටත් සුළු කිරීමෙන්,
\begin{array}{rcl}E\;&=&\frac{\sin\;A}a\;2a.\cos C\;\;+\;\frac{\sin\;C}c\;2c.\cos\;A\\&=&\;2\sin A\cos C\;\;+2\sin C\cos A\\&=&2\sin(A+C)\end{array}

ත්‍රිකෝණයක කෝණ තුනේ එකතුව \begin{array}{rcl}&&180^o\end{array} නිසා,
\begin{array}{rcl}A\;+\;B\;+\;C\;&=&\;180^\circ\;\\A\;+\;C\;&=&\;\;180^\circ\;-\;B\;\;\end{array}

A,B,C සමාන්තර ශ්‍රේණියක පිහිටන නිසා පොදු අන්තරය d නම්,
\begin{array}{rcl}A\;&=&\;A\\B\;&=&\;A\;+\;d\\C\;&=&\;A\;+2d\\A\;+\;B\;+\;C&=&\;3A\;+\;3d\\180^\circ\;\;&=&\;3\;(A+d)\\A\;+\;d\;\;&=&\;60^\circ\;\;\\B\;&=&\;60^\circ\end{array}

\begin{array}{rcl}\therefore\;A\;+\;C\;&=&180^\circ-\;60^\circ\;=120^\circ\end{array}

\begin{array}{rcl}\therefore2\sin(\;A\;+\;C\;)\;&=&\;\;2\sin(120^\circ)\\&=&\;\;2\;\times\;\frac{\sqrt3}2\\&=&\sqrt3\end{array}

\begin{array}{rcl}\therefore\frac ac\;\sin2C+\frac ca\;\sin2A\;&=&\sqrt3\end{array}