- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්රශ්න පත්රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්රශ්න) 03 වැනි ගැටළුවෙහි හා B කොටසේ 13 වැනි ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ මුලින්ම මතවාදයක් ඉදිරිපත් වන්නේ ක්රිස්තු වර්ෂ පළවන සියවසේ දී පමණ වේ. ඒ ඇලෙක්සැන්ඩ්රියාවේ හෙරෝන් නමැති ගණිතඥයා පිරමීඩයක ඇතුළත පරිමාව සෙවීමට කරන ලද උත්සාහයක් අතරතුර ඔහුට ඍණ සංඛ්යාවක වර්ගමූලය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වීමත් සමගය.
වර්තමානයේදී සංකීර්ණ සංඛ්යා ඉලෙක්ට්රොනික හා විද්යුත් චුම්භාකත්වයේදී බහුලව භාවිත කරනු ලබයි. ප්රත්යාවර්ත ධාරාවේ සහ විද්යුත් චුම්බක තරංග මගින් සංස්කරණය කරන ලද සංඥාවල දෝලනය තේරුම් ගැනීමට සංකීර්ණ සංඛ්යා භාවිත කරයි.
හැදින්වීම
\begin{array}{l}\mathrm Z\;=\;x\;+\;\mathrm{iy}\\x,\mathrm y\;\in\;\mathrm R\\ i\;=\;\sqrt{-1}\end{array}- ඉහතින් දැක්වෙන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්යාවක සාධාරණ ආකාරයයි. x හා y තාත්වික වේ. i යනු \sqrt{-1} හෙවත් අතාත්වික ඒකකය වේ.
- අප දන්නා සියලු තාත්වික සංඛ්යා හා අතාත්වික සංඛ්යා සංකීර්ණ සංඛ්යා කුලකයට අයත් වේ.
- සංකීර්ණ සංඛ්යාවකට තාත්වික මෙන්ම අතාත්වික කොටසක්ද ඇත.
- Z සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ තාත්වික සංගුණකය x වන අතර එය Re Z ලෙසද, අතාත්වික සංගුණකය y වන අතර එය Im Z ලෙසද සංකේතවත් කරයි.
තාත්වික සංගුණකය = Re Z = x
අතාත්වික සංගුණකය = Im Z = y
තාත්වික කොටස = Re Z = xi
අතාත්වික කොටස = Im Z = yi
- තාත්වික කොටසක් පමණක් ඇති සංඛ්යා හුදෙක් තාත්වික සංකීර්ණ සංඛ්යා ලෙසද, අතාත්වික කොටසක් පමණක් ඇති සංඛ්යා හුදෙක් අතාත්වික සංඛ්යා ලෙසද හඳුන්වයි.
හුදෙක් තාත්වික | හුදෙක් අතාත්වික |
Z=3 | Z=\sqrt5i |
Z=-2 | Z=16i |
Z=0 | Z=-5i |
Z=15 | Z=-2\sqrt3i |
“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.”
-Jacques Hadamard
සංකීර්ණ සංඛ්යා කුලකය
- C = {Z / Z = x + iy, x, y ∈ R , i = \begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array} }
සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක සමානතාවය
- සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක් සමාන වන්නේ නම් හා නම් ම පමණක් ඒවායේ තාත්වික කොටස් වෙනමද, අතාත්වික කොටස් වෙනමද, සමාන වේ.
Z1 = Z2 \begin{array}{l}\Leftrightarrow\\\end{array} Re Z1 = Re Z1 සහ
Im Z1 = Im Z2
- Z1 = p + 5i සහ Z2 = 9 + qi ද, 2Z1 – 3Z2 = 5 – 7i නම් p හා q සොයන්න.
සංකීර්ණ සංඛ්යා සම්බන්ධ ගණිත කර්ම
සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක ඓක්යය
- සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කිරීමේදී තාත්වික කොටස් වෙනමද අතාත්වික කොටස් වෙනමද එකතු කරනු ලැබේ.
Z1 = x1 + iy1 x1,y1 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z2 = x2 + iy2 x2,y2 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z1 + Z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
1.(5 + 6i) හා (-7 + 4i) සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කරන්න.
\begin{array}{rcl}Z_1+Z_2&=&(5+6i)+(-7+4i)\\&=&-2+10i\end{array}2.Z1 = 4 + 5i හා Z2 = 10i සංකීර්ණ සංඛ්යා එකතු කරන්න.
\begin{array}{rcl}Z_1+Z_2&=&(4+5i)+10i\\&=&4+15i\end{array}සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක අන්තරය
- සංකීර්ණ සංඛ්යා අඩු කිරීමේදී තාත්වික කොටස් වෙනමද අතාත්වික කොටස් වෙනමද අඩු කරනු ලැබේ.
Z1 = x1 + iy1 x1,y1 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z2 = x2 + iy2 x2,y2 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z1 – Z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2)
1.Z1 = 5+7i
Z2 = 4 + 3i
2.Z1 = 8 + 4i
Z2 = 5 + 8i
සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම
i = i
i2 = (\begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array})2 = -1
i3 = (\begin{array}{l}\sqrt{-1}\\\end{array})2i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = (i2)2i = i
i6 = (i2)3 = -1
Z^a = Zm±4n , a,m,n \begin{array}{l}\in\\\end{array} Z
i 20 = i0+20 = i0 = 1
i19 = i3+16 = i3 = -i
i-2 = i2-4 = i2 = -1
i-13 = i3-16 = i3 = -i
i-27 = i-28+1 = i
i18 = i16+2 = -1
සාමාන්ය සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම
Z1 = x1 + iy1 x1,y1 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z2 = x2 + iy2 x2,y2 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z1 . Z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
\begin{array}{l}1.\left(2-3i\right)\left(5+4i\right)\\=\lbrack10–(-12)\rbrack\;+\;i(8-15)\\=22–7i\end{array} \begin{array}{l}2.(1\;+\;i)^3(3\;–\;2i)^2\\=\lbrack1\;+\;3i\;+\;3i^2\;+\;i^3\rbrack\;\lbrack9\;–\;12i\;+\;4i^2\rbrack\\=\lbrack-2+2i\rbrack\;\lbrack5–12i\rbrack\\=\lbrack-10\;+\;24\rbrack\;+\;i\lbrack24\;+\;10\rbrack\\=14\;+\;34i\end{array} \begin{array}{l}3.(2\;-\;i)^3(1\;+\;2i)^4\\=(2\;-\;i)^2(2\;-\;i)\lbrack(1\;+\;2i)^2\rbrack^2\\=\lbrack4\;–\;4i\;+\;i^2\rbrack(2\;-\;i)\lbrack1\;+\;4i\;-\;4\rbrack^2\\=(3\;–\;4i)(2\;-\;i)(-3\;+\;4i)^2\\=(2\;–\;11i)(9\;–\;16\;-\;24i)\\=-278\;-29i\end{array}සංකීර්ණ සංඛ්යාවක ලබ්ධිය
- සංකීර්ණ සංඛ්යා බෙදීමේදී හරයේ ප්රතිබද්ධයෙන් ලවය හා හරය ගුණ කර සුළු කරනු ලැබේ.
Z1 = x1 + iy1 x1,y1 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
Z2 = x2 + iy2 x2,y2 \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
\begin{array}{rcl}\frac{Z_1}{Z_2}&=&\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}\\&=&\frac{\left(x_1+y_1i\right){\displaystyle\left(x_2-y_2i\right)}}{\left(x_2+y_2i\right){\displaystyle\left(x_2-y_2i\right)}}\\&=&\frac{\lbrack(x_1x_2\;+\;y_1y_2)\;+\;(x_2y_1\;–\;x_1y_2)i\rbrack\;}{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\\&=&\left[\frac{{(x_1x_2\;+\;y_1y_2)}\;}{{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\;}\right]+\left[\frac{{(x_2y_1\;–\;x_1y_2)i}\;}{(x_2^2\;+\;y_2^2)}\right]\end{array} \begin{array}{l}1.\frac{(2\;+\;3i)}{(3\;–\;5i)}\\=\frac{\lbrack(2\;+\;3i)(3\;+\;5i)\rbrack}{\lbrack(3\;–\;5i)(3\;+\;5i)\rbrack}\\=\frac{(-9\;+\;19i)}{(9\;+\;25)}\\=-\frac9{34}+\frac{19}{34}i\end{array} \begin{array}{l}2.\frac{\lbrack(3\;–\;2i)^2(1\;+\;i)^3\rbrack\;}{\lbrack(4\;–\;2i)(1\;+\;2i)\rbrack}\\=\frac{\lbrack(9\;–\;4\;–\;12i)(1\;+\;2i\;-\;1)(1\;+\;i)\rbrack}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{\lbrack(5\;–\;12i)(2i\;-\;2)\rbrack}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{(14\;+\;34i)}{(8\;+\;6i)}\\=\frac{(7\;+\;17i)}{(4\;+\;3i)}\\=\frac{\lbrack(7\;+\;17i)(4\;–\;3i)\rbrack}{\lbrack(4\;+\;3i)(4\;–\;3i)\rbrack}\\=\frac{(79\;+\;47i)}{25}\end{array}සංකීර්ණ සංඛ්යාවක මාපාංකය
- Z සංකීර්ණ සංඛ්යාවේ මාපාංකය mod Z හෝ |Z| ලෙස සංකේතවත් කරයි.
Z = x + iy x,y \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
\begin{array}{rcl}\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{\mathrm x^2\;+\;\mathrm y^2}\end{array} \begin{array}{rcl}\mathrm 1.Z\;&=&\;2\;+\;3\mathrm i\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{2^2\;+\;3^2}\\&=&\;\sqrt{13}\\&&\\\mathrm2. Z\;&=&\;3\;-\;4\mathrm i\\\left|\mathrm Z\right|\;&=&\;\sqrt{9\;+\;16}\\&=&\sqrt{25}\\&=&5\end{array}- සංකීර්ණ සංඛ්යාවක මාපාංකය හා එහි ප්රතිබද්ධයේ මාපාංකය සමාන වේ.
Z = x + iy x,y \begin{array}{l}\in\\\end{array} R
\begin{array}{l}\left|Z\right|\;=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2\;}\;\;\;\;\;\leftarrow\;\;\boxed1\\\overline Z\;=\;x\;-\;iy\\\left|\overline Z\right|\;=\;\sqrt{x^2\;+\;(-y)^2\;}\\=\;\sqrt{x^2\;+\;y^2\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leftarrow\;\boxed2\\\\\boxed1\;=\;\boxed2\\\left|Z\right|\;=\;\left|\overline Z\right|\end{array}- Z = 5 + 6i